Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (1979) (1127884), страница 97
Текст из файла (страница 97)
93. Вертикальная електрическая антенна ка сферической земле, Антенна помещена в точке г'=а, 6=-0 на поверхности земли. Внутри земли (г~а) 2рьИ, 'ч~з (2»+ 11 ~»и (Иоа) "з — азйь,Г,,~, (И,)[2»~(Иза) В 1'Ь(йг)»( '1 »=о и мы приходим а решению задачи о диполе, помещенном в точке (г'„О, а) внутри идеально проводящей сферы. 02. Вертикальная електрическаз антенна над с4ерической землей. Антенна (точечный диполь) помещена з точке г'=а+И(И)О), 6=0 и ориентирована вдоль оси 0=0.
Л1омеит днпоза Равен Р Рье им. ВРеменной множитель и ьзм мы всюду опускаем. (г Для потенциала и= — имеем: г внутри земли (г (а) ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ вне земли (г ~о) 2рв 1т (2п+!) ~» (Иег) Здесь Ся обозначает выражение С„= й Р" (И') ~" (Иео). т(Ы (Ио) У к а з а н и е. Необходимо в решении предыдущей задачи совершить пре. дельный переход при И-:О.
В процессе вычислений использовать выражение для вронскиана 1 в вР» (х) Сл ' (х) — Гп ' (х) »Р» (х) = —. Предельный перехоч при И-ьй дает; ! пп (о () + Еа) = 2рв 2п+! з-с " " оз ф— 2во'(Иа) 4. Антенна на плоской земле О(. Вводится электрический вектор Герца П. направленный вдоль антенны. В цилиндрической сиоп.ме координат р, ~р, г имеем: П,=П„=О, П,=П. Поскольну задача обладает аксиальной симметрией, д»П д»П ! д ! дП! Е Е О Е +И»П ..
(р ОП+И»П О дрдг ' е ' дгв р др (! др г!' — ° (сйз дП Н Н О, Н= — — —. ы др На поверхности земли при г О И»П» И П дП» дП дг д в где ыв Пв, И,'= — соответствует г ) О (атмосфера), са еыв+(4паш П, Ив = соответствует г ( О (земли) св ( =!) Момент днпаля р=г(л ГНГ, рв — — (; множитель»"Гты всюду опущен. йй.
Элентромагнитнае пале выражается через магнитный вектор Герца, у которого отлична от нуля лишь составляющая вдаль оси антенны П»=П, поэтому Е» О. В силу аксиальной симметрии ы дП Е=О, Е =! —— с др' д»П, д»П И =., Н, =О, Н =(г»П+ —. уп. крявннния эллиптичнского типа Потенциал П удовлетворяет уравнению соо ~А$ — при г ) 0 се 1 ЛП+й»П=О, где йз= ~ вью+ )алого при г(0, с' и условиям сопряжения на поверхности земли дП дП П,=П, — ' — при г О, дг дг причем ыон Г)о= + Г)о»тор )Г ан + 11»оор )Г где ГГ= усто+го. Первые члены в ваших выражениях означают потенциал Герца для дипаля в неограниченной среде с соответствующим волновым числом Гй или (го), По„ор и П„„р — вторичное излучение.
96. Введем систему координат хо у, г, направив ось г перпендикулярно к поверхности земли, а ось х — вдоль антенны, Е=ягаб спи П+йоп. Н= — — го) П, П=(пх, О, П ), Гаго где Пх и П удовлетворяют волновому уравнению д ГдПх дП»1 д Гдпх дП» 1 Гои+. ' х+ о~ В ' х+ дхт дх дг )' ду'1 дх дг д /ди дП Г Гсао дП Гс)го /дП„ОП ~ Голо дП Граничные условия при г=0 Гиа поверхности земли) аоп =доим о з )л,— = йо— диох дП„ о д д о о о дП»о дП»о дП» дП» й)П =дои„, ° + ° ° + дх дг дх дг Обычно вместо По вводится функция Гц дуо РУ, др И= о,и,=' дх ' Гго дх' Г!ервое и последнее граничные условия дают: дро "о у =у, п„+ — =и„+ — —.
да Ггз дг ' ОУ, Пуси рамка с таком помещена в плоскости х, а, так что нормаль к рамке направлена вдоль оси у. Векторы поля выражаются через магнитный ьоктор Герца Е=à — гоГП, Н=йоп+Ягабб)чио ОО в. аь втло» о ар. Отпиты. укдзлыия и Решнния у вектора П отличны от нуля составляющие Пг н П, так что (ы (дП, дП„) гы дП с ~дд дг!' с дк д ~дпв дП.~ Н,=йтП,+ — ( — '+ ) дг ~ ду дг ) а дП с дк дП Граничные условия прн г О П =П„йяп,„=йзп,, дПсг дПг дПсв дПст дПв дП дг — — + — — — +— дг ' др дг др дг Если положить дРс дР П с г к )рг то вместо первого н четвертого условий получается; дРз дР Р,=Р. П,„+ — '=П+ дг " дг ' 98.
Помещаем в антенну начало координат. Тогда над землей 2ла гв,л У Пф — „— + ~ )в(ь)уа(Ь)е- "з дл (г)О), о в земле 2Л,' вган П= — + )(А)Х (Хг)е+~ Я ыгд), (г(О), Ля+ йв д э с 2л-Аз Х фй+ фз )Я~2 2$ 2я)лт Х 7( д'УЛ вЂ” д;+й)Уайт ' УХ вЂ” йя — у'д — дт Х) ц+йз уХ вЂ” йт д )гд — ге +2) )гМ,~в ' )г=Угз-(-г ° Воспользуемся интегральным разложением первичного потенциала Р е ш е и и е.
Вводим согласно задаче Я4 влектрнческий вектор Герца П=(О, О, Пк П), причем зньл 2ь) згьл П,=,, — +П„,, П=,, — +П,, УН. УРАВНВНИЯ ЭЛЛИПТИЧВСКОГО ТИПА н будем искать вторичное возбуждение в виде Пв втор=) гв (А) lв(Хг)в ~ д)т (з)0) УА' — ~~ 6 П„,р=) ((Х))в(дг)е'ж а" дД (з~о). Ь П, р и П„„р, представленные этими интеграламн, очевидно, удовлетворюот уравяенинм й()в втор+А»()в втор=0 йПвтвр+А Патер Требуя выполнения граничных условий /гвП»=йвП, — в= — при з О. дП дП дх =дз получаем: ) тт )[т! '"„— в+лат] т-~ (~"„— „' »АЧ1ти >в а и ( (р ( (~)+р)(А)) у (Аг)д)г=б (р=)т)в-йв), е где Р»=У вЂ” йт, Рв=)тв — Ат».
Отс1одз и находим ) йод )" рв р й;+ й' Рв й'Рв+А»Р' ай)йв )т рв — р ~+И р йтрв+йввр' т)асгные случаи: 1) й=сю, земля — идеально проводягная, РД.)=0. )»(Ц= —, йх рв егаал рв П=О (в земле). Первичное возбуждение антенны отражается от поверхности земли. х) й=йв, антенна в однородной среде (в воздухе).
В атом случае ),(Ц-о, )(Ц=б, авл П вЂ” во всем просгрзнстне, )( 22» ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ 99. Магнитный вектор Герца П=(О, О, П) определяется следующим образом: над землей егаей Пз = '„+ ~ ). (Л) Х, ( ) — * лЛ (, О), о в земле е *ц + ~ ((Л)уа(Лг)ен'г(Л (ак(9, )( в где (з ()") = —, — —, ! (Л) =.=-- Р Рз Р ьгЛз йй р ° з Рз Ре+Р Р Р+Ре Вырангения для Пз и П згожно записать иначе: Пз=-~ е "' Лг(Л при я)0, г' 2/о(Лг) Р+ Рз П= ~ ' сп Лгй, прн з<0. 2Уо (Лг) Р+Рз В случае идеально проводящей земли й=.со, Р=со и П=Пе=-О.
Дей стане магнитной антенны компенс руется викревыми токами, возникающими в земле. Указание. См. задачи % н 98. !00. Вели антенна направлена вдоль осн х, то в соответствии с задачей 98 вегиор Герца П==(Пк, О, П ), где Пз = „" е ' Лг(Л при з)0, Г 22я(Лг) М' Пк= —," ', ег"Лг0 ВРи з(0, Пз =2(йа — йз)созгу — ', е пт Ляг(Л, а~О Г У;,(Лг) П = — '.(й' — й„')гонгу 1 — ',, еп'Лзг(Л, а~О, М =Р+Рз М=-йзРз+й)Р Р=) Л вЂ” й ° Ре=') Л '«1.
Указан не. Функция П„определяется уравнением йи+йзп 0 и тра яичными условиямн йтзПе йзП йз — ' = йз при з=О, йп к,г)Пк ек к~ з 8 УП. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА ггг Отсюда видно, чта функции Пок и —; П„совпадают с выражениями для Г(, и к йг к П в решении предыдущей задачи 99.
дГ Для функции П,= - — имеем: дк дйо й„' дг Р =Г, П к+ — - = П„+ — »в дг йз дг при г='„ Полагая го=с! (»(Л)»о(ЛГ)е и»*ДЛ (з) О), б Р=( р(Л)У,О )еи»дЛ ( ~О) в и пользуясь уже найденными выражениями дла П,, и П, получаем: Функция П вычисл ветен по формуле дРА др, Аг дР По = — о=сазгр- — о, П = — созгр —. дг дг ° г= йг дг 10!. Используем все обозначения задачи 97. В щом случае пале Е и Н выражаются через магнитный вектор Герца П =(О, П„, П ), где П„= —,Х,(Л»)е и"ЛдЛ при г)0, Г 2й„"- Пе — — ~ —,„," /о(ЛГ)еи»ЛдЛ при г(0, ГУ 1 П 2 (йг йг) »1п ф о е н»гЛ» дЛ при г О " зо (Лг') — .г .
а П, = 2 (йо — йг') з1п гр ~ — ',, еи»Лз дЛ при г С О. 1' У:(Лг) Е=йгад ГПУ П+й»П. Н- — !Аго1 П, Для потеицлала П П, прг г)п, Г1» нря 0~» ~а Значения йг и )г" даны в ответе к задаче 100. 102. Поляризационпый потенциал 1! =-(О, О, П» П) определяет компоненты алектромагнчпюго поля с помощью формул Отпиты.
ркАзлиия и Рпшпния палучаевп Пв=Пвперв+Пвввар» в Пвверв+Пвеваре Пваерв= в) 1е()">')е * * ° рв Пвв, р ) ().)1е(З )г '"'*+" рв Пвпере=~)в())уе(вг)г * е П,(г гы )В й)В рв П...=11.().))1е( ) -"И*+"'~. рв а рв= )Ъ' — йвв,' рв УХ~ — )в,' Используя граничные условия дП, дП авПв = «веП, — ' — в при г и, дг дг аГ), а также — '=О при г=О, находим дг Азер, — ав)вв Гп р,а й))и+А)р,(пр, ' б йег и~ее+ иве+ пег» й РВВ )'®=1'(Б)=~Ц~йр, +р,й) йр, ' !ОЗ.
Пусть 1 1е((г)е нм(Г(з))1) — сила тока в прямолинейном проводнике — 1~а~( длиной 20 Цилиндрическая система координат выбрана так, чта линейный ток направлен вдоль оси г н симметричен относительно начала координат. Вектор Герца П=(0, О, П) определяется формулой ! П(р, ф, г)= — е„~ ~ Пе(р, ф, г; $, Ф Д)(()Щ, евай где Пе —, )т — расстояние между точками (М (р ф). г) и (Ме(е. Ф). ь)е 11 ' Е=йгабд(тП+явП, 11 — (гго(П. Сопротивление излучения равно е К- —,) ~ П(("+ИЦ И вЂ” П)' ~), если 1( — 1) 1(1)=0. 21 Указание. ))ормировка П получается из условия Не~ вблизи така, ср шт. хнлвнения эллиптического типа Входное сопротивление линейного тока определяется следувицсй Люрмулой метода наведенных ада 3 1 Г ) Е*(Ме Мь а)/(а) да 1,1 — г Подставляя сюда вместо Е выражение Ек — +ИП дтЛ дхт и ишегрнруя по частям, получим приведенное выше выражение для Я.
104. Бели диполь полуволновой, то У=(з)(г) прн — 1чег~1, где ) (г) соз Фа, й — ° 4 П ' ~Пе(М,М„а — ~)созй~д(;, — Йс — ! входное сопротивление полуволнового диполя 1 Г 1 — сова Г з)па Е= — да — 1 ~ — да с Ц а а с Активная составляюшая входного сопротивлении или сопротивление излучении ен 1 г1 — ана, Й» е Реактнвнаи сосшвляющая илн реантанц 1 т" а(па ~Ь,— — — ' — д .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
