Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (1979) (1127884), страница 83
Текст из файла (страница 83)
указание к задаче 50. 68. Нужно найти решение уравнения дЧ/ 1дЧ/ 1 д(!! дУ =аз [ — + — — ) — 2чз— д(з 1дг' + г дг) д! ' гл ХI(г, !)=о(г, !)+А — е!"'„ где о(г, 1)=)7(г)егн', ~ )7(0) ~ (+со, В(гз)=0. Для !с(г) получим дифференциальное уравнение л) Мы предполагаем мл дейспштельным прн л 1, 2, 3, ...; в случае, если для и=1, 2, ... м„является мнимым, в соответствующих членах сов н йп заменяются на с)! н зь н зивы перед первые слагаемым в формуле (6) заменяется на противоположный, удовлетворяющее граничным условиям )(!(О, 1))л.+со, 0(гю Г) Ае!в1, а затем взять его мнимую часть. Для атой цели освободимся от неоднородности а граничном условии. переведя ее в правую часть дифференциального уравнения; именно, будем искать решение задачи в виде Яб ОТВВТЫ.
УКАЗАНИЯ И РВШЕНИЯ «=! где р — положитеаьные корни уравнения Го(ф=О. 60. Решением краевой задачи го д'и о (дои ! ди1 д(о ' !дгт г дг! ---= а", (- — + — — 1 — ао ~ ги (г,!) дг, О ( г ~ го О Г ~+со ио= 2 прои« Црг и(го. Π— — 0 0~1~+со. и (г, 0)=гу (г). и« О, 0) =ту(г), 0 ~ г ( го, (2) (3) являетсят и(г. !)= ~~ ~А»гтв:(сп-+В» з)п ~~» ~ (уокер» — ) — /о(р»)~«(4) »=! где р» — положительные корни уравнения у,(р)+ .(И)=о, =""","."), Ира« о (б) «о 2 Г Г г г! г 1 ~ ~')('"(р" 1 у (р.)1"" «о~ «1 Оо«)+ о Уо Он»)~ р« г, В»= 1 2 -! ~ «оу(г)~У«(Р» — ) — «о(Р~)1дг Ър» о~у)Ьг )+ — «у)(р»)~о р» Указание.
Часгные решения уравнения т» д'и, Гд'и ! ди! роно оà — =ао ~ — + — — ! — — ~~ др ги(г !)дг д(о ' гад« «дг| Ро()о 3 У удовлетворяющие условиям !и(0. !)!~+со, и(го О=О« ищем в виде («(г, г) )! («) '!'!О. После разделения переменных это приводит к уравнениям го у-+аррт О, — + — — +у)! 2„° Р«В(г)дг до)( ! В Роно ! Г дго г дг рта! Г)о ) «) По поводу обозначений см. задачу б. решение которого, удовлетворяющее граничным условиям (1), ищем в виде УЕ УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА Прежде чем искать решении последнего уравнении, удовлепюряющие условиям ! И(0) ~ (+со Ю (го) 0 (!') выполним в нем замену переменных: Хг=х, )с(г)=11 — =у(х); зто приве! )о1 дет к уравнению р + — р'+р(х)= — — '.
о,„(х) лх 1 2проа, 'г, 'Р х ()ор,а,' ро ~ гДе И=Ага. Прн этом условия (1) примут вид ]у(0]! ~+со, р(р)=0. Подстановка (4') в (2') дает: 2п рона го — )о(р)=-- —; — ', ~ х(7 (х) — Го(И]) о( ° ()о Рол) Ин 5 о (5') что приводит к следующему уравнению для определения значений И, соответствующих собственным значениям 1= в рассматриваемой краевой задачи р 7,(И]+ 7,(р)=О ), (51 где р то го х=п „,—, Ргл) ()а Полагая рзг ]!а(г)= "о~ — "-) — уо(рн).
где р„— положительные корни транспендентного уравнения (6], нетрудно установить следующие соотношения ортогональностн "«) лля собственных ойункпнй )(о (г) рассматриваемой краевой задачи го г'! 2н — "'(л~ооо —,ло.>1 ° ° - .) г/(о (г) А'„, (г) г(г = 2 ~ ' " ро 0 при т чья. "й)+™ ( —:,') *] Для этого после выполнении интегрирования в правой частя (5) с помощью соотношения (20), стр.
581 (7], нужно воспользоваться первым из соотношений (21). сто. 581 (7), положив т=1. ") Сн. (88). решении уравнения !2'), удовлетворяющие граничным условиям (3'), ищем в виде р (х) = уо (х) —,)о (р). (4') ОТВЕТЫ. УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ где н и [[„(г) имеют тот же смысл, что и в предыдущей задаче, го Ал= 2 ) гор(г)[[л(г)иго 2 ир +',(р )+ Еяр,)~ рл Т вЂ” [го Я го(и ) То — натяокенне мембраны. У к аз а н не. См. укааание к предыдущей задаче. 71. Ршпенне краевой задачи д'и —; + со бой~и=О, 0 ~ г < го, 0 ( Г (+~, и (го Г)=иг (го [)=О 0( [ ~+со, и(г, 0)=((г), ио(г 0)=г(г), О~.гсго, (2) (й) будем искать методом разделения переменных.
Заметим, что диальной симметрии до 1 д Л = — + — —. дго г дг' в условиях ра- [4) Часткые решения уравнения (2) ищем в виде (Г(г, [)=[[(г) Т([), Мы получим: (б) Т" + во Т= О, Т ([) = А соз во[+ В зщ ои[, йИт — А%=0, йо= —. юо со Послелнее уравнекие можно записать так: (А+А)(б — й )Я[.)=0. (б) (й) Таким образом В(г) может быть (о+до) В(г)=0, решением уравнении доВ 1 Ю т. ° — — + — — +дол=О либо уравнения (й — йо) В(г)=О до)[ 1 д[т т. е. — + — — Ао)[ — О Его г дг [[ [г) = Сг (йг) + 0[о [йг). Чтобы удовлетворить граничным условиям (2), [1(г) должно граничным условиям [)(го)=В' [го)=О- [1О) удовлепюрнть Подставляя (10) в (11), яолучаем уравнении СУо [йго)+ 0(о (Его) = О, И' (йг ) + [)[', (йг ) = О.
) [12) Так как нас интересуют лишь ограниченные при г 0 решения уравнения [й) то 641 У!. УРАВНРНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА "га (йго) (о (йго) га (йго) го (йго) =О для определения собственных значений нашей краевой задачи йэ, йа...., йо, В качестве собственных фуниний можно взять йо (г) = й (йаг) = )а (його) Уо (йаг) го (йога) 1а (йог! (14! Втн фуняцин ортогональны ) на отрезке 0 ~ г С го с весом г. Для докэза. тельства этого утверждения заметим, что уравнение (7) можно переписать в виде — — ~г — - ~ — — ~г — )) — дай=О.
(1б) Положим в уравнении (15) й=й„(г), й=й~, а затем й=йщ(г) и й=йм. умножнм первое нз полученных равенств на гйм (г), а второе на гй„(г), ") Ортогональность й„н йм может быть доказана и беэ подробного ясследования их поведения при г=О. Возьмем уравнения ЬЬй„(г) — йой„(г)=0, ЬЬй (г) — й' й (г)=0, УМНОжнМ ПЕРВОЕ На йы(Г), а ВТОРОЕ На й„(Г) И ВЫНЕМ; МЫ ПРИДЕМ К Раненству йм Ь йа — '<. ЬЬйм=(йа — йм ) ймйа- Проинтегрируем это равенство по кругу К с границей Г, О ~г < го, 0 ( ар <2п я воспользуемся формулой Грина (й„— й )~~й й„бо-~~[й ЬЬй„— й„ЬЬй„)до= так как на окружности Г, г г„имеет место йм(га)=йо(го)=0, йм(го)=йо(го)=0. Если йщ~/га(й,„, йа)0), то нз равенства (й — «а) ~~й й„ы-О следует равенство ~~й й„б =О, г„ гйж (г) й„(г) йг =О.
т. е. Мы разыскиваем нетривиальные решения уравненмя (8), удовлетворяющие граничным условиям (1!), поэтому константы С и 0 не должны одновременно обращаться в нуль, следовательно, определитель системы (12) должен быть равным нулю. Так мы приходим к трансцендентному уравнению отняты. ни*алиня и впшиння Решение краевой задачи (1), (2), (3) получаем в виде суммы ряда +о! и(г, !)= ~ «А„саа(сей'„Г)+Вл мп (сод«о()) )(л(г), л=! г« гг (г) Я„(г) Аг го ') г) (г) )!л (г) !(г Ал л ))( + л с Л 1~д (1«(його) — Ло(йлго)) ° )Сл (г) ! (йо о!) й го(о (його) Ло (його) л=! где цилнндричесная жесткость () равна 2Ейо *«) 3 (1 — то) а (с„(г) имеет тот же смысл, что и в предыдущей задаче, + йл~ о о ч( 1 мп (й'„со!) — мп ыс где )сл и В имеют тот же смысл, что н в предыдущей задаче. Л! (його) Вл (г) йлг«Л« (й~г) Ло (й г) ') Можно было бы воспользоваться аналогичным образом соотношением (17), полученным в предыдущей сноске.
«") См. решение задачи 16 настоящей главы. вычтем результаты и проинтегрируем по г от нуля до го; зто дасж го (й' — И4) ~ гД В с(г =~ Вл — ~ — — (г — ~)1— о — Л( — „" ~ — ',— "(г "~")~+)(')(.— Л(.'г')' ". «6) Подстановка в правой части последнего равенства обрашае!ся в нуль тождественно прн г=.0, что вытекает нз структуры рядов для функций Бесселя Ло(х) н (о(х) а при г=го зта подстановка обращается в нуль и силу граничных условно (11).
Позтому пря й„,„ьйл, й„,~О, йл)0 будет: ') гВ й!„!(г=-О. (16') а Если в равенстве (16) заменить йж на й и перейти к пределу прн й-!.йл, то, ржкрыаая неопределенность по правнлу Лопиталя, найдем )! оо Ь ! ()сл ~ = ггсл (г) с(г — — '()сл — отл — ( — — ~г — ) — ! ! — )СФЯ« 4 ( ! — Йл (го) — гь)о(й го) |о(його) (16) О1. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА й~ао 74.
и(г, !)= — г 'ъ %~ =2п() п 1 76. Решением краевой задачи и(го, !)-и(г", !)-О, 0~!«+ ь и (г, 0)=р (г), и,(г, О)=) (г), г. г ,**, + оо и(г„!) ~ ', (Апан(аЛ„Г)+Впаш(иЛп))) Вп[г). )(п (г) — )о (ГЛп) Ноч (г Лп) )а (г Лп) Н)~ (ГЛп) Лп — положительнме корни уравнения Но '(г Л) )о г Л) Н) '(г Л)=0 7~(Лог*) , Л а„п,, ~ гоу(г)/(п(г)дг, го о Уао(Лог*) га (Л Гао) " (О(Л Г.) 1 ГГР(Г) йп(Г)"' г оа(г Л) поЛо п А п и Лп В п и 2 + са и(г, !)=Р(г) мп оМ+ ~ Вп)(п (г) о(п о),п(, п =! )7 (г) ро мор )о( )Но ~ ) Но ~ — ) )о~ — ) г* пайп 72,(Апгп) Вп= — — " ' .
Ю(г))) (г)дг, 2и 1оо(Л„г*о) 7о (Л„г ) ) г Вп (г) = )о (Лпг) Нои (Лаго') — Хо (Лог*а) Щ1(Л„г) Лп — положнтельньн корни уравнения .),(Л,»)Н, ( -) —,(,(Л о )НУ ( ")=О. д'и . И'ц ! ди! — =по) — + — — 1, го(г агап. О(! С+оп, дта (дго г дг) ' Ч! НРАВНЕНИЯ ГИПЕРВОЛИЧЕСКОГО ТИПА тп. Потенциал скоростей ранен л.л О гп !(и —. ~ 1(г) 4~ — )0~. р" сап / Ип о!т гп ! г Уп(Н ) -- ап)11 " „О о о гл гп Нт С гл и рм, ОС=О, ), 2, ...,— полон!и!алиные корни уравнения .1,(р) О. 60.
Потгнп пал скоростей раасн И (Г, 2, 1)= л да))л (Г) СОΠ— СОО Оя+ Лна~ л О л, ил=а Ра (г)=Кй(хлг") 1п(х„г) — КО(хлг)1п (х г'), / лтят в! И ад' (2) 2 Г ниа дл — —, ~ .'(2) соа — Па, л=), 2, Фл(г ) О ) ~й(" ) 11)п !г! = Уп (Дщ г) ИОЛ (Хтгл*) )о (Хглгпл) Нао (Хмг), *) Здесь предполагае!ся. чпп Х„ДЕйетннтсдьИО; в ВРотнаном случае К„и 1О заменится на Фп и ул 18 п.м.
Вта и н АР. (+ о и(г, г, 1)= т! Ь дмси ~л =О ! ь У гл +по г Лпа 1РмГ) т. Нгл Л На + В„„соа — г' ! — '" ) сснта т/ 'Нт л Лна - / „Лапа т Влл тггп (г) спн ом1а аг ) ю ) г (() ОТВЕТЫ. УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ Хж-положительные корни уравнения (о(Дг*) Ноп'(Дг*') — (ю(Дг*') Н]п'(Дг") (о Аи г~ гйп(г))(гл(г)о)г ~иго гоо ) гНоо(г)аг г 81. Потенпиал сноростей равен и(г, г, ()лп ~ А„)( (г)сне ауг ) — — сены(+ .оГ о Ыо ао~ о +о» + ~) И„Нл(г) соо — сов(а 1гг )оп+ —,„, о жяа .о l о топо п.гп о )(л (г]- )о ()олг) Ноно (диг*о) — уо (диг *) Ноп () пг). Хп (и О, 1, 2, ...) — положительные корни уравнения до (Хго) Н'„'и ()и'о) — го (йгоо) Н" и (йго]~ О о), гоп 3 г)(г)))й(г)а г Ап— о )„о — — аь) аГ 1„',— — 1 гйп (г)аг ао ауГ ао ~ г 8 — —" сп т 1уг )оо — соо — аз, т 1, 2, 3..., ипо 1 ~ п о ° ° ° ° ° о г и сьт ) до 'аа.
по 1 ~ ~/ п г, где р)и) — положительные корин уравнения Т (р]~ О, (2 прил О, )(1 при и те О, го — радиус мембраны, (ги о)о) — точка удара ") злюсь прсаполагавтсоо, что Аа З ° — Длн всех и. О, 1, 2о чт. уРАВнения ГипеРБОлическОГО типа 547 Указание. Можно сначала считать, что импульс К равномерно распределяется в момент ! 0 по элементарной плон!адис !р, ~ ор оар, + А~р, гд<г==-го+Аг, т. е, что начальные условия имеют внд и(г, ф, 0)=0, 0<ф<фо, О<ге го, К на указанной площадке, иг(», ф, 0) РгоЬРЬг 0 вне указанной площадкк, а затем в решении, полученном при этих начальных условиях, перейти к пределу прн Аф-оО и Ьг-о-О. Можно воспользоваться также импульсными дельта-фуннпиями для фор. мулировании начальных условий, полагая а(г, ф, 0)=0.
О<ф<!Рь О~гоИго, иг(г, ор, О)= — 6'(г — г!) 6(ор — ор!), К Р Где дельта-функция 6 (ф — !р,) определяетси обычным образом, а функция бо (г — г!) определяется равенствами г гб'(г — г!)7(г)дг ((го), если г',<г,<г,', г'„ гб» [г — г,) 7(г) дг О, если г, лежит вне отрезка (г,', г,"], го какова бы ни была непрерывная функция )(г). Таким образом, произведение 6" (г — г!)6рр — ф!) является обычной дельта-функцией для плоской области; умножая се на элемент площади в полярных координатах гдгдф и интегРируя по рассматриваемой области, мы получим ! илн О, смотря по тому, принадлежит точка (го, фт) этой области или нет ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
