Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (1979) (1127884), страница 91
Текст из файла (страница 91)
Требуетсн найти решение волнового уравнения Лап+лап=О, до удовлетворяющее при а=О граничному условию о=б иди -- =О, иа беско. дг нечности — условию излучения 1йп Ф г( — +!До) О /глг (дг или 1пп )' г( — (йо)=Π— /де дг н имекхцее при г-1.0 логарифмическую особенность, т.
е. представимое в виде 6= — — НО '(йг)+о. 4 Мы пользуемся условием иалучення в форме (1) в связи с выбором временного множителя в форме е и'. 38. Потенциал скоростей точечного источника равен е чаг (г=ба —, 4пг ' гле ба †производительнос точечного источника, Скорость о= — йтад (Г имеет рааиалькУю составляющую Пт =(14+ — ) (Г. Лавлеиие р=(й р,и.
Полная излучаемая в единицу времени мощность (среднее ~о времени значение) Ййгсро П йп 613 УИ. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА Безразмерный акустический импеданс !йсрз 1 (!й+-')срз 1+: — ' Если г достаточно велико, то 1 1+'+... йг у' к а з а н и е. Для вычисленив скорости о и избыточного давления р использовать формулы уи о — — —, Р =)йсйзсГ. г дг' Поток знергни вычисляется как среднее по времени значение произведения давления на скорость — Пе бро„) 06)Ф' =% 32пзгз Полная мощность излучении П=У ° 4иге =— Озйтсра йп 69.
Пусть Рз(0, О, — а) — прямоугольные коордянагы точечного источника звука, Р1 (О, О, а) — его зеркальное изображение в плоскости з О. Потенциал скоростей равен 1 тг-!-г — г л 1 >г+( ~'г причем гз ) гт.+4аз.+4аг соз 6 где 6 — угол между !'еМ и Р Ры М(л, у, з) — точка наблюдения. На больших расстояниях от источника 1в волновой зоне) имеем! гт = г+ 2а оси 6, так что л — гзг Ц 'гзе 11 ) е — ттаа сот 6) 4пг Интенснвносп излучения у =йузз )сок(2ай сге 6)+ Ц. Полная мошность излучения и-2! г ) гз Й- ' ~~.~.
")-и ~1.Г~), где узз н П,з-интенсивность и полная мошность излучении точечного источ. нина, рассмотренного в задаче 3$. 40. В игом случае при з 0 будет иметь место граничное условие равен е1иа нулю потенциала скоростей 4г=О, так что ЯйтсРз Г мп 2ай) ! з)п 2ай) П з Г! ~ П 614 ОТВЕТЫ. УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ 41. Указание. Требуется доказать. что (Р) ор (М) где о„(Р)-значение в точке Р решения волнового уравнения с источником в точке М, и (М) — решение в точке М, источник в точке Р.
гсля доказательства следует исгользовать формулу Грина. 42. Требуется найти частные решения уравнения бчн + — + йзн = О дга дгз при условии да =О (и — потенциал скорогти) дл и условии отсутствия волн, приходящих нз бесконечности (условии излучения). Существуют частные решения в виде бегущих волн л ил(М, г)=Алфл(М)с " (М=М(г, у)), гле уз=у й Лл~ Лл и фл(М) — собственные значения к собственные функции мембраны„имею шей форму перпендикулярного сечения 8 трубы, дефа+Лафа=О в 8, —" ~ =О (С вЂ” гранина 3). д~'л д» )с Если Л„(йг, а Лл + ~ Аз, то сугцествует лд бегущих волн. При п~п имеем: и=Алф„(М)е ", да=ай Лл-йз — затухающие волны. Заметим, что всюду мы будем презлолагать собственные фуикпни нормированными к единице. Наибольшая допустимая длина волны, могущей распространяться в трубе, 2п деляг = =- ° =Р'Л,' для круглой трубы радиуса а йлл„, 2,613а.
Фззовая скорость с оя, )с, Лл ~/)в йз Избыточное давление Р = — (дерзи. Скорость частиц влоль оси г равна о =- — (ули. Поток энергии через поперечное сечение трубы 1'л= ~- ~ Ал ) ~ ~ фл дд . йсраул 2 «гроул 4л (* б15 Ч! Е УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА Для трубы круглого сечения радиуса а имеем: Л„=Лая „=-~"-- ), ( р1"1г'1 — "(а1 Уа1 Поток энергии )м а= 1Аарйсра~Гг Аа — ~ ) ю о где р~~1 — корень уравнения l„(р) 0„ Для трубы прямоугольного сечения О~к~а, О(у~о имеем; -, У амва пн1 пл ~l — сея — — «оса --у (п„гл=О, 1, 2..„,).
ай а Поток энергии 1 Г ггпз ля 1 43. а) 61М Р ~) ~ фа(М)фа1Р) хл1* 2ха а =- о б) О<М, Р . б)= У фя1")фа1');"' 2ха ° гэ —— где х, = У А„— йз: А„н ф„— собственные значения и второй краевой задачи собственные функции йеф.+Л„Ф„=О в 3, Если 3 — круг радиуса а, то ю„~( ) Рп У» 1 ~рт ПО ф ~" РО)2 (*<а1) где х„=)'Ля — йз; Л„и фа — собственные значения и собственные функции первой краевой задачи: Ьзфа+Лаф„=О в поперечном сечении Я, фа=-0 на границе С сечения 81 61 о ОТВЕТЫ.
УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ где (1 прн и О, е„1 ( 2 прн птьб, р(ю — корень уравнения Уа(р) О, а р~"~ — корень уравнения Х„(р) О. Указа н не. Следует применить метод разтлення переменнык к неодно. родному уравнению йко Ьао+ — +Лто — 1 (М, г), дга где 1 — пронавольная функция, н представить решение в анде - (Ца(М, Р,*, й)((Р, й) Ь б~. Если искать о(М, г) в вале о(М г) ~ ол (г)фл (М)~ я =! то лля о„(г) мы получаем уравнение мгоа(г) ы )а (г) )л ~~ ((Р г) Ра (Р) бнр решая которое найдем: 1 г — х„)а — ь( о„— ~ " („ЮЖ л 2хл 3 ма ~ о„(г) ~ ~~ ф„(Р)1(Р, Цаарй~. 44.
Функция песочника для полубесконечной трубы а ~0 провавольного сечения 2 в) О(м. Р.; а- А цт ф„(М)йа(Р)— ' =! е б) а~я.ь .е. О-т Ц Ь(М)фп(М'1 й: Ъа Здесь ф„н фа — собственные функцнк первой и второй краевых аадач длв мембраны 3 ма рсйя й кя ~~~а йг. У казанке. Применить метод отраженна к функции нл( Ел(г) е л так что 2 (г) е а — е Я 2е "~й~„г, — н (ь-г) — х ((+а) -нф 2я(г) с "а +в "а ' ° 2а "Я сййяг.
б) 617 45. Функция точечного песочника, дающая пространственное распределе ние аля потенциала скоростей, равна б (М, М', з. 6)= ~', ф„(М) ф„(М') К (г, ь), «=! где где р„гЪ» — йз. ф„(М) и Մ— собственная функции и собственное значение краевой задачи йзф»+Л»ф» О в д, —" О на С, есть 3 †поперечн сечение резонатора, С вЂ грани 8. Указание. Рассматривая уравнение (см. зазачу 42) для потенциала скоростей й,и+ — +а и- — )(м, «) дзо дз' с граничными условиями (Г 1в О, (7»,' О (2 †боков поверхность резонатора) и полагая (7(М, и)= Я и„(з)ф„(М), «! получаем для о„(з) уравнение о' — Р«о — )„(г), о„'(О) о„' (!!= О.
Его решение имеет внд о« вЂ” — ~ К»(г. ~))» ф) Ж~, 'о где К„(з, ь) — соответствующан функция Грина для уравнения о„" — р«о„й. Далее см. задачу 43. 2. Излучение мембран, ц ил ив дров и сфер Поток энергии (среднее по времени значение) !' О,борзо«а. Удельный акустнчсскнн нмпедаис 1. 46. Скорость Давление УП. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА с (! Р»г сй р» (1 — Ь) прн г~й, К«(з. ь) сп р„(1 — г) сЬ р»с Р»З Р» и ( прн 2~1 о е е-!аг г О. Р с Ъоее 'а', г.Ъ» О, б)8 ОТВЕТЫ, УКДЗЛНИЯ И РЕШЕНИЯ ч7.
Если на границе а 0 скортть се~ -! се(г)) ~~, Атуе ~ — г~, lр '! т=! где рт — корень уравнения 1е (р)=0, то с~(г, г)= ~~~ А~У„( — г (е '" йге(е~-.- г)е '" (е.тО)„ т=-! е=-! а †ради трубы. Давление р= ~> В (е ~~ чтг)е '" (а.тО), т=с где Вт — — — -с Ат. гере ут Если о (г, 0) = й,)е ! Е) г), ~(а то О при т)1, е!рей Вт= — ЕРЕ ж=!. ~/ дт Средняя скорость поршня л! Импеданс р д регс )/ )р — )— "! Псток знергии через поперечное сечение (ч 'й'.Н (рч) ч8. Радиальная скорость ц!е) (фг) ог ть Нт (да) Данление )!"!г (лг) Р = (Ч~осе — ° В!т (да) б19 УСС.
УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА Импеданс Р . Н™ (Аг) — — 1+... Ргссг Нр'(Аг) Иа больших расстояниях, прк Дгл 1. имеем: с зпч г нч у,/ 2 -'(" --) ° ъ,/ 2 -'(" — -) Н)м(А) у Аг' Л',м(д) ~ А ' сер сч / 2 — с(аг — -) Поток знергин Ро = пег Нм (ьп)(з' Указа ни е. Требуется решить уравнение Азс+ У'о = 0 в области г ~ а при дополнительных условиях с!г-а сз — /дс 1пц Уг ~б +Йе)=0 (условие излучения). г оэ 49. Избыточное давление разно Р~7™ рсоОНО (А) (~=2 ). В волновой зоне ну — с (д — —- — рз +... уг — с ~ьг — — ) ;/ те — +.. 1=1.
Полная излучаемая энергия на единицу длины цилиндра приближенно ранна 11 = переча'РК У к а з а н не. Использовать разложение 2! Н'и (х) —.. -(-... при малых х, нх -/ 2 — с(г — с — ) Нчм (х)= 1/ — е ~ с г пРи больших и. бо. Давление Р г) соз срН',и (Аг) радиальная скорость сре Н'," фа) отняты, инлзлния и он>пиния Удельный внустический импеданс НР (Ьа> и!г-и Н)м' (Аа) Если да~1, то ЖтгвагР,Ов и (ай)' Ь с ' 2 — 0) = ге — >~г, причем гв~4г. Полйая иэлучвемвя мощность на единицу длины тв и' П = ~ Уг а~р — р,ю'а'о,'.
чс о У к аз ание. Учесть, что граничное условие и(>евг вид ог 1г-а= св сги Ф. 5!. Если )йр)= — + 1> (а,„сяе~р+Ь„,в>плвр), где 1 Г ! ав — - 1 >(~р)др, а„, — 1 )(~р)совяврдр и 3 ' 2и,) о о 1 Ь„, — ч >(гр> ва лнрйр, 2п й) (гл 1,2,...), р= ~ (Амсгиюгр+Впв>п вггр) Н"'(Ьг), а=о где — (срч а, Ве= .
Ь (и=1 2 > НЛ' (Ьа) (с(ь,,' а„ Нй (Ьа) Ам=— (срч М»' (Аа) — + у( р+Ь >,„.. ав Н'„'" (Ьг) й> Нмм (Ьг) 2 Нв (Аа) Н~п (Ьа) При ) (9) = гн — а Ьм= 0, щ ) О, 2 ь) Здесь, как и всюду для давления н снорости, мнонгитель вчи опущен. Реакция воздухи на единицу длины цилиндре в направлении его двиигения тл г' = ~ ар (а, ~р) сов <у йр=(лагигрчоч ь> ЯГП УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА и мы получаем р = ро еоНо~м (йг), О',о' (йг) оо Оа~ (й т. е. решение задачи 48.
Аналогично получаются решения задач Фй и бб. б2. Йашшние р АГ)" (йг) Р, (соо 6). Радиальная скорость о,= — (Г™ (й ) — 241'(АгИ Р, (ом б), (А где ц ()=1 — "н,(), л Г 2х „+1 3 Р,(х)=х — полипом Лежандра первой степени. Если Аа оо;1, то А =О.б Ьо (ай)о оо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
