Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (1979) (1127884), страница 77
Текст из файла (страница 77)
оо г)~~ л'т 2 (ап \т " ((г (о о7 . Апх АЯО ичу ипт) .е и ' ' мп — а(п — Ип — ' а(п —, 14(го р п( б,(х, у, г, С, т), Л, 4)= где )(» к ри — соответственно положнтельпые корав уравкенпй Лг — йо рй Аа с(6 1()( я — — — к с(О 1ар 2ЛА ад 'Ро "(с(6 ° Ла Ци асс(6— ]ол Ь вЂ” кои)(рвцвек( теплообмена. (* — о(' + — т~+ — 44 е 4лч ~~ и ' еааисоа — соа — соа — Усов — О, 1 1 ее= 2 — прп й О, — прп и О, елпрв А~ О, 1 прк л чеО, ба(х, у, г„$, т), ф, 1) (л — УЯ вЂ” — -(- со — а*(ЛА+В,о) 4 о р"й 4'( ~( В+А')(1(+2АЧ(Р*-)." ) (а+2Ч а.и 1 Х(Ла соа Л~Д+ А гпт Лас) (рл соа Илу+А мп Илу) (рл с(ж Ялт)+1( а)п рит)) (л ((о М Ж- — "' " Р4+А)(р„+').-"'4+".)' а Р и( 1 Ц+А ) (+ И()(л+Аг) (а+2Ч Х а)п(Аах+4РА) 41п ()(ЛС+3РЛ] мп(мчу+Фи) г)п()(ит)+(Ри)1 Ч, И АВНННИЯ ПАРАВОЛНЧИСКОГО ТИПА Указание.
Применяя преобразование Фурье по а + со 1 й(х, у, т, Г)== ~ и(х, и, Ь, ()е(о(д(„ )ы + со 1 /(х. у, ч)- —. )(х, у, ь)е(т(с(Г,, )'2н д (2) мы придем к уравнению дй ( дзн дзд — =аз~ — + — — )рд' д( ( дхс дус (3> н начальному условшо й)с о Г[х, у, т). (4) Замена д=е асд(о(х, у, ч, 1) приводит к уравнению (3') и начальному условию с~( о= (х.
у, ч). (4') Граничные условия для и будут те же, что и для и. 6 находим методом раз- деления переменных, а затем, подставив его выражение в (5), применяем к я обратное преобразование Фурье, при атом после выполнении интегрирования по т получатся выражения, приведенные в ответе. + со 69. и(х, у. х, ()= ~ с$~ д() ~ Г($, т), ()6((х, у. з. ~, (1. ~, ()с$, (=1, 2, е (* — Р' Г (» — йр (с+4)с 1 е (а ' „ )е (а г 1 оач Указ а н не. В случае а) следует применить синус-преобразование Фурье по х, а в случае б) — косинус-преобразование по х. Далее задача решается аналогично предыдущей 70.
и (г, ф, а, () +о го яя д",1 г'дг' ~ )(г', ср', ~)0((г, (р, з, г', ф', Г, ()дф', с=1, 2, 3. — со Ь причем граничным условиям а) соответствует функция бо получающаяся из (с Фс функции бс ответа предыдущей за(жчи заменой множителя е на мно(а'г — (а+111 аасг житель ~е (а'( — е за ( 1; аналогично в слУчае б) бз полУчаетсн из ба заменой ОТВЕТЫ, УКЛЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ В случае а) ! 1 !' 2 при н=О, ( 1 при лчьО, Иавп — положительные коРнн УРавнениЯ Хл(Р]=0. В случае б) в'=2 ~ 2 прн л=-О, е„= ! 1 при л~0, !вон — корни уравнения У„(р)=0, р(ео!~0, )в~"! )О при л ныл. ае в) =3, 6з(г, ф, г„г', вр', ь, !)= л г, л га ~ 2 прн л=0, ( ! при лЖО, 1,(л' — положительные коран уравнения — гл(Р)+Лв'л(р) =О.
га 3 а меч а н ив. В случае б) корню Кв1=0 соответствует собственная функния, ранная тождественно константе. Указание. Задача решается аналогично задаче 08. гво гв Зп и(г, чч а', !)= )г в(~~ г'в(г~ )(Г, «р'. Ь)б~(г, ф, а, г', ф', Г, !)дф, ! 1 о в случае а) в 1, 6, получается из 6т предыдушей задачи заменой множителя е тлч на множитель )е ьвч — е "л" ); в случае б) 1=2, 6 полу.
!» — ь)' чавг чается из 6, предыдушей задачи заменой множителя е на множитель ч. зиавнннип плпдноличнского типа 72. +ОР Г ( .. *, о- 1 л(" '~ !г, '. !)ол,о..'. ',!.ол. -со в случае а) 4=1. 6! (г, (Р, а, г', ор', ь, Р)= (е — ь!» 4ам — аеиа У е ел!е е асафа Г п( ж л =- ! р(л! — положительные корни уравнения Хл (р)=0; в случае л б) 4=2, 64(г, ор, а, г', ор', С, Р)= (л — С!е + о е. л=! 1 при а~О 2 при л=0, р(л! )О при аль О, р~о)=-0, ра(л! — корни уравнения 7„пй)=О.
чъ Корню р'„м соответствует собстнениая фуикпия. тождественно равная константе. 73 и(г, ф, 7 ()= +оа г фо 4(б ~ г'((г' ~ 1(г', (р', й, Р)6((г, ф. а, г'„ор', (, Р)((ф', 1=1, 2; д д о в случае а) (=1, 6, полу(аетсв из 6, предыдуп(ей задачи заменой множителя (» — ь)!' [ (4 — (1* (4+1(е 1 е на множитель [е * — е 1 в случае б) 4=2, 64 получается Рае( [ 4ал оае( 44 — ь!о из 64 предыдущей задачи заменой множителя е 44'г на множитель +ао Фе 74. И(Г, ф, Р) ~ РРРР) 7(Р, ф')64(Г.
фо Р, ф', !)4(ф'е 4 1 ° д .,„(.,е, агефе )Рг((Р ~лл 1,1 ~лл ~ Го ', Р'е РРе Во о лпф . лпо)Р а(п — з!п —, Х„',(р(ал!)~4 ф фп ' ОТВЕТЫ, ККАЭАНИЯ И РЕШЕНИЯ в случае а) 1=1, 61(г,Оь р, р', 1)= 2 У Й е-''Ачу Му ( )Хдйащ"— и'Р И 'р врв Еч ' л=1 вв чъ в случае б) 1=2, ба(г. вр, р, вр', ()= — 7 ~„Я е аччл (Хр) в' (Аг))вЖ1ссе — ~~ 1 при лчьб, ел= 1 при л=О. Если воспользоваться известным соотношением для функпий Бесселя +СО а'+ г* а у„(свт),/ (ут) т йт = — е ) р*т' 1 врв / ау '1 2рв "(2(Р) О Ке (ч) ~ — 1, ( Агб р ) ~-, 2' получим +со ш 22 О э е вв Поэтому 6, и 6а мошно представить в виде гв+ р' = аО .' =~Ь.~! 2.
л=1 = аваь(,~в " шв (,2ав() гр, вр, л=в 1 — прн л=О„ ел= 2 1 нрн плыл. Указ а ние. Частные решения уравнения ди (дви 1 ди 1 д'и'1 д( )дгв г дг гт дврв! — = аэ — + — — + — - — 11 ишем в виде () (г, вр, Г) = Оу (г, ~) бв(вр), требуя, чтобы в оаучае а) и б) вы нялись соответствующие граничные условия. В слУчае а) это пРиводит к частным РешениЯм ил(г. Г] мп —, л — 1 лтввр чч лвир 2, 3, ..., а в случае б) — к частным решениям и (г, () соа- —, и=О, 1, 2, З л е. и*лвнннин плвлволичпского тнпл В обоих случаях и„(г, и является решением уравнения Гип')о ди Фи«1 ди« 'тйчг' д( ( дго г дг го (1) Решение исходной краевой валачн ищем е виде суммы втнх частных решений: в случае а) +со и(г ~р.п ~~~~~ и«(г, Осев" — '"Р; (2] ЧЬ «=1 в случае б) +со и(г, тР, 0 ~ и«(г, ()сов —.
лшр Чо «=о случае в в рвд по сов— ' лшр оро Разлагая )(г, о) и)г в ряд по в)п — в первом ПЯф сро во втором, найдем начальные условна для и„(г, (): в случае а) и„(г, 0)=Р«(г)= — ) (г, о') ап — йр") 4Ро Чч в случае б) и«(г, О)=(«(г) — ч ((г. м')сов — ойр', лчьО. 2 с, игор' Ч 3 ' Ч а ио (г, 0)=го (г) — ~ )(г, м')дтр'. оро о (4') и(г, О, () О, ' Ро' 0„0<г<+Оэ, 0<(<-(-со, ди(г, Чв () дф и (г, Ч, 0)=~ (г, м) 0 <о <тра 0 <г <-(-оэ (2) ") См. (42), стр. 459 — 600. Решение уравнения (1) прн начальном условии (4) нлн (4'), ограниченное прм г-о О. ищем в вийе + со+«о „(, О- ~ ~ (г„(р, ()2„„(йр),)„„(йг)йдлрдр, вспольвун интеграл Фурье — Бесселя — Ханкеля «) +«+оо г(г) ~ ~ Рйт)оч()ор).)ч()ог)) д)ордр, ч~ — —.
1 о о 70. Решением краевой задаче ди (дои 1 ди 1 дои1 д( тдго г дг го дно)' — ='и о( — + — — + — — 1 0<в< Р, 0< <-1. 0 <( ° -(-со, (1) ОТВЕТИ ККАЗЛНИЯ И РЕШЕНИЯ является чс + и (», ср, ()=~ д»р' ~ 1(р, ср') б(р, г, ср', ср, () р др, о о где б(р, г, ср', ср, ()= (4) «=о о 2ср„ 2е (2«+ 1) чср', (2п+!) ."цр х мп яп «»ро 2»ро 76. и (г, ср, г, В = чс ОЬ д" '1 г дг ~ 1(г', ср', () б (г, ср, а, г', ср', ь. ()»(ср', 4 = 1, 2; — с«о о в случае а)»=1, » — 1»с 4«» б,=' . б„ 2и)» н( где бт найдено в задаче 74; в случае б)»=2, 4» — йи 4«с» б,= 2а 1' Й (1) (2) (2) является: 2(»о (' 11 — '»' ») К (, л) с(а (4) где К (г Ч -го (гоМ )Уо (»М Ао (гьт ) »о (г)с) (5) У к а з а н н е. Воспользоваться интегральным преобразованием Вебера с ядром »К(г, )р) на интервале го<»<+со, а именно: сначала, применяя вто преобразование к уравнению (1), получить уравнение для образа Вебера искомой функпни + с« и ()с, Е) = ) и(г.
() гК (г, )с) дг, гс а затем, найдя П(Х, (), применить формулу обрашения Вебера (»о Ь ~~ ЛК (., К) дй и (г, ()= »4 (б) где С найдено в задаче 74. Ук аз а н и е. Если применить преобразование Фурье по г, то задача сво- дится к задаче 74. 77. Решением краевой задачи ди ~до»с ! ди1 д( 1дго г дг ) ' .— =а* с( — -+ — — 1, го<» <-(-со, 0<(<-)-со, и(го ()=ба=сопя(, 0 <( <+Ос, и(г.
0)=0, го<г <+со У, УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 2, Построение м применение функций влияния мгновенных точечных источников тепла 78. Указ анне. Справедливость утверждении проверяется непосредственной подстановкой функции и(х, у, г, !)=иг(х, !)иэ(у, !) иэ(г, !) в уравнение (1) и начальное условие (2). 79.
б(х, у, г) е 1 (» — й! г -4- (Э вЂ” Ч И.(- (» — ря 4ааГ (2а У"п))э У К а За Н И Е. ЕСЛИ В ЗаДаЧЕ 78 ПапажитЬ /4(Х)=8(Х), гэ(У)=6 [У), /а(г)= =8(г), то сразу же получится, что функцией кэияния мгновенного точечного источника тепла для пространства — са (х, у, г (+со является произведение функций влияния мгновенных точечных источников тепла для прямых — со( ~ х (+со, — со < у .с+аз, — со ( г ~+аз. 80. и(х, у, г, Г) « — й! +!Š— Ч!'+4= — РР 4.4 — АР+« — ЧР+!» — ГР + .
~ ~„~ ~ ~е 4а*(4 — ю Е(с, ~, )Щл д~. (1! Указа н не. Формулу (1) можно получить совершенно элементарно, ио не строго, используя физический смысл функции влияния, полученный в решении задачи 79, и рассматривая искомую температуру и(х, у, г, !) как результат слонгения действий мгновенных элементарных источников, распределенных в начальный момент с плотностью Г'(х, у, г), н непрерывно дейгтвуюших источников. распределенных с плотностью г (х, у, г, !). Формула (1) пожег быть получена также с помашью формулы Грина, аналогично тому, как это было сделано н решении задачи 68 гл П!.
81. а) б, (х, у, г, 8, ть й, !)= 4» — б +(а — ш" 4 4» — ТР « — йи+ш-ш" +4»+й!'1 4ан 4ам (йп ) „,)з 8) бэ(х, у, г, 8, 41, сл !)= !» — Ю*-4-(е — ЧРЭ ы — О' 4» — ГР+4е — ЧР+4»+()41 (е 4а/ +е 4а*Г (2и )' и() ! 4» — й!'+<а-ЧР+!е — СР в) б,(х, у, г. й, Ч, Г, !)= [е (2о )' 44()э 4»-й)Г +4Э вЂ” Ю'Х4 4 Рл + 4» РР+са — Пи+4 +(-Ьэ!' +э 4авг 2А ( е-эив эам 4!4Э ОТВЕТЫ. УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ +со +ос +со 62 а) и(х, у, г,г) ) с($ ) с(ч ~ с(а, ч, ь)бс(х~ у, г,а„ч.
ь,()с(ь+ С +па~ с(т ~ ~ Ф($, т), т) бд(х. у. г. (ь Ч. О, С вЂ” 'с) И$ПЧ+ С +со +) с(т ) с(~ )1 Рф, 4), ~, т)б, [х, у, г, $. Ч. Ьн с — х)с(ас(Ч, б) и(х, у, г, (]= ~ с(Ь Д )(Е. 4), Ь)бс(х, у, г, Ц, Ч. Ь, т) с(сс(Ч— -~Лги~ Ф й, Ч. т) б,(». у, *, Ь Ч. О, (- щ ЛЧ+ С +ос +~с(т ~ сс(, ) )с ст($, т), ~, т)ба($, 4), Ь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
