Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (1979) (1127884), страница 65
Текст из файла (страница 65)
Поэтому вектор-потенциал ст всей пленки равен с А = — дя ! !п Н да, К»=аз+»э — 2аг соя йр — а). 2Ра»" о г Разлагая !п В в ряд по степеням —, получаея» нужное вырви'ение для А . 90. Пусть вектор индукции внешнего магнитного поля равен Вз и направлен вдоль оси г, а ось г направлена вдоль тока. Составляющие вектора напряженности магнитного поля определяются ао формулам: внутри цилиндра га 2 Нг =- Вссозчз, Р»+Рз при г ~а1 \»! 2 Нс — »в Ва а)п»р Ря+ Ра ОТВЕТЫ.
УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ вне цилиндра Н~ (1+ — ) В,омю, .и у рт — рв ав'1 )вв+Рв прн г) а. Указ ание. Результирующее поле ищется в визе суммы В В+В, где В, — вторичное поле, или В го(А, А=Ао+Ав где А — векторный потенциал, А,— векторный потенциал вторичного поля. причем Ав хвВвгмпм (гв — единичный вектор по оси г). На поверхности цилиндра должно выполняться условие непрерывности векторного потенциала и тангенциальиых составляющих вектора Н, так что 1 дАв 1 дАм А~в~ А~в1 при г= — а, рв дг р, дг аАц~ О при г «а, аА'в' О при г > а, Э1.
Отлична от нуля только х-составляющая вектора-потенциала ( Аа' при г«а. Ав= А'в' при а«г «Ь, А'в' при г) Ь, гда 4р,) Ъ~ Г с с (в""тт Ац' = — ' г ~а„„,гв"+~+ ( — ) ~ сов (2л+ 1) ~р с я~в ~ 2+1( ° 1 ! а о Авм гв — ~~)' ~ф + гвчю ) Тва а ( ) ~соа(2л-(-1)~Р, а о А ив Р бд гг — ~веги сов(2л+1) ~Р, 4рт1 %1 с о где а„, ))„, у„, бч-коэффициенты, определяемые из условий сопряжении ирв г а й г=Ь. В частности, 4р свч+1 1 р> 2л+1 ( 1М 1) ( рг 1)в(а )за+в г где р,-магнитная проницаемость среды, Следовательно, сч " ""'-.'(-.')-(-.'-)(-:) ") -"'"- Составляющие вектора В определяются по формулам 1 дА дА  —, В- д(р ' т дг гч. кнлвнения эллиптического типд Ук знание.
Использовать выражение лля зектора-пошнцизла дзухпрояодной линии А,= — )- 1п —, 2)$1 1,',~ с 1~~' где Г(, и )(т — расстояние точки наблюдения (г, ф) от проводов, а тзкже зюпользонзть разложение 1и Дг и 1п Яз н следующие ряды при г~ с: !пй, — гу — ! — ! омлф+1пг, э'! «'!г! ч=! !П)СЗ вЂ” . — ! — Г! ( — !)лСОЗЛф+1ПГ.
л'!г г л ! 92. Вектор напряженности ршультнрующего магнитного поли Н -асад У, У вЂ” скалярный потенциал воля. равный У= Уо+ф н сечении шара Уз+ф но знешнем пространстве при г ~ а, при Ь Сг со. Уе+ш ао внутреннем пространстве при г цЬ. Здесь У вЂ” И вЂ” и в, оз ф С, — созВ, гэ «=(С +ф— )созе, в Счг сок В, чде С (2) + 1)((н 1) (1 ") Н С 2! (1 ь) (2+)() с ()г — 1) Не> с 3(р — 1) и 2 (1 — Х) (р — 1)т с н, Л 4 й Нш Е э а' Л 2 (1 — ь) ()ь — 1)з — йрл. Напряженность поля внутри шара рзниа Н .
з, Нз приг цЬ. 1 1+ ~1 ~ )ИР'н . ) Отсюда видно, что Н всегда меньше Ны т. е. зкраииронзине имеет место кзи при и~1, тзк и прн и )! (для диа. и пзрзмагиетнкон). Ук зла и не. Коэффициенты Сг лолжны определяться из услоинй сопря лсення при г а и при г Ь. 2. Краевые зздачн для полосы, прямоугольнике, плоского слоя и пзрзллелепипедз 93. Если на сторонзх прнмоугольннка заданы функции « )! -! (л) и ) -ф (л). и ) ф (у). и ) -2 (у) ° ОТВЕТЫ.
УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ удовлетворшошие условвям 7(0) ф (О), /(а) )[[О), »[(Ь) ф(а), <р(О) ф [Ь), зЬ вЂ” у зЬ вЂ” (Ь вЂ” у) а а ф» „„+1. па ттл а а и(х, у) па 5[п — х+ а гй — (а — х) +ф зЬ вЂ” а Ь з[п у +и» [х у) Ь па Ь зй — х пл зЬ вЂ” а Ь где ~р», т[», )[», ф» — козффициенты Фурье-функций а[х) р[х)-и,(х, ЬЬ [[х»-)(х) — ц,[х, О), ф(у) ф[у) — и,(0, у), 2(у) )[[у) — и,(а, у), равные Функция и» (хг у) А+ Вх+Су+[тху где [ (а) — ) (0) ф (Ь» — ф (О) [ф (а) — ~р (О)) — [[ (а) — ) [О)) аЬ Решение. Требуетея найти решение уравнения их»+идя О внутри прямоугольника 0 Ех(а, 0(у СЬ, удовлетворяющее краевым условиям, причем в силу условий краевые значения функции и(х, у) непрерывны.
Представим искомую функцию и(х, у) в виде суммы и(х, у)~из (х, у)+о(х, у), где и [х, у)-гармоническая функция, выбираемая так, чтобы функция о(х, у) во всех вершинах прямоугольника обрашалась в нуль, а в остальном была совершенно произвольна. Полагая из(х, у) ыА+Вх+Су+[)ху, мы видим, что зта функция гармоническан; козффнциенты А, В, С и О выберем в соответствии с указанным выше условием для о(х, у). Гармоническая функция о(х, у) удовлетворяет краевым условиям о( „, [[х), о[ „ь тр(х].
о[„з ф(у), о)х т(у), причем функции [, <р, ф Е обрашаются в нуль в вершинах прямоугольника. Функцию о(х, у) моясно представить в виде суммы четырех гармони. ческих фуша[ий, йюкдая из которых принимает заданное значение на одной а 2 Р» гтл та — [ (х) з[п — х г[х, а~ а е 2 Р- ттл — ф [у) з[п — у ау, Ь~ Ь » 2 т па ф» — р [х) з[п — х г[хг ь 2 Г-, пл Т - — йе х[у)ып — уау. Ь ~ Ь нл уравнения эллиптичесКого типа из сторон и обращается в нуль на остальных трех сторонах, Найдем одну из таких функций о(х, у) из уравнения оь»»+о,ха- 0 при краевых условиях И)а-е=о, И!х Ь=ф(х) ох)» з,а — О, Полагая о,(х, у)= Х (х) У (у) и подставляя зто выражение в уравнение, будем иметы Х' У вЂ” = — — = — Л.
Х У или У вЂ” ЛУ=О, Х" +ЛХ=О. К последнему уравнению следует присоединить условия Х (О) О, Х (а)= О. Решая зту краевую задачу для Х(х), находим собственные функпии лл Х„(х) = з)п — х, а соответствующие собственным значениям Из уравнения н условия У' — ЛУ = О, У (О) = О, являющегося следствием успения от(х, 0)=Х (х) У (0) =О, находим: Ул (у) = А» зй — у. лл Решение задачи ищем, как обычно, в виде ряда пл, нл ох(х, у) У' А„зп — у мп — х, а а »=1 Условие при у=Ь дает~ 'т» Аз= —, ил з)г — Ь а так что з'и — у п.л пл И(х У)= 7 ГР» — мп — х, нл а ь — ь а Теперь уже нетрудно написать общее решение нашей задачи, ОТВЕТЫ.
УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ 94. а) Еелн заданы граничные условия и „)(х), и(„~=ф(у), и„1„=ф(у)„птах-ь=т(х). причем ! (О) ф (О), ьь иОК д) ~(0)+ г' ~ 1, гг (2 1, ~г)асЬ вЂ” !2п+!)(Ь вЂ” д)+ д ~сЬ вЂ” (2п+1) 6 .о + ьЬ вЂ” (2п+ !) у ~ ° мп — (2ь+! ) х+ й (2п+ !) 2а П ! Г и ~фпсЬ- (2п+ !)(а — х)+ сЬ вЂ” (2п+ !) а 2Ь фп ьЬ вЂ” (уп+!) х| мп — (2п-(-!) у~, где(а, фп, ф„, дп — козффнпненты Фурье соответствующих функпий, прнчем 7(х)=Г(х)-)(0), ф(х)=ф(х) — Г(0)„ф!О) Г(0) О.
6\ Есле заданы граннчные условна и!тд=г(х), и!т ь=.ф(х) их!х.о-ф(у), их~к-а-Х(у). то решение уравнения Ли=О имеет внд ! Г пп ! пп и (х„д) = у — !)и ьн — (Ь вЂ” у)+ф„ьн — у)1 в --х+ ьЬ - — Ь а 1 и Ь Г пи ип ! . лп + и 1, ~ 6 р„сЬ вЂ” х — ф„сЬ вЂ” (а — х)~ мп — у . на ьЬ вЂ” а Ь пу 2!' Ь и (х, у) = — агс!Е 5Ь— Ь Решен не.
Метод разделения переменных прнводнт к частным решениям — — к — х! ип(х, У)=(Апе +Впг ! зкт — У. Ь Из ограннченностя решения прн х-ьсю слелует. что Вп О. Составляя ряд АГ~ и„н удовлетворяя краеному условию прн х О, получим: ч 1 (ем+ Н и ь!и у (2пг+ !) и и(х, у)= — ~~ в м ь ГШ УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА Этот ряд нетрудн просуимировать. В самом деле, о (тм+ ~)Я МП вЂ” ЛУ 2ш+ ! Г Ях Яае тм+! — к ь Яч ~е е ь Ь~ ОЭ !1= '~ е — — = 1гп 2ш+1 л' е 2ш+! „=-о -о Полагая ег! Яа Ье Ь н учитывая, что Х 2етш 1 1+ Д вЂ” = — 1п —., 2т+! 2 1 — У' [3) будем иметь: 1 ( — — ) тлх ях Ь (;2е ь ей1 ." 'Ь у! 1ш — 1п яь еегх ь Омпи+» ь Ь ь пу ь „~ )( а(п — агс(2 2 агс1я В атом случае и(х, у)=-- агс(я —, 2У у л х ЛУ ЛУ 96. и (к, у) = — агс(Š— + — еу — — е агс!2 =Л ~ ЛХ) Ь Л - ЯГ ') аи — ) Ь еь +осе'.
ЛУ ь Предельный переход при Ь-ьсо дает: и (х, у) — агс !ц — (х та О, у ) О). 2У у к а' к а з а'и и е, Исномый потеипивл удобно представить в виде суммы и(х, у)= — +из(х, у)+и (х, у), уеу Ь (2) где ие (х, у) — решение задачи Об, а и (х, у) удовлетворяет уравнению дие О в области х) О, О -у(Ь и условиям уеу из!с е 'Ь ° ие(ь-е ь откуда и следует формула (1). Заметим, что с помошью предельного перехода Ь -ь со из (1» сразу получает~я решение уравнения Лапласа для четверти плоскости при краевых условиях и(х,,=у, и!хе=О. ОТВИТЫ.
УКАЗАНИЯ И РЕП!ИНИЯ Перное слагаемое в (2) означает потенциал полн е плоском конденсато«с. Определяя отсюда из(з, у), мы приходим к рнцу — лл ОЭ е ь з!п — д из (к, у) — 1~~~ 1)„! л л ! аналогично ряду (2) задачи Об. мп хай у л «2и'+') и " (2т+ ') 2т+1 л (2т+ !) 41/ Ь Б?п у зй л (2т+1? л (2т+1) Ь (а — к) л ~~,~ 2т+ 1 л(2т+ !) т=е зп который суммируется Предельный случай и-~-им прн а-~.со.
и,(к, у) прн у<й, и(х, у) и,(к, у) при й<у<ь, где !'! (к у? ~ Але " ! л (у) з?п р Х„д )У()л йл й л(у) . —" ° ип д ).л (Ь вЂ” й) л=! из(к, у)= ~~Р А„з л ге(д) л ! е! + е, )у)з)')и ~а!и р Хай мп угу„(Ь вЂ” й)~ е,й,(ь-й) 2 апзь'Хлй 2 мпз$%„(ь — й)' Ал — Л-й КОРЕНЬ тРаНСЦЕНДЕНтНОГО УРаВНЕНИЯ „с!УР"Лй+з, !2 )!Х(Ь вЂ” й?=О. (2) б!з (з угаб и) О, где -( е, при у<й, п й<у<Ь, и граничным условиям и, О при у=О, из О при у Ь, и! у прн к О. «и! прн у<О, Решение.
Требуется яайти функцию и=ч( непре- 1 из при й<у<Ь, рывную а области к)0, О~у<Ь, удовлетворянм!ую внутри области к»О, О <у < Ь уравнению гч. ураннгния эллиптпчнпкого типа Гглп учесть, что а кусочно постоянно, то длн и, н иа получаем ураане. няз Л1, =.О, биа О, а нв границе разрьща у й и, в иа должны удовлетворять условням сопряжения дит диа и,=им е, ав — при у й. ид ду Полагая и (х, 9) Х (л) Г (у), нз уравнения (ви„)„+(еи,)„=О получаем после разделенна переменных дг") ду( дд ! — в "- +зЛг'=О, Х" — ЛХ=О, У(О)=О, У(Ь)-О.
Учитывая разрывность а, будем иметь для ут(у) пря 9(Ь, 1'(9)- у (9) прн а(9~9 условии У'"+Лг'=О, Т" +Лт О, У(О)=О, )'(Ь)-О, Г(д) у'(й) У уф ю)ч ((г) Решенне втой задачи ищется в виде — э1п р'Лу =- ип д Л(Ь вЂ” у) )'(у)=, )'(у)= . шгчг " Буги-'ч' Подставляя зтн выражения во второе условве сопряжения, получаем харзктернсгнческое уравненле для определенна Л: , С(й)~Лд+Еа С(й)ГЛ(Ь вЂ” й)-О. (4! Пусть Л„Лэ, ..., ˄— корни этого уравнення, 1'„1'„..., Гч (9) — соответствующее собственные функции. Из общей теорнн задач на собственные значенна ч) следует сущестаовзнне счетного множества собственных значений (Л„), которым соответствуют собственные функция (да (9)), образующие ортогональную с весом е(у) систему функций ум(д) 1;,(у)е(у) ду=О при щ~и, нлп а ь а,~)Г (9)Г„(д)ду+з,~У (у)г„(д)99=о прн щ Лп.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
