Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (1979) (1127884), страница 95
Текст из файла (страница 95)
дт Сушествуют частные решения вида П(М. г)= ф„(М)е " „П' (М, г) =ф„(М)г т»*, где у»='ггй — ) у»=1' й — и А н задач йэф„+).„ф„=О в Б, Аа — собственные эначеииЯ кРаевых Аф„+$,„ф„О в 2, и Аз )йэ дли л=)у+1, )у+2, ..., то из которых распространяется с фазовой Если )ч ) й», то бегуших волн в трубе не может быть. »г»» Если П(М, г)=А»ф»[М)е ", то поток энергии через поперечное сечение равен сй 1'» =!»(» Р— у»Д 'Оп При этом предполагается, что фз(М) нормированы к единице ф» д2 1. Указан не. Если ввести прямоугольную систему координат, го л»П Е»= — + е»П, дг» д"'П д»П Е» —, Еч — ° дкдг ' дудг" Н„= — (й —, На=(й . дП дП вЂ” О О др ' Задача, полученная для П', аналогична задаче 42 о распространении аиу.
стичесиях волн в цилиндрической трубе с жесткими стенками (см. [7(, 528). Если з» ~йт для п=1, 2, ..., »1 сушествует АГ бегуших волн, каждая скоростью йс и„ уз ф„=О на С, д4м — =0 на С. дт глг. унлвнеыня ВллиптическОГО типА 79. Бегущие волны могут существовать при ныполненни следующих условий; а) ЕСЛИ Х „=~рг(о)1 (а, тО Сущсетзуст СТОЛЬКО бЕГущИХ ВОЛН, СКОЛЬКО имеется линейно независимых решений волнового уравнения для й „, удовлетворяющих этому неравенству: здесь р("1 — корень уравнения го (ро) Ио (ра) в этом случае могут быть волны электрического типа, б) Для всех собственных значений )оо,о, для которых выполняется нера- венство Д .=~р( 1~а~да, где й~~) — корень уравнения Г'„( ) Н„'(рд) — г„'(рб) Н„'( ) =О, существуют бегущие волны магнитного типа (Е =О), Длн основной волны электрического типа (л=б) имеем: П,=П=А„,И,.(р)е'(тм' — ), у„,=йф 1 где Ам — коэффициект, )(м (Р) = го (ртр) Но (Рмп) )о (Рто) Но (родэ) рм †коре номера т уравнения го (Рн) Аоо (рь) — )о (М Но (ро) = О.
Поток энергии через поперечное сечение равен Составляющие поля даются формулами Е =Х,„П, Е, =О, Е =(у,„А,„Н,(р)о Но=О, Не —— — Аг,(АВи(Р)е ( оо ), Но — — О, й Нч —— — -- Еэ. ум У к а ванне. Следует воспользоваться результатами задачи 78, предло. ложия, что область Я имеет форму кольца с радиусами а н Ь.
Собственные функции кольцевой мембраны с закрепленными н свободными границами даны соствегственно в ответе к задаче 27, ЕО. Пусть начало сферической системы координат (г, 6, ф) находнтся в центре сферического резонатора. Зависимость от времени типа е-ооя, Колебания электрического типа определяются по формулам до 1 оч (ги) 1 до(ги) Ег — — (ги)+Аз(ги), Ее = — —, Е г дгз г дгдб ' и г миф дгдф ' — Рядн . д и =О, Н,- — —, Не=(А —, з(пб дф' е дй ° где и а ,„ †собственн функция краевой задачи Ли+дои=О, н= О прн г а, ОТВЕТЫ, УКДЗЛНИЯ И РЕШЕНИЯ определяемая формулой и „(г, В, тр)=ф„(А „г) ут«о(В, ф) («=1, 2, ...; лт О, .+-1, Ео2, .„., чпп) где А,„= -' — ' — собственное волновое число, являющееся корнем уравнения пль л с Х т (Аа', л+, ,(, (Аа) ф (р)=1~ -7 (И г 2р «+- 1(ля колебаний магнитного типа (Е,=О) имеем: (А до Е,= — О, ЕВ = —.
а)ВВ дф' Н,= +Аз(. ). (УВ= — —, да(го) ! дз(го) дг' г дгде ' до Е = — РА —, е да' 1 д'(,Р) и,= — — ' г дгдф ' где о=о =тР (А г) )гт (В, гр), причем А ,„ определяется из уравнения , (Аа)=О. «+в х При п-О получаем: е, з = фа (А г), где птп и А«,— — —, ы,=с —. о . а указание. Ср. с задачей 25 о собственных акустических колебанннх сферы, й1.
Рассматривается отрезок пилиндрнческого волновода пронзытльного сечения, ограниченный двумя плоскостями г=-~-1 (ось г параллельна абра зуюптей пилиндра, см. задачу 78). Колебания электрического типа (Н,=О) П~ П~ 4«««ф«(Л4) сов 2( (1 — х), где ф„(М) — собственная функпия краевой задачи Лгф+Хлф«О в 3, ф„=б на С. Собственные частоты ы«ь„= — с ~г )ч,+( — ) . у(ы) (В, ф)=Р'„'«т (сов В) .
пнр — сферическая функция. Самая низкая собственная частота соответствует «=О: аль«(г)=тра(ймг), причем А, определяется из уравнения ут (Аа) з 7 т (Аа) х т. е. (й (Аа) = Аа оп. ввдвнвния зллмптмчвского типа Колебания магнитного тупи (Е =0) пт Й» = Пп, л (М. з) = Ат. лфл (М ) мп — (1 — з), И где фп(М) — собственная функция краевой задачи йзфи+лифл О в 3, — и=О на С дфи дт Собственные частоты ют п=с )/ лп+ ("й) ) . Средняя аа период электрическая энергия в стоячей волне равна среднему аа период значению магнизной энергии 1 4 ли Ул Сйф"л 1 "(л Полная энергия стоячей волны не меняется ао времени н равна 1 й = - ИЛи(яп (з. Для резонатора с круглым или прямоугольным сечением формулы для П остаются в силе; туда следует лишь подставить нонкретное выражение для собственной функции а) аля прямоугольного сечения со сторонами а и Ь: - ° /4, шп . лп фл(М) фи т(г у) ~/ ' зш 1зш у * ' ° / етзл пгл пл фи(м]=фи т(х, у)= з/ — ь — ом — хсоз — у, ел=2, А~О, г =1; аЬ а э б) для круглого сечения радиуса а имеем: ил~ г)соз 1рл.т(г Ю= — — "— .
Лф ж"- Р (рги1) МП /)г<ю> пф, /„~р~" 1) мп "т: .з/ ал рт фи т(г~ ч') у' а ' -'В'Г"'1'-" (п) )з где р †коре уравнения и'и(р)=О, л „ = †, †, р †коре уравнения <л1 " (и) Х; („)=О. Приведенные выше функции фт,л и ф, „нормированы к единице„ У к а з а н и е Функции П и П удовлетворяют волновому уравнению Ли+язв=б и следующим граничным условиям: дП П=О на Х; — =0 при з=-е 1, дз д() — 11 нз Х; П 0 прн 2=-3-1.
дт Прн вычислении энергии во всем объеме следует воспользоваться формулой Грина (см. (7), 548 — 554). ОТВЕТЫ. УКАЗАНИЯ И РИ>ППНИЯ соз лф 1'т'" (р) тп тр' фт.л(р ф) Ет.з(р) где о (р) — у (рю>р) >у (рт>а) у (р! >а) >у (рю>р) Е.,. (р)=МФ') Н'(р("> )-У; 1рй>а) Ез(ИЮ>р), р("> и р~"> определяются соответственно из уравнений >7,„(Ь)-О. Фт.(Ь)=О. Собственные частоты колебаний раины «рт.л — с ~/ [рт| +(21) ю ют.а ф [рщ[ +( ) ° Ук з за н не. См.
задзчу 81. 88. Лтррак>>ия на >(аландрз. Ось цилиндра направлено по оси г; плоская волне распространяется вдоль оси х. вектор напряженности электрического поля в издающей волне направлен параллельно оси цроводз. Обозначим з, р,. а,— пзрзметры провода, ее=1, р,=1, а«=Π— параметры среды, й> и йз— соответствующие волновые числа, причем ерюз+ 14порт сз Зависимость от времени типа е-'т>. Только г-компонента вектора Е отлична от нуля: Е [О.О,Е), трез нее выражаются Нр и Не> >с 1 дЕ >с дЕ Н вЂ” — — —, Н = — —, Н О рю р дт' е ртдр' Для Е Е(р, ~р) получаем> «ге**+ Я а Н"' (й р) е'""г при р ) а, >> з (д,р> е« ч' при р Са, еде а — радиус провала, — Ут(й«а> ~т(йм>) — ««1 ~(Д«а) ут(й а> й« от= — "гт (й,а) Н"' О>«а> — й и" (йза> у рйа1 Р« (т(Ага) „Нтц (йза': ут (й>а) Хт (й>а> 82.
Пусть гороид ограничен поверхностями р=а и р=б и плоскостями г= — 1 и г=!. Его можно трактовать как а>трезокз козксизла длиной 21, рассмотренного в задаче 79 Для полярнззциоиных потенцизлов П н П остаипся в силе формулы. полученные при решении задачи 81, а для собственных функций поперечного сечения ф„и ф„следует взять выражении, приведенные в ответе к задаче 79, УИ. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА Если провод идеальна проводящий, то ~ьь (Ь»а) ам= — Рн ~, Ьм О, )Ут «Ь а) Указа н ие, Требуетсн найти решение уравнения АЕ'~'+А»Еп'=О при " с а, АЕ™+6»»Е'а=б прн г) а, причем Е1Щ=Е -«и — есэ»» удовлетворяющее на поверкносги провози р=а условиям непрерывности Е, и УХ „что дает: 1 дЕ'т' дЕ'э' Е'т'=Е'з'.
— — = — прн р=а. др др Кроме того, функпия и должна удовлетворять на бесконечности условию излу- чения lди (пп $'р~ — — (Ь»и)= О р ьь ~др Решение ищется в виде (1). Коэффипиенты а,„и Ьж вычисляются из условий при р=-а, причем должно быть использовано разложение егз'» в ряд: е'"»»=»сею »се Е Я (шУ (ЬеР) ео»е. Если провод идеально проводящий, то А,=со и граничные условия сводятся к одному: Е«я)=есэ'~с~ е-1-и=О прн р=а. Поэтому для аж получзетсн выражение Е»~ Еьн згэ» егег сь» з ~ «он ( 1)»нф (Аг) р «со 6) н=о д'и — + 62«у г д» 1 д»«/ Е = — —, ь — д дз ° йй д(г' Е, = — —— г дб' д»«Н, 1 дд»«Н Е„= — +А»«н.
И,= — —, дг» ' г дгдз' ц (йви г дз' О=си, О'=го. 66. Днфракция на идеально нрозодни«см шаре, Плоская волин распространяется по нзпрзвлению полярной оси з сферической системы координат г, 6, ф, электрическое поле поляризована по направлению оси х, а магнитное пале— по направлению оси (д ОТВВТЫ, УКАЗАНИЯ И !ъВГПННИЯ и и' Функции и= — — и о= — находятся из волновык уравненяй Ли+Оса=О т и Ло+йоо=О и граничных условий д --(ти)=0, о=О прн т=а, дг которые являются следствием равенств 1 до(та) !й д Ее--- д ОО =О Е = — — -6(то)=б при =а. Е гда Ос сгьгсооз су с»от»со а дΠ— Ч' (2п+ 1) !л —. Рл (гъи 6) сов ър, ъул (6») ' о !Ог л=з о дк о Ег= — — Ек=з!и дг ~а»соса з!ВФ д Игсооз дО (2п+ !) ърп ~, Р„о (соз 6) зю ър, !пт ад .
Нг= — Ну = ми дг л=е Р" ' (саум 6) = — — Рп (соз 6). С другой стороны, д»о ' " до М(г ~), о до(гоо) Полагая й = — ~ апФл (Ог) Р',о (соз О) сге гр, л=з й= '~„Ьлъул (Ь') Р' '(созе) ип ър, сраннивая оба выражения для Е" н Нг н учитывая уравнение дъ п(п+ !) Фо ъ(тъ л — (гъР )+ Оогъу г получаем: 2л+! ъл о п(п+ 1) й Для того чтобы решить задачу, надо, ирен!де всего, найти потенциалы ио и го для палаюпгзй волны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
