Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (1979) (1127884), страница 60
Текст из файла (страница 60)
! г, ! т Рнс. 40. Ряд (1), а также ряды, получаювшеся почленным дифференцнровзннем рцкз (1), скбдвтся равномерно и абсолютно в области О ~г 1. Р е ш е н и е. Для построения ряда (1) надо производить последовательные отраженна в плосиостяк г 0 и г ( (рнс. 40) н найти пологкение нзобра. отняты. эцлзлмия и иншнния женнй — енсточннковз я. »стоков». Пронзведя отрвженне в плоскости г=О, получим функцню и е( — — —,), 2п!+ь, И'-2п1 — 1.
+е -е где и — целые числе, привнмаюпгие значения в пределах от — со до +со. Пользуясь принципом суперпозиция н суммируя действие всех изображений е(Р„) и — е(Р„') и реального заряде е (Р). получаем ряд (1). Докзжем, что этот ряд равномерно сходится. Для этого рассмо трим его л-й член 1 1 и» г„г' Пользуясь теоремой о среднем значении, будем иметы ~д (1)3 2~(г — (2л1+~')) откуда следует И 2 1иа(~(,)» ~ (2„1)з)-еэ, тек кэк Ь» (1 ! г — Ь»1<1 н, следовательно, Р ( — й)'+(р — т))'+( — (2 1+Г))' ~ (2и — 1)1.
полученная оценка показывает, что ряд ~ а„ сходятся равномерно » = — ЯЭ н абсолютно, тэк кэк межорэнтный рвд ~", йз сходятся. Докэжем теперь равномерную сходнмосгь в слое О г(1 рядов, полу венных одно. и двукратным почленным дяфференцнровэинем ряда (1). Оценим пронзводные Ог '( г„' г„ г» ° а-(гэ которая удовлетворяет граничному условию и О пря г О л не удовлетворяет условию и О прн г 1; производя затем отражение в плоскостн г 1, получимг и, е ~( — — —,) + (-- — —,)~, так что и О пря г 1 и и»ЧьО при г О. Продолжэя этот проиесс поочередного отражения в плоскостях г=О и г=1, мы приходим к ряду (1).
Имея в виду, что прв кюкдом отрзженни э»ряд е переходит в заряд — е я обратно. нетрудно установить, что координаты нзобрзженнй выражаются формулой л, ввлвнения эллиптического типа Учитываа далее неравенства гэ ) ~ л(/, г,', ) (л 1 /, получаем оо откупа и следует абсолютная и равномерная сходнмость рядов р Й. мт дп дг и ~ - ф-, поскольку рялы ~~) дон' и ~~) Ь'„в сходится. Алело о — оо о» и — оо гично доказывается равномерная схолимость рялов Таким абрагом рвд (1) ыожно дифференпировать дважды 1 Поэтому ряд (1] беэ члена — всюду в слое О(г</ удовлетворяет го уравнению Лапласа, поскольку все его слагасмые удовлетворяют этому урав- 1 ленив, Первый член — дает нужную особенность в источнике. го 37.
Прямоугольные составляющие электрического полн равны — о где о — проводимость среды, / — мощность источника тока, (г — $)о+(у — обо+ [г — (2л/+д)о, 1 (2) )' (г-с)о+(у — тдо+[г — (2л/ — ь))о. Ряды для компонент поля Е„, Е, Е, сходятся равномерно и абсолютно и представляют функпии дважды дифференцируемые, следовательно, удовлегво- рякхцие уравнению Ьи *О всюду, кроме точки го О (г $, р *о), г /), в которой онн имеют нужную особенность '"-- — - (-)+-- ' — — ж( )+-" / д/11 Ео +- (2) 4по дг )го/ У к аэ а н н е. КаждаЯ иэ компонент поли Е„, Е„„Ег УДовлетвоРЯет уравнению Лапласа, так что ЕЕ *О, и имеет требуемую особенность ($) .в источнике. ОТВЕТЫ. УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ При а=0 должао выполняться условие Е О. (4у По((ешди источники мощности ! а точках й„=йл(-~ и Ьа=йл1+~с, суммируем и ~ля от атнх источников Š— ' — лт йгаб ~ — + —,!1.
Л ОЭ Граничное условие (4) будет выполнено, так как — (2п!+ Ь оа (та/~=с ба ~т /( =с «(х — ~)а+(у — тйэ+(йл!+Иэ)'А Равномерная и абсолютная сходимость ряда (5) не вызывает сомнения, по скольку ~дЯ~ ~а — (2л1+П~ 1 А тде Я вЂ” некоторая поспжнная. Если суммировать не поля отдельных источников, а их аотенциалы, пэ получается ряд который расходится, так как его члены положительны и имеют парадокс ! л Почленное дифференцирование ряда (б) ноэможно, так как прн этом получаются равномерно и абсолютно сходящиеся ряды.
66. Ищется решенно краевой задачи Ьи=0 внутри слоя 0( а ~ 1, при условнв, что в точке р(х ь, х=к, р ц] потенпиал и имеет оссбенносп, ! 1 и~в 4по тэ ' ,р $Г(х х)э (. (у — ц)э+(г — ц; Метод иэображений даеп и(Л, Р) — ~ ( — — у) ° и ы дч й( -й) +(р — )т+(х — (2п(+( — 1)" (4) ~ ~,', = )' (Х вЂ” 1)а+ (у — ())'+ (~ -(2П( — ( — 1)" Ь)!*.
ик ииквнпния вллиптичпского типа у к а з з и и е. Источники г и стоки — 1 иа!Отдятси соотиетствевио в точккк 4 ис. 41) р к= В У 'т), к= 4„2п(+( — 1)и 1. х $, в т), 2 (~~=Ух!( ( 1)и(, Сходимость и диффереицируемогть ряда (1) доказывается па аиадогии с з~ чей 36. ! ! -1- 2= гу 4 ! ! ! ! ° ! Рис. 41, 39. Фуикция гочечиого ксточиика, помещеииого в точке ре(4, т), ц при крдиичиом условии ~ — +)!и) =О, «естся формулой б(х, р, г! к, г), к) Фо + й Г -«~4- Ф 4! р г( ~ ) (к — й)т+ (у — т))е+(г+з Ф (и.— $)'+(у-()р+(з — ()" 4 )'(к-Ь'+Ь-т))е+(м+О.' ° ответы. указания и оешвнни 1/1 1[ С вЂ” ( — + г/!+и(г — $, у — «1, г+г). Зп '[г г',/ [2) Подставляя <2) в (1) н учитывая, что — —, получаем; до до (- )=-- —" дх [ 1 1 — +йо~ —, рз~ (х — $)«+[у — О)з, д( )«= о йч )Гр«+(з' Решая вто уравнение и заменяя 4 нз г+(, получаем: о(х — К, у — «1, г-1-() — ~~ «-з>Ь-«> 2 .) р+<.+«Р нли о — з-" ><««-«> 1 [Ь "ж ~ 40.
и иы(х, у, Ю $, «), Ь) — им[х„г, г: — с, П, ь), где изз — Решение в«дачи*36, нлн в разверну«ом вине %« /! 1 1 1[ и « ~ — — —,— — +г, Л[ [,г„ ч -О3 г„(к — $)«+ [у — «!)'+ [г — (2п<+ Е))з, г'-)/<х — цг+(у — «Р+ ( — <2л< — С))з, г„рг(к+ 2)з+ (у — «Оз+ ! г — (2л/ -1- ())з, гк )> <х+ $)з+(у — «))з+ (г — [2л< — ~))г. <2» 41.
Электрическое поле Š— Огай и, где и и (р, >р, г) — потенциал, определяемый формулой « — [ и е <) ( — — — >)> з о гз,„Мрз рз ( у — 2рзсаз([р — («р+ «))+[г — Г)з> ге МРз р*+ ю — 2рз соз ( р (2ий — Ф))+(г /)з, М М(р, >р, г) точка наблюдения, Р Р(з, Ф> ь>) — точка, в которой расположен источник. Указание.
Перейти к цилиндрическим координатам Р, Ф> г. напраняв ° хь а вдоль ребра двугранвого угла; при зеркальном отрывании источник Решение. Источник «<Рз) н сток — «[Р;) дают иа плоскости г >О уело. ди ди вне — >О при г О. В нешей задаче — * — <ш прн г О. Поэтому мы ишве дг рыпение в виде суммы членов, соотаетствуюшях «(Р,! н -е<Р;), и добавки вида о(х — й, у — кь г+ф), полагая гч кианнення эллиптического типа повторится 2п — 1 раз, поэтому искомый потенциал может быль получен путем суммирования потенциалов 2п зарядов.
при отражении заря!ш в сторонах двугранного угла все его иэображения будут находиться на окружности радиуса з, лежжцей в плоскости г г, по абсолютной величине оии равны исходному заряду н чередуются по знакам. Заряды +е неходятся в точках Рз(з, йг(з+ф, с); заряды — е находятся в точках Рз(з, 2ай — ф, 4), где й меняются в пределак от нуля до и†1 Нетрудно видеть, что заряды противоположных знаков симметрично расположены относительно плоскостей <у=О и <Р=а. В самом деде, заРЯдУ Ра (<р = 2ай+ф) соответствует заряд Ро — з (<р = 2х (и — й) — ф), симметричный относительно плоскости <у=0; аналогично, заряду Ра(ф=гаэ — ф) соответствует заряд Рп — а+ ! [<р=2а(л — 1+1) — !р), симметричный относктельио плоскости ф= а.
Заметим, что прн а=я формула (1) дает решение задачи Зб, 42. Потенциал заряда е дается суммой ч — 1 и () [изв(р. <р, ж з, 2ай+ф ь) — изз(р, ф, г; з, 2ай — ф, [)), а а=о где изз — решение задачи 36. выра!кение для которого в цилиндрической системе координат имеет вид Чьт !1 1! изв(М, Р)=и!а(р, ф, г; з, ф, () з л гй~ причем гэ р рз+зз — 2рзсоз(ф — ф)+[г — (2п(1 ())з, га )* рз+ зз — 2ра оса (ф — ф) -(- [г — (2л( — 4)]з.
При а н получаем решение задачи Зб, прн 1-~со имеем: л — ! Х [ От* р. г' з, 2ад — р, И) —,(р, р, г; з, 2ай ф)[, з э где изз — решение задачи 25. Указание. Отражая ээрнд в плоскостях г 0 и г 1, мы найдем потенциал заряда в слое О~э~1, после чего в соответствии с решением задачи 4! производим отражение в гранях угла 42. Стационарное распределение температуры в полярной системе координат дается формулой а э где га ура+за — 2рзсоз [!р — [2ай+тр)[-)-(г — цз, та = рз+ за — 2рз ан [!р — (2ай — зр)[-(- (г — 4), 44 — МОЩИОСтЬ ТЕПЛОВОГО ЯетОЧНИКа, ПОМЕЩЕИНОГО В ТОЧКУ Мз(З ф, 4), М м М (р, ф„г) — тОЧКа НабЛЮдЕНий, Срэ — тЕПЛОЕМКОСтЬ ВхнипцЫ ООЪЕМа.
Ук ага н и е. Решение ищется в виде () 1 и -- — +о. гз~ гага! Р Р +гз — 2Рзсоз(!Р— тР)+(г — ° ср гр в ОТВЕТЫ. УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ где о — нсюду регулярная гармоническая функция; функция и удовлетворяет граничным условиям второго рода функция о ищется методом изсбражения по аналогии с задачей 41. и (р, ф)= У (1 †-1. аг Указание. Следует найти функцию источника внутри угла л — ! ! %т С,(р,ф; з,ф)= — к 1п— 2н зД~ га а=о (см. задачи 41 — 43) и воспользоватьсн формулой Грима и(р, ф)= — У ~ ~ — )»(з.
дф 4»=а и(х, д)» У (1 — — агс(й — )!. 1 р) н х!' Ук аз а ни е. Построить фуннцию С(М, Р) длп полуплоскостн С(, р,й, ц)=--!п — '. 2н ге решение можне также получить нз решения аадачи 44, положив там а=н и перейдя к декзртовын координатам х, у. 46. Если ось х направлена вдоль одного из ребер, так что перпендикулярное сечение лежит в плоскости (х, р), то потенциал ранен »л= — л» л= — о» [к — (2та+ ц)['+ [р — (2ЛЬ -[-т()[з+ (з — ~)з, Г Лалл [Х вЂ” (2та — 'З)[З+ [У вЂ” (2ЛЬ вЂ” т!)[З+(Х вЂ” Ь)а, г Ьг[к — (2ща+ С))з+ [у — (2ЛЬ вЂ” ц)[з+(з — Ь)з, =)'[х — (2то — 4)[з+ [р — (2нЬ+т)))з+(г — ~)з» где и и Ь вЂ” стороны прямоугольника. ук аз а н и е. Покрыть всю плоскость (х у) прямоугольниками, получжощнмися нз сечения данного цилиндра путем сдвига на величину Ьн вдоль оси у и на величину пт вдоль оси к.
Обьедиияя четыре подобнык прямоугольника, лежащих внутри области — а~хала, — Ь(р(Ь, в одну группу и беря нечетные отраженна во всех сторонах, мы получаем первое слагаемое суммы. ряда. Перемещая затем всю группу по осям х н р на 2ят и 2Ьн, получим остальные члены рада. гч. уРАВнения эллин гического типа 47. Направим ось х вдоль одного из катетов, поместив начало координат в вершину прямого угла. Тогда решение задачи можно записать в виде и (х, д, г; $, 11, «]=иг»(х, у, г; «, то «) — иы (х, у, г; ц, е, «) (О х«а, у«х), и = и»э (х, у, г; «, то «] — им (х, д, г: 5, гь — «], где ига(х, у, г; «, ц, «) — решение задачи 46. Указан не. !!з плоскости г=б выполняется граничное условие и О, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
