Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (1979) (1127884), страница 62
Текст из файла (страница 62)
г«ММ» М«(Р«. Оа. ф»1 иМ;,(р,',, Юа, фе)— точки, в которых помещены положительные заряды е„и отрицательные за ряды — с„', причем при л 2Ь, (2з при л 2Ь+1, при л=2й, при л 2Ь+1, при л 2й, (З~ при л 2Л+ !. при л=йй, при л 2Ь-)-!. Рид (1) сходится равномерно н ас слюапо. источники в точках М;, А1, М„'". Отражение в сфере лает заряды в М,, М; М",', М;", группируя которые мй и получим формулу (2).
БО. а) Функция источника первой 'внутренней краевой задачи для полу круга О~ф~л равна 6(Р, ф; ра. фа)=бы(Р. ф! Ра, фа) — би(Р, ф! Ра, 2л — фа). (1) ЗУ) ЪЧ. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА а "а+ --"г-" еы-Ье- (4) Ьз оз (з"+' аз(яз г' Ру(з" ' (б) и аналогичные формулы для е,'а, р,'а, е,'з+„р,'з+,, Отсюда и находим выраже. ння (2», (3) для е„, е„' н р„н р„". Суммируя йотенпивлы е„е„' — н -г. получаем рял (1). рагймотпнм общий член рида е„е„' при достаточно большик л. Через точки ()М,М, проводим плоскость; пусть л 2Ь.
Из ьОЫМэз находим: -)'Р+я~ г. РЧ-Р~ — $ 2Р(Ь Аналогично нахоаимг г'а ~ рз+(Р'з) — 2РР'ь соз у. го тяа 7вк как Р г ~ — ! Рц О пРВ Ь-ьоо„п вг Игн г з р, )пп г'а~ р. е-ке е-О» Решение, Все заряды е„и е„' будут, очезилно, накодиться на луче ф г)Ь, д з), их положение на луче определяется расстояниями от пептра Р„н р,'. При определении е„, е,'„р„и Р„' учтем, что 1) положение заряда определяется в результате последователыюго отражения в сферах р о и Р Ь с помощью преобразований обратных радиусов, при которых р„р„' а' илн а р р' Ьз, 2) при каждом отражении зелвчина заряда меняется в — — нли а в Ря Ь в — — рзз. Рз Пусть е„! — заряд и точке Мз, Пря первом отражении в сферах р а о Ь оз (,з в р Ь получаем заряды е', — н е', .
— в точках р', — н р', †. Строя Ра Рэ Рз Ра Ь, Ь о о аатем нх изображения, находим е, —,ез — н ез -т е,' — в инках р ' Ь Ьт Ь" а' аз Р, —, — РзнР, -; -,Рз. р оз Р Продолжая рассуждения, видим, что четные авралы находятся внутри сферы Р=*о, а нечетныем-вне сферы р Ь. Нетрудно поэтому написать рекурРентные формулы З72 ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ г а )о а С другой стороны, езо г! — ) -об, е,'а е,» — -об при И- со. Поэтому !Е.» ) ~ С„- 1 ~1+ — ) ~ — ') . (б) с другой стороны, так что )йо,'~ — + —,— — ~~!+ — )~7 — ) =С,.
гча. г ооаог 1 7 а )! а)з .З., го.„-Ь1 Ь-1~Ф/- (7) Иэ мажорантных оценок (6) н (7) следует равномерная абсолютная сходилгость Рапа ~ Ео. Его ДиффеРенпиРУемость доказываетсЯ аналогично. о=.-з Предельные случаи: а) при а - 0 все члеяы ряда (1) обрагцаются в нуль, кроме двух: !'о го в результате чего мы получаем решение внутренней краевой задачи для сферы г'1 6 1! и=и,о —— е( — — — —,) ~го ро ого (см. задачу 50); б) при Ь-осо получаем: 71 а!1 ы и„е г! — — — —,) ~го Ро го — решение внешней задачи для сферы (см. задачу 52). Г4. Функция источника внутри кольца дается формулой б(М, М)=. ~ 1п " ", - - ~ ~!п гг (п о) 2л о'о г е.' 2л о'о ! г гг) ° о и о =с =с М=М(р, ф), Мо (ро г(о» гл™Ма г; -ММ:„Мо™(ро %о) Мо™(р.
фо) величины е„, е„, р„в р„' определяютси по формулам (2), (3) задачи 67. рид (1) сходится равномерно и абсолютно, так же как и ряды, получас. мыс из него почленным дифференцированием. Пуси п=2й+1. Так как р а+о)Ь, ро+г~а и при Е-о-со неограниченно возрастают, то ГУ. УРАВНЕНИЯ ЗЛЛИПТИЧЕОКОГО ТИПА 1)редельные случаи: а) а=0, 1 Ь1! и=им„=е(!п — — !п — -г/! (см. задачу 54 а)); гз Ро г~ / б) а=со и соотношения получаем: иьз = 4леба, 4леа(ры ба, цч)= ~ ~ — "дд Г дине дг где о — решение внешней краевой задачи для сферы 5 при условии о)а-— 1, равное а о (Рг бе ЧЬ) = —. Рг Формула (2) лает: ае е,=а)' —.—. Рг 'Отсюда находим! У = — + —. с, е Рг 1 а!! и=ила=г(1п — — !и — —,/! (см. задачу 54 5)).
га Ре гю 59. Если зарвд помещен в точке М, (р„б„, Чь), то потенциал в присутст- вии заряженной сферы е, еа! и (М, Ме) = — -(- .— — + и, Ра г /1 а !1 где и,=е( — — — — /1 — потенциал точечного заряда в присутствии ааземленр,г/ ной сферы (см. задачу 52), М=М(г, б, Ф) — точна наблюдения, М (р„б„,йь)— точка, в кстгрой находится изображение заряда, аз Ре — — —, ге — М/1!е, г, — ММи Г=ОМ, Р! Плотность поверхностных зарядов ! / еа! е р! аз о= — (е, + — /! — — — '. =аз+Она 4ла" ! РД 4л аг', е /! Р=,— ас! где о, = — ( — — — '! — плотность нндуцированных зарядов.
4ла (р, г", Указание. Решение следует искать в виде и (/+иге. (1) ау где (/= — — потенциал поля, создавтемого сферой, зарявгенпой до патент пиала У. Для определения у используется равенство (х) 5 З С помыцью формулы Грина ! Г дбзз о(Р, де, че)= 1 — дз л Ответы, укАзАния и Решения 3. Ф ункци я источи як а в неоднородных средах Если характеристики среды (е, р, й н т. д.) терпят разрыв на некоторой поверхности, то на атой поверхности должны выполняться условия сопряже пня.
В электростатическом случае имеем: иа пь ('дгП (дн! ег — ) — еа ~ .— ! 4па), (дл)а (дл)а где а) — поверхностная плотность свгбодных зарядов, цифры 1 и 2 соответа стеуюг предельным значениям с внешней и с внутренней сторон понеркностн д и Е, -- обозначают дифференцирование по направ' дл пению нормали. Если Р-аŠ— веггор электрической индукции и Š— йгад и, то второе условие означает, что Оз — Пз =4па). "а Если свободных зарядов нет (Ч=О), то е,( — ) =е,Ц Рис.
45. Выведем формулу для поверхностной плотности зарядов на границе раз- .дела двух сред с диэлектрическими постоянными е, и зз (рис. 46). Из уравнений Максвелла следует: Е'" — Е™ = 4по. ча аа Рассматривая бесконечно малый элемент дБ, мы будем иметы Еа' Ъо+Е'а', Е'м — Ен' 2по — Е ":", аа ча — аак где Е<о и Е™ — предельные значения в точке М границы Е проекций некто. ла аа ров Ец~ н Ена на направления внутренних нормалей и, и пз, а Е„'" — значе ние Есо в точке М, т.
е. на самой поверхности. па Из второго условия сопряженнч е, (2по+ Е и)+за (2по — Е а') =4пт! получаем: о= 2а! еа — е, + . Еан е, +з. 2п (ег+е,) "а ' Если истинного заряда на поверхности нет, то и — ЕИ1 е,— е, 2п (е,+за) подс4авляя сюда значение е„'н на поверхности 8. можно определи 00. Если заряд находитси в точке Ма(з. ть ь) полупространства аЗ 0(~~0)а .то е /1 е,— еа 1! и ( — —,) прн з)О(е з), е, (г е,+ее г,') ла Ъ 1 при а 0 (е еа), е,+ез гз ТУ. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА га ММ )/(» С)о+Ь т() +(а Ь)а ММ„'-)((л-ЪР+(Р- У+(е+(Р.
Иа формулы ()) видисз чтО пОле В Области с лнвлектрнческой посто!анной ва такое, как будтй все пространство ааполиено дивлектриком ва, в н отраженной точке Мо'(йд™,— (',) находятся добавочный оаряа еа-а, е' — в. в, +е„ Поле е области а, совладает с полем заряда 2ез о" — е, в,+ег иаходяшегося в точке М„если среда одиоролно я а е, Плотность поверхностных вар ядов, индупироваииых на границе г О равна о е„—.
2азга У к а а а н я е. Решение следует покаюсь е виде е ! е'! + аа (2) Е, Га Е,то'а яа ег ! (з) ез го ГДЕ Е' И Ег — ПОСтОЯПИЫЕ, ПОДЛЕжаШИЕ ОПРСЛЕЛСНШО. ОгСЛОВИЯ СОПРЯжсинв ди., ди, и, и, вз — *е — при.- О дг дг 2е, , ег — е„ ез — о, еа — е. а+в, ' е+е, Плотность поверхностных зарядов равна о Ео гт 2и гез + Сз] з' ' Где Еаа",— первичяое поле заряда е при о О. находяшегося в Мо, равное ЕзгандЂ с о Га Ф Р (х-б)'+(Р— П!'+ьо.
Иэ Формул (4) и.(б) следует: и ' е — е— и + е2, еой„а Суммарный аврал, лнлуцированеый иа плоскости г О, равен аа — е, ео .я орг(р е. ОТО ОТВЕТЫ. УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ и Фа! (всюду в слое ОК«(й), где )/«' + ц'+(г — Гзг, гп — — )г«г+рз+ (г — (2пд+ьг))г, г' = Ухе+ р'+ )г — (2 Ь вЂ” И', /„хп1, г' = )/««+ уз+(г+ ~)г, к=- —, !и'~1 о,— ог и,+о,' Если ( О, т. е. источник находится на пласности г=б, то г г,' и петена шиал равен / 'Ез 1„ и= — + — г 2ип,г 2иог х~г г„' в сО (пШС! где га — — Ргхз+рг+(г — 2пп)г» г гГ««+из+И.
Плотношь тока прн г-О равна к/ ! +ы Х «/л (рз+ 4пздз)'/з ' у/ 1 вз р/ Жр~+2и,йг (рг+4пЧР]'б' бгкавание. Требуется решить вадачу Ьи, О Ли«=О при О Сг(/з, п!зи г) /з, и, =из. ди, дя, оз — = о,— з дг дг при г=/з, 1 ! прн г-~б, при г =О, к чь О, у чь О (г ~ О). — =О дг М ъ леднев условие означает, что отражение в плоскости г О будет четным.
ри отражении в плоскости г=й надо воспользоваться методом решешш .аадачи~™бп. Следует учесть также, что для построения решения в слое бе-г, ° ь./з нет необходимости вычислять решение в области г) /г. б!. Потенпивл влектрического поля, создаваемого источником тока 1, помещенным в точку Ме(О, О, Ь), ранен ОУт ЪЧ УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЦЕСКОГО ТИПА ди, 1 Чтобы удовлетворить краевому условию (- — ~ =От), необходимо помедг ~(а=а стнть в точке М(9 О,— Э) источник тока А Чтобы удовлетворить условиям сопряжения при г й, теперь необходимо поместить в точки М(0, О, 2А — Г) и М (О, О, 2а+ь) источники (,=нА Но этим мы нарушили условия при г=О.
Чтобы удовлетворить условию при г=О, необходимо в точки М (О, О,— 20+~) н М(0, О, — 2д — (,) поместить источники тока 1,. Но этим мы нарушили условна сопряжения при г=й. Продолжая этот процесс, мы сможем удовлетворить всем граничным условиям лишь с помощью ряда (44).
Абсолютная и равномерная сходимость этого ряда, а также Х и производных рядов, обеспечивается условием (н(~1. Пользуясь формулой ( = — и цгаб и, нетрудно найти составляющие плотносгн тока при г=О. 62. 1)отенциал над нлоско- Рис. 46. стью х, г (у ~ 0) равен сумме потенциалов самого заряда е и его семи иэображений, расположенных следующим образом (рнс. 46): е в точке Ма(ха, уа, га), — е е' в точке М',(ха. — Уа, га).
— е -се в точке Ма(саха, с'у, с.га), — сг' са в точке Ма( — с'ха, сгуа, сага), ге' в ючке М,( — х, у, г,), в точке М; ( — ха. — Уа. га). в точке Ма(саха. — сау(ь сага) в точке М.', ( — саха, — сауа сага)а и е,— еа с —, е' — е Ь ' еа+гч Потенциал в диэлектрике при У~О можно получить, используя только изо. бражения в области у) О и подставляя вместо е заряд 2е, е,+е,' (а 11 11 оа-п, (а (1 11 + ~/+ — ( — + —,1 при у О, 4пиг ')га г',/ па+па 4ни, '(г, га/ 63.
Потенциал электрического поля, сгедаваемого точечным источником тока, накодвщнмса в точке Ма(О, -Ь, г), мощностью Ам Равен Отпиты, ккдзания и рнп1нния Плотность тока прн у О, ( О ото 1в в онов)в 1О, -)- Ов)М И» )а ' в (а~+От) Н Р~ ) ) гов в р о )/рв ) Ьв рв хе+ге 1о, +о,) и )св ' 64. Потеипяал поля вне сфер равен где с„и е'„— варяды, величине кснорых определяется по рекурреятным фср мУлам а с — р,в+, а с-)йа+1 аввы - — — ева-в, сев+в — — т — -евв, рвв-~ Ь ртв».1 а с — р~+~ 6в+ ~ ° тв — ы сев+-. ' 6в. Ь р', ' -' !в Эти аарнды находятся в точках (рнс. 47) Мв(рс, бв, чч) и Ив(р», бс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
