Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (1979) (1127884), страница 93
Текст из файла (страница 93)
ф (р) 1'"'(р) ' фм (р)= 4~ — ~ ! (р). г 2р и+ — „ Коэффипиенты В», удобно представить в виде . т+т гр В»= А( г) (2ш+1)зш()„» где Вм определяется нз уравнений *) т) (р) — (ш+1)/ + (р)= — (2т+1)В сов б = — (2т+1))' (р), (и+1)ф (р) — тф (р)= — (2ш+!)0 зш() — (2т+1)ф' (р!. Здесь ! -1~ — !у 1(р). Г 2р м+— 2 В волновой зоне (г-»сю) — г (໠— — )»» е жт 1 Р»= ~ В-"Р-( й. "- — ". ср, Интенсивность рассеянной волны 1 ъ~ )'»= 1'О йт — 7 (2т+1)(2Л+!! ЮП йм 21П(3»СОО(Рм — ф~) Р,~,(СООЕ)Р»(СОВЕ), и. »=О Полная мощность — Ол ът Па=уз — у (2п+1) ап»()», »=О У к а з а н и е.
Решение ищем в виде ряда р = У, Вм~м (йг) Рм (соа О), где В,„— коэффнпиенты, поллежащие определению из граничного условия =О. для нх определения необходимо получить разложение плоской волны в ряд. Докажем, что имеет место формула е О О Х С ф ® Р (сов 6), и=о ') См. (ЗЦ, шр. Зб!. ЧП. УРАВНННИЯ ЭЛЛИПТИЧНСКОГО ТИПА где См (2ш+ 1)! — «)ж. В самом деле, полагаем ! С фм(р) — — о озр (6)ая. 2т+1 г" — ! Интегрирование по частям при больших р дает: С другой стороны.
ып( — ) ф (Р)= ' — +ОД, где О~ — -!! — члены более высокого порядка малости, чем —. Из совпадения г11 Р Р асимптотики левой и правой частей следует, что Ст =(2ш+ 1) ( !уо 63. Если Р=йа~!. то А ар' I 3 1 Гаг р — ~ ~! — — соз 6~~ е Зг 1 2 1 в волновой зоне (Лг~ 1) о = — р о р о Интенсивность звука, рассеянного сферой, Роао / 3 (о г' — ')' 1,! — созе!! -1- ... 9го ' о'1 2 ! ° ° о Ао ) о= —.
2сро ' Полная мощность звука, рассеиваемого сферой, Т паоло ! 12 попо По= )'о+ " = — — )то+ ... ()г — длина волны)„ 9 "' 9 М Сила. действующая на шар в направлении з Р 2яао ~ р ( соз 6 мп 6 о(6 — 2п!а'РА, Давление на поверхношн сферы 3 . Ро = (Ро+ Ро) (о -о = А ~1 — 2 гр соз 6) + ... при Р 'о ! . Указание. Выражения для ро и )го, По можно получить либо прямым расчетом, пользуясь приближенными формулами ф" (Р) — — ф( — à — — 4 ' — — (и<!) Р, ! мг ~о1 о 3 ° 3' Ро ' Рз либо из полученных в решении предыдущей задачи 62 обопих формул.
При атом надо иметь в виду следующие приблиисенные формулы для рм и 0 632 ОтВети, ткАОАния и Решения 1 Если н,"те+ —, то 1 1 Рт ~ Р аг !т+ 1)- т Р в т 2 1 1 1 Если Р<ш+ —, то 0ав= в в Ва т — Рз. ! . 3 б... (2т — 1) (ш+ 1) Пав т.в а Р 64.
Па шзр падает плоская волна — "Е Га"от в Рв — — Ае )(явление в рассеянной волне Ра = ~'в Вт~т (йг] Рт (с<и б), т=о ,и) вз ав !а За йа... [2ви — 1)(2ш+1)(ш-1-1) где МС= ) ) (Ра+Рв)г а сга бов в((), 4п где М= — азр,— масса шара, или 3 Мв% и'~ ~(Р +Ра), бв(а Граничнсе условие при г=а можно записать таким образом: 1 д — — (Ра+Рв) ! а= (зй', соа б. йгра де Перемножая (!) и (2), исключим с и получим граничное условие иа поверхности шара 2ирг г) — — (Ра+Рв) =Раомб (Ра+РВв арв(гоаб) ми бдб, !3) 3 дг !в=а (2) где Р,(соа б) =соз б, Пользуясь разложением плоской волны по сферическнлв фуннпням Ю Р.=-Ае ' '"' = У,' А ф„(йг) Р„(гоаб). А =( — !) (2т+ !) А ви =-О и полагая Ра ~ ! Втйт (йг) Рт (соа О)в яв о в„- — ' (в~",.~'в а ав г в в,-ив~за,','в~ (тт (Р) Рагьв (Р) Рвьг! (Р) Р рв — плотность шара.
Радиальная составлякацая скорости павт У Вт(вч (йг) Р„(осе б) с(м Аы т=з (по поводу значения в)~т и Дав см. задачу 62). Решение. Уравнение движения центра тяжести шара под действием воздуха имеет вид нгг зплвннния эллиптического типа получим нз (3) в силу ортогональности полипомеа Лежандра Ндйг (1 — Ргф' 'И И А прн,а Рзй(м (И вЂ” Р рь)'" (р) Вш= прв тФ1, Азфз (р) ~':" (И бб. Рз — ~ Вмьм (Ьг) Р р (сгв В), м=с где В 4. Установившиеся электромагнитные колебания 1.
Уравнения Максвелла. Потенпналы. Векторные формулы Грина — Остроградского бб. Уравнения Максвелла в непроводящей среде без источников 1 дВ го( Н= — —, с д( 1 дВ го( Е= — — —, д( гйт В=О, В=РП, сйт В=О, В зЕ в криволинейных ортогональных координатах имеют вид е дЕ, д д р дНг д д 1 с з д( дк — Ьзйз — ~ = — ЬзИз — — ЬзНз, — — Ьзйз — = — ЬзЕз — — ЬзЕ„ дхз ' с д( дк, дхз е дЕз д д р дНз д д с '' д( дхз ' дх, ' с д( дхз дх, — Ьздг — = — ЬгНз — — ЬгНз — -Ьзйт — = — Ь,Е, — - -- ЬзЕз в дЕз д д р дНз д д в ' Й дх, дх, ' с д( дкг дх ' (2) Ьгд = Ь2Нз Ь1Н1 )ггдз = — ЬзЕз — — ЬгЕ1 ~ д д д дк, ' дкз - — Ьздзнг + — Ьзагнз+ — Ь1|знз — — О, дкз д д д дкз дхз — ЬздзЕг + — Ьзнг Ез+ — ЬгдзЕз = О дх, <Дз ЬЧ дг4+Ьз г( 4 +Ь г(кй), МЬ(р) — Р ~1 — и" ,1 рф~(И Вг= — Аг рз= л а=да ( ) ~ 1 з ) Р ь ) ( ) " Ь'м'(И ' При резонансе, т.
е. прн р=рз, В, =.— Аз —. ф1(р) йез) (И Если на шар падает плоская волна. то Ат =- — Зг. Если же нет внешнего поля, то мы получаем характеристическое уравнение Ргьгз~( ) ~1 Рй) Р~ из которого определяется частота ю «свободных» колебаний шара, вызванных внешней средой. указ анне. См. предыдущую задачу. ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕГПЕНИЯ Если зависимость полей от времени дается множителем с гнз, то в вгик уравнениях надо произвести замену, пальвуись соотношениями 1 дЕИ .
1 дНм . / м — — м= — (Ь»Езн — — ~= — (йзНм [Ьз ---, лг=1, 2, 3). (3) с дт ~' с д( '1 с В сферической системе координат хг=г, ха=6, х =~у и Ь,=1, 1~ =г, Ьз=г мп 6. В пилиндрической системе координат хз=Р хз=гр хз=х и Аз=1, Ьз=г, Аз=1, У каза н не. Использовать выражения для операторов д!» и го( в крино- линейной системе координат (см. Дополнение). 67.
Если зависимость ат времени дастся множителем е-™, то для вектор- ного нотенпиала и скалярного потенпиала можно написать уравнения 4п ЛА+ ЬХА — — р), мз сз Ь'= —, аз = —, 4п аз ' зр' Ьр+Вр = — — р, е причем — Гс <р= — гй» А, Ф еры т. е. скалярный потенпиал может быть исключен (à — вектор плотности тока). Выражение для ЬА в произвольной ортогональной криволинейной системе координат имеет вид ЬА= — го( го( А+йгад сй» А, тле 1 1д Ьз(д д пй го1 А = — [ — — ' ~ — (ЬзАз) — — (ЬгАг)~— Ь Ьз [дхз Ьтйз Гдхг дхз д — — — ~ — (ЬХАх) — — (ЬзАзф г, + дх Ь Ь 1дх дхг д + — [ — '~ — "" — — " 1- Ьзй, [дхз Ь,Ьз(дхз ' дхз д — — — ~ — (Ь Аз) — — (ЬзАг)) гз + дх Ьзйз ( дхз дхз д + [ — — ~ — (ГгзАт) — — (ЬзАХ)1— ЬХЬз [дх, Ьзд, ! дхз дхг ддзГд д ("зАХ) (ЬХАз)) (з дхз Ьзйз Г дхз д, 1 дз' 1 дф 1 дф йгад ф= — — 1 + — — (з+ — — !з Ь,дх, ' Ь дхз Ь дх 1 Г д д д ф = 61» А = — ~ — (ЬзЬХАг)+ — (Ьз АХАХ) + — (ЬзЬХАз)~, Ьгйзйз ( дх, дхз дхз гДе 1, 1, (з — еДиничные напРавлающне вектоРы кооРдинатной системы, А, Аз, Аз — компоненты вектора А.
68. В однородной проводящей среде уравнения Максвелла имеют вид з) =о, р-о, го( Н= — аЕ+ — —, гй» Е=О, 4пс е дЕ (1) го( Е= — 1'— сй»Н .О. с дг' з) См, (17), стр. 420. Полагая (2) получаем аля А и 1р уравнения (4) с дИ+ Ф д( ° (5) (3') (4') 1Ы 1р д!ч А, сйт (5') т. е. прн о ~О волноное число Ф всегда комплексно. 69. Если в вакууме (а=О, в=1, И=1) нет токов и свободных зарядов, 1 дП то полагая А= — — 1р= — 41ч П, получаем: с д( ! дзП ОП вЂ” — — О.
са дта Н= — (йго(П, Е йгад4(чП+йаП, (2') (3) причем (41 УП. УРАВНЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА Н= — го! А, Е= — йгад<р — — —, 1 ! дА и с дт ер гГчр 4ппр др М1Р = — — + се дта са дг ЬА з)1 свА 4яор дА причем А н <р связаны условием Лоренца д)ч А+ — — +, р=О. вр др 4пор с дг Если зависимость от времени типа е 1ВГ, то д41+ йа1р О, да= — ма+!в ар 4п рено ДА+ йтА О, дП . ! о"П Н вЂ” го( —, Е=йгад д(ч П вЂ”вЂ” с д(' ст д(а ' полярнзационный потенциал П удовлетворяет уравнениго Ддя временной тависимосгв типа е 1™ имеем: ОП+йаП О. Магнитный вектор Герца П' заспится так1 Н' = Осад ддт П' — — — Е' = — — го1— ! даП' 1 дП' ст дта ' с д( 1 дП' ЬП' са дст Для временной зависимости типа е ттм имеем: Н' йгаб д!ч П'+йаП', Е' (й го( П'.
ЬП'+йаП' О. (3') (4') Отвкгы, икАзаиия и ригпииия Используя уравнения (2') и (4') лля П и П', можно формулы аля Е и Н' переписать иначе: Е=го! го! П, Н'=го! го! П'. В проводящей среде для установившихся полей ! е-гв') П и П' формальао вводятся так же, каи и для вакуума; однако в этом случае под йе надо понимать величину арют 4пор да= — + ! —. гт ст дЧ/ Š— / + АЧ7 дгт н,=о, я ма,нитного типа (Е е' =о. Г Е;!= о га(пе дт ! д*(/' — — а='г дг да ' (2) причем потенциалы (/ и О' удовлетворяет рравненшо дЧ/ ! д / д(/! . ! дт(/ —., +- . — ~мпе — ~~+ . — +Ат!/=о, дга г'мп Е да ~ дб / гав(пай дфа нли 2 д(/ й(/+ йн/ — =- — = о, г дг а функпии и=(/г. й=(/'г удовлетворяют волновому уравнению А +йеи=а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
