Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (1979) (1127884), страница 96
Текст из файла (страница 96)
Поскольку электромагнитное поле полностью определяется значениями Е, и Н, то вычислим: чн ннлвнсння зллнптнчнского типа Будем теперь иснать решение задачи в виде и(г, 6, (р) = ~ а [$л(лг)+илько (ЯДР» (созб)соз~р, »=О в(г, 6, ~р) ~ а„[жл(йг)+р„~~' (дг))т Рли(созб) пп<р. »=О при г=а позволяют определить ал и Вл: Н .Гп Чрл(х) = — (хтрл (х)), трл (х) = 1/ — Х 1 (х), дх ' 2х з Граничные условия Х' '(Х)= — [хьгл (х)~> Ьгли (Х) =1~ — Ни' ~ Х. дг 1л (бо) ()» ьл (бл) 66.
Лшбракцил»а лдоводяиит) с4ере. Если система ноординат н падающая волна выбраны так же, «ак и в предыдущей задаче, то искомые потеипизлы Боргниса «) У=ги и (Г'=го будут определяться вйражениями ил [тря(61г)+ил(л (61г)1 Рл' (созб)осею при г)а (асвдух), о и и «=О и= Алф, (6 г) Р»и (соз 6) сов ~р при г Са, »=О а [1)л(йгг)+Б~(ли (дгг)) Рл (соаб) япю при г)а, л=з В„~Р» (йзг) Рли (соз 6) з! п <р л=а при г «Со, рг а„— Л ') См, задачу 70, 6) [Ч'л (61о) 2л (61о) — фл (61а) гл ' (6~а)[ »в а, л Л вЂ” Ело (лги) $д (дза) — ) Ч~л (аеи) сли (д о) ре РО аналогично записываются выражения для Вл " ()л, ц — волновое число шара, д †волнов число среды.
Составляющие электрического и магнитного полей вычисляются по форму- лам (1) в (2) задачи 66. Исключение составляют выражения для В, и В,; иод д(Р Е ег дб ' (дтс д0 В„=— ы(и' дб ' ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ У к а з а н и е. Следует воспользоваться полученными при решении преды. душей задачи выражениями для потенциалов ио н оо падающей волны. Граничные услония иа поверхности шара имеют впд 3.
Гйзлучение электромагнитных волн 66. Электрический диполь о неограниченном прктранстее. Пусть Р=Рее "'/ — момент кипела. ВЫбеРем сфебическУю системУ кооРдннат г, О, чу, в начале кооРдинат поместим диполь, а ось з напуавим вдоль вектоРа Рв„ тогда можно написать: /1 /6! Е =2 оп 0( — — — ) П, г— ,) ') ч /! /6 Ев=з1п 6~ — — — — йе) Пв г 11 Н,=гй мп 0 ~й — — ) Пм г Е =И =Е!0=0.
Здесь Пч — составлятошая вектора Герца, направленного вдоль оси а, е/Лг По — — рч — е-'~. г ! В волновой зоне (йг,в 1) с точностью до членов порядка — и более выгз какого порядка малоси Ег=й Еб=оч= " з!и 0Пв. Средний за период поток энергии — „Р с ! рейза 1 = 2пгт — — Ебо,е з1П 6 йб = —. ~4п2 ч 3 Указание. См. (7), стр. 455. 87.
Указание. Пуси, диполь помещен в начале сферической системы координат г, б, ф, а его момент ро направлен вдоль оси г(0=0). Тогда // =О, На=О, и где и — — решение уравнения г ли+ 6*и =О, причем /аи Пгп г р- — !Аи )=-О (условие излучения), '(дг д д —. (гич)= — О и1), дг дг д д дг дг "- (го,) = — (гог), дч 1 д" Е, — (ги)+ ля (ги), Еб = — — (ги), г дгз г дгдб 1 дз Ег= — — (ги)=О, ° дгдр (1) //и — — !6- и дб" ЧП. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА Условие иозбуждения можно взять в виде рйжп 8 Не ~ Рр — прн малых г гр жп 8 Н = — Рейз — е'аг пРи больших г.
ч 1 Ерагт (1 и=АЦо(йг)ом8, Дп(йг)= — — ~(й — — ), где А = й)РРр. Отсюда и следуют формулы задачи 88 для составляющих поля Е, Ее, Не. 88. Пусть дипочь с моментом р= ррр ™ направлен вдоль оси г координатной системы г„е, ф„начало которой помещено в центре сферы радиуса а Функция и и(г. 8! определяется по формуле и(г, 8]=(АЬ,(йг)+Вфр(йг)) Р,(ссв8)„ где / л фа(а) = ~/ " З 1(Х) 2х А (йзрр, (йл) йиг) (""1)+пр ' (йп) рп ° г л Н н В 'ч (йи) й Ф'(йа)+Ф (йл) р Сз ( ) 8/ 2Х „+ 3 ( ) 2 (сйр ди Н = —— 'г ры де' Н =О причем еррчы~+ (елррорм при г)а, й',= — "' +, !' при гца.
ыз 1 (ал одр ср Функция =( и, при г~а, и= ир при г (а Составляющие поля вычисляются по формулам (!) задачи 87. Указание. Задача отличается от предыдущей' тем, что шресто условия излучения иа бесконечности здесь появляется граничное условие Ее=О или д дг — (ги) О на поверхности сферы прн г а. Позтому в решении должны содержаться две линейно независимые цилиндрические функции, например нрп, и н"' 1,ж 1 ир' 1, ни' 1 их 1ит.д. мы выбираем .+ -'- .+-'' .+-' .+-' .+-' .+-" 2 2 2 2 функции г' ! и Н'" 1. Постояняая А — та же, что и в предыдущей р+.' р+ 2 2 задаче, постоянная В выбирается из условия при г=а.
69. Если выбрать сферическую систему координат г, 8, ф с началам в центре сферы и полярной осью 8 О, направленной вдоль диполя, то можно написать: дз ! дз(ги) Ег — (ги)+ 82 (ги), Ее = —, Ее — — О, г дгде ' Отпиты. укАВАния и Регпнния определяется формуламн и, = Се[о (Ьгг) Соз б, не=(РИйв (Ьзг)+Вфг (Ьзг]) созе, где ь[г' (айз) 2)1 (айг) ] г)г (айд У,,о (пйз)- Дп (ойг) Ч'~ (айз] — ЧЧ (паз) Я[о (абд Ьзрз ь[г' (ойз) Чгт (айз) — фг (айз) Х[о (ай ] рейз.
— Ь[" (алг) Ч г (айз) — фг (айз] 8[г' (айд Ь[рг д и Чгг (х] = . — [хф, (х)), 8[" (х) = — [хь'," (х)[ дх дх При ог-~ со С-ьб. В-».— ' ', т. е. мы приходим к решению задачи 88. Ч',(айз) ' Прн а -г-оз С -ч- О, В -+. О, и мы получаем решение задачи 88 о днполе в неограниченном пространстве. 90.
Введем сферическую систему координат г, б, ф с началом в центре сферы и полярной осью, направленной вдоль диполя. Каа н в предыдущей задаче, В~Р=Вг=Вб=й В~=8'„т (М+Ь (ггд Вб= д ( дз(гп) гсйз дн рог дб ' где [ и, при г~а, и= из при а(г(Ь, из при г) Ь определяется вырангениями из=(р33 [Ь[" (Ьег)+ Афт (Ьег)[ соя 6, из = [Втй (Ьг)+СЦ" (Ьг]) сов 6, нз ))ь[г1 (Ьзг) соз 6 Коэффициенты А, В.
С, (] находятся из решения системы следующих четырех уравнений: 62 где [Ь[о (пйз]+Афг (ойз)[ = в, [ВФ (пУг)+Се[в(ай)[, 0(зв(йаЬ) =Ь [Вфг (ЬЬ)+С([' (ЬЬ)[, )гз гр (Рейз [8[г' (Ьза) + АЧ', (Ьза)) = ВЧ', (Ьа) + С8'," (Ьа), )]8[в (Ьзб] = ВЧ г (ЬЬ)+ С8[о (ЬЬ]. Здесь приняты обозначения Чгт (х) = [хфг (х))', 8[" (х)= [хч[" (хЦ'. Указа и не.
Потенциалы и„, из, из удовлетворяют уравнениям Ли +А~и =-О (з=(, 2, 3), йт=йз=йз, Ьз=и, УП. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА и граничным условиям йз йззиз = — из, р д д — (и«г) = — (изг) ) дг дг Аз " =аз«из. р при д д Г=Ь. — (гиз) = — (ж«з) дг ' =д. при г=а, Функция и, прн г(а, а, при г~а удовлетворяет волновому ураянению йи+йзи=б, где Г ыз ззз= — прн г(а, сз Аз= при г~а. с' На сосерхностн сферы г=а должны быть непрерывны тангенциальные составляющие вектора Е и вектора рр, т. е.
Ее и рте« дз дз — (ги«) = — (гиз), дг дй дг дй ' др р дй Эти условия будут выполнены, если потребовать, чтобы были непрерывны д йз — [ги) и — и: д д — (ги,) = — (ги,), йз прн г=а. ййи« = ««з р з«ззи функция ги„очевидно, имеет н источнике особенность типа —, где )( 1 с«ззл )«=)«ггзз+г'- — згг' созе ((г, 6, «р) — точка наблюдения), т. е.
и й а а з«з'л Г!олагая и,=аз+о„где й,= —,из —,— (с« — нормировочный мно. г' г.' йз)« житель, который будет определен ниже), получаем для о, и и: ао«+й(о«=О прн г(а, бит+Азиз=б при г)а, д д д — (го,) — — (гиз) = — — (гйз)« ~ дг ' дг " дг йз прн г=а, лаз(о, +«тз) = —. и рЬ~ и, [' — й),)=О, О выборе выражений для я,, и„из см. предыдущие задачи, 91. Р е ш е н и е. Введем сферическую систему координат г', 6, «р с началом в центре сферы, диполь находится в точке г г'.
6=0. Поле не зависит от угла «р и определяется через скалярный потенциал и [г, 6): дз 1 дз(ги! Е = — [г««)+Аз(ги), Ее=в дгз дг дй Е =О, Р),=О. у[а=о, И [сйз ди )ыз дб ответы. РЕАЗАния и Решения Частные решения нмек'т вид о; =(А,ф (бв '+ Щ'(богДР„(ожб), ,„=(В„Я" Ь)+Воф.(йг))Р,(с 6). В силу ограниченности фуикпии ит нри г=О коэффнпиент Ао=О; нэ условия получения при г-ьсо следует, что Во=О. Поэтому о~ (г, 6) = ~ А„ф„(бог) Р„(соэ 6), (2) ио(г, 6)= ~ Вооа™~ (Фг)ро(соэб). Лля определения коэффициентов А„и В„иэ граничнык условий при г=а, используем раэложения фундамейтвльного решения ио в ряд по полиномам Лежандра: ~ а„('и'(бог)Р (с 6) при г)г'.
и=а 'е~ь'л (йо(г (3) ~ б„ф„(а,г) Р„(соо 6) при г ~ г'. а=о а„=[2а+1)фи(бог'), Ьо=(2а+1) ~о (бог'). При г' — ь О должно выполняться условие ао-г и=(роаоогчо (бог) Р, (сов 6) (ро — момент диполя). Учитывая, что первое слагаемое при а=О в (3) следует отбросить, таи как для него Но=Ег=ВО=О, и эамечая, что 11ш а" =) при а )1, прк и= 1, 2 (лоа) Ал 1у бо ) (1аа~ находим а=2(робо. Подставляя и условия (11 прн г=а выражения (2) и (3) (при г=а г'1, получаем Р „2.'о (би )+ А. Р.
(й. ) = В.го' (Ы), 4 (ао((йио' (боа) + Аофо (боа)) — В 4оо (Да), р 2о'(р)=Мо'(р)Т. ф. (р)=(рф. (р)1'. В= — ", = — "'~. Отсюда наясднм А ! 21 (боа) ьо (ба) — ьо (боа) 2оо (аа)1 1. 6(р В =( (боа)2о (боа) — (о'(6 а)7 (боаИ ( ", й = фа (аоа) 2ли' (йа) —, Ьи' (Да) Чги [аэа). /гоар Если а-гоо(й-ьсо), то В„=О, уп. нндвнппия эллиптичнского типа из= ~', А»ф,(йг) Р„(сене), » о вне земли (г)а) еечьн и,=й — + 1 В„1»н(И )Р,(с е)- (йьВ (фаей+В») ~» (Иег) Р» (сов(0 »=е ~ [ВЬ»зр»(йег)+В»ф'(Изг)) Р„(созВ) (г ) г'1, (г ( г'1, »=о где Й'(Иа ) Ч'. (Иаа) — Ь(И") 2Т (ИМ) А» —, (щ (Иеа) Ч»(йа) — У»п (Иза) зр» (Иа) О» (Иа) зу» (Иьа) —, з)» (Иьа) 'К» (Иа) И) В » Им рь„ Иьк ф'(И,а) Ч „(Иа) — г»и'(И,а) Ч, (Иа) 2(рддр а+И а»=(2л+1)з)» (Изг )ю Л» (йа+1) (я (Иег ) Если земля идеально проводщцая, то Ч~»(Иоа) А =О, В„= —,"и ВИ», гп'(И ) В результаты и =О, г.'н (И,а) Сьь задачу 91.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
