Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (1979) (1127884), страница 58
Текст из файла (страница 58)
((ервэя основная задача электростатике ставится яак первая внешняя краевая задача. Требуется найти функцию <Р, удовлепюрягощую уРавнению Лапласа (ьр О всюду вне эадапнод системы проводников, обращиош3чося в нуль яа беско вечности я принимающую заданные значения чч ка поверхностях проводиикощ Ф )хг =ччВторая основная задача электростатики ставятся так; Требуется парти фупкцяю <Р, удовлетвгуяющую уравиенвю Лапда йр О впе задапиод системы проводников, оорапщюгцуюся в нуль иа бесясь иечности, принимающую на поверхностях проводников некоторые посговяные .значения З4В ту.
уРАВ»»цнии зллиитичцсцоГО тиил н удовлетворявшую иытегральиым соотношениям на поверхностях прова:ников дн — до — 4иа» дф 1 х» где е» вЂ полн заряд (-го проводника. Если задаы один проводвнк Те с поверхностью де, то решение второй задачи злектрастатики может быть представлено в ниде »р фат'(х, у, а), где (» (х, р, а) — решение первой внешней краевой задачи для области, внешней к проводнику Те, при условии (» 1 на хе, множитель»)ь определяется вв условия нормировки дт ап — 4иа, дл хе н равен е 1 Гд(» где С вЂ” — »(о — емкость проводника. 4н й) дн а 2. Краевые а ада чн для уравнения Лап лаев в неоднородных средах 8. Стационарное распределение температуры удовлетворяет уравнению б(т (д йтаб и) — Р(М), где й а (М) — коэффициент теппаи роваднастн, Р (М) — плотность ыспжыикав тепла в точке М.
Пусть Т вЂ” некоторый объем с границей Е, иа которой задана, например~ температура и)х —— ) Если козффициеит А(х, й, з) кусочыо-постоянен ы терпит разрывы ыа неко. торой поверхности Е», так что Й а» сапа( в Т», й=йт=с пз( в Т (Т=Т +Т»), ео на Е» должны выполняться условия сопряжения и» и», 1 а'д "'д '~ ди» ди» первое иа которых означает непрерывность температуры, в атаров — непрерыв- ность теплового патока на поверхности разрыва.
ствпты. зклэлмия и рпшения Задача в этом случае ставятся так: р йи1 — — в Т„ Ат г Д вЂ” — в Т йз и)х ) и на Е, имеют место условна сопряжения для ит н из. Решен не, Уравненне выводится так же, как н в задаче 1. Первое условие сопряжения и из очевидно; второе услозне яд— дит дп диз ат — можно получнть, применяя уравненне баланса к бесконечно малому дй цнлиндру Та высоты 2й, построенному на злементе йт поверхности Ет по обе -стороны от нее, п переходя затем к пределу прв Ь-ьб. Рве. 39 Как уже отмечалось в решеннв задачн 1, уравнение теплового баланса -имеет внд откуда в силу пронзвольностп объема Т в следует уравненне б(т (йягаб и) р.
Прнменяя (2) к пнлнндру Тз, получнм (рнс. 39): "где 3 — леное, а Яз — правое основание цнлнндрв, Зз — его боковая поверхность. Прн предельном переходе й-ьО ннтегралы нсчезают, тав как — и )с огранн ди дп ° чены всюду Предполагая существование левого н правого предельных значе.
ди ннй — на Ет, получаем: да ди, дпз . выбирая одно направленяе нормалн пз — л,=п, можно папнсать: в — =Аз — на Ем ди диз тдл 'дл Ти, УРАНИИНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА 9. В неоднородном диэлектрике для потенцяала алектростатического поли имеем: гйт (в йгад и) — 4пр (1) Если на поверхности разрыва в(х, р, х) нет поверхностных зарядов, то можно- написать' и, иы ди дне на поверхности разрыва в, е,— ' в,— г дл дл где цифры 1 н 2 соответствуют значениям величаи по разные стороны поверхности разрыва. Если в, сопл( в Тз, ез сопз( в Тм где Т, и Тз — области, разделенные поверхностью Ез, то для потенциала будем яметь: Ьи, — 4пр в Ть Ьпз — 4пр в Тз, и|=из, ди, диз на Х~.
гч — = гав дл дл ) Второе условие сопряжения означает непрерывность нормальной составляющей вектора злектрической индукции ди Р— вйгад и, Є— в —. дл У к а з а н н е. Для шшода уравнения следует исходять нз уравнений й(аксвелла (см. решение задачи 3), считая там в функцией пространственных переменных. Вывод условий сопрюкенпя — см. аадачу 8 Прн решении вадачи 3 мы имеем: Е= — йгад и, гйч еЕ=4пр. Отсюда и следует уравнение (1).
Условия сопряжения вынодятся так же, как н в задаче 8. Отметим лишь что при наличии поверхностных зарядов на Е, диг диз в,— — е,— =4по, дл дл где а †плотнос поверхностных зарядов на д . ОТВЕТЫ. Рг(ДЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ 10, Если Н вЂ” Огай ф, то в стапиоиариом случае 4!ч (р йтад ф1 О, тле ф ф (Р) — скалярный потеипиал, (г р (Р1 — магиигиав проиипаемость среды в точке Р. Условвя сопряжеиия иа поверхности разрыва козффицневта магиатиой проиипаемости имеет вид дог диз и, и,, рч — р,— иа Еь дп дп где цифры 1 в 2 соответствуют значениям величин ва разных сторонах поверх- аосты разрыва Еь Второе условие означает непрерывность иормальаой составляющей вектора магннтиой иидукпии иа Е,: Вг„В Краевая задача для кусочно-постоянного '1 р, в т, ставится по аналогии с задачами 8 и 9 Лиг Овтм поз=О в та, а иа Е,— условия сопрюкения. У к а з а и и е.
См. задачу 9. 11. В среде с переменной проводимостью о о(х, у, а1 для потеипаала электрического поля постоянного тока имеет место ураввеиие д(ч (ойгаг(и!=0, Если Š— поверхность разрыва о, то ди, диа и, им о,— =а,— на Е; ди дл второе условие озвачает непрерывность нормальной составляющей плотиости тока на поверхности Е; (тз гт„, посколькч У к а з а и и е См. Задачи 5, 8, 9, 10. Учитывая ссютношения Е= — Егад и, / оЕ, д(ч г-а, получаем: д(ч (ойгад и1-О Услсаия сопряжения выводятся по аналогии с задачей 9, ГУ. УРАВНЕНИЯ ВЛЛИПТИЧНСКОГО ТИПА Козффициеит злектро- проводности а Плотность тока г'= — о йгаб и Влентрическое поле постоян- ного тока Температура и Козффнцнент тепло- провоаности А Поток тепла 9 — ййгад и Теплопровод- ность Козффнпнент анф.
фузни В Концентра- ция и Поток аешества Е- — Вс б Диффузия Вектор злектрнческой индукции 11 еŠ— з ага д и Вмектросгатнкв Потенциал электрического поли и Днзлектрическая по. стоянная е Потенциал магнитного поля и Мзгиатная проннцае- моль р Вектор магнитной индукции В= — р йгзд и Магнитостатнка о= агади Потенцнал скоростей и Потенциальное течение несжи- маемой жидко- сти Во всех случаях функция и удонлепюряег уравнению Лапласа. Укаа анне. См.
предмдушие задачи этого параграфа и такжей1 гл. П, задачу 49 Замечание. Если на некоторой поверхности Е, константы о, й, Р, е илн р терпят разрын, то на Е, выполняются условяя сопряжения, которые ьюжио представить в виде ди, диз и, ии р,— р,— на Вм да дл где и †иском функция, а р †од из.параметров о, А, О, е, р; цифры 1 н 2 соответствуют предельным значениям рассматриваемых величин на равных сюроиах поверхности Зд при етом б!т (рйгзб и)=0. 2 2. ПростЕйшие аздачн для уравнений Лапласа н Пуассона Значительная часть решений задач этого параграфа либо обладжт круговой вли сферической снмметряей, либо очень просто зависят от угловых координат.
Напомним вырюкеаия для оператора Лапласа: 1] в полярной снсгеие координат 12. Следуюшая таблица устанавливаег полобие перечнсленных в условен полей ОТВЕТЫ. УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ 2) в сферической системе координат 1 дг' ди( 1 д1 ди1 ! д'и йи= — — !(га — )!+ — !(ай! б — )!+ —. ге дг( дг) геыпб дб ( дб) ггипаб дфь' 3) в цилиндрической системе координат 1 д / ди1 ! д'и дти дчи би= — — ~',~ — '~+ — — + — -баи+ —.
р др 1 дрг' ра дфа дна дат' При решении некоторых задач следует принять во внимание, что уравнению Лапласа дан=О удовлетворнет полинам и= А (хт — у")+Вху+Сх+()у, где А, В, С, Π— произвольные постоянкые. 1. Краевые з ад ачи для уравнения Лапласа 13. а) и=А; А А б) и= — х, клн и= — рсовф; а а ,в) и=А+Ву, нли и=А+Вр ниф; А г) и=Аху, или и= — рва(пуф; 2 В В д) и=А+ — у, илн и=А+ — р а1пф; а ' а А+  — А А l рт е) и — — + — (хт — уа), нлн и= — 11 — — сов йф)+ 2 2а' 2 ое 2 ( ае ф)' у к а з а н и е. При построении решения следует учесть, что х, у, ху, хт — уа ы нх линейная комбинация являются гармоническими функциями.
В правильности решения следует убеждаться непосредственной подстановкой найденного выражения для и в уравнение 1 д l ди1 1даи и„+и О, илн — — !р — )+ — — О р др ( дрг' рт дбл и в граничное условие. Проиллюстрнруем приемы отыскания решения на примере 13 б).
Перека)(я ют переменных (р, ф) к переменным (х, у), перепишем граничное условие в виде А и — х. а ~Отсюда видно, что искомым решением являетсн гармоническая функция А А и (х, у) — х иля и (р, ф) — р соа ф а а !4. Задачи 14 а) и 14 г) посгавлеиы неправильно, так нак в случае второй ж веной задачи р ди ) ди О,— должно выполнятьсн условие ~)д -О. б) и(х, (у) Аах+С илн и\р, ф)=Аарсоаф+С, в) и — а(ха — уа)+С или и(р, ф) — ар сгжйф+Са А 2 2 ГУ, УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА д) и (А+0,75В)у — ' (3 (х»+у») у — 4уз)+С, 0,25В или В и(р.
ф) (А+0,75В)р»1пф — рзвпЗф+С. Решение второй краевой задачи, как известно, определнетсн с точностью до врон»вольной постоянной С. Указание. Остановимся лишь нз решении одного примера, например И б), в котором дано Функция и=()х илн и=бр пнф является гармонической. Дифференциро- вание по нормали совпадает с дифференпированием по р. Требуя, пабы она удовлетворила краевому условию при р а, находим П=Аа, так что и (х, у) =- = Аах нли и(р, ф) =Аарсозф. В примере 14 д) следует разбить ) на даа слагаемых: )=)»(ф)+)»(ф). », с» з1п ф, )»= 5 мп Зф, и искать решение в виде «=)(»(Р)6 (ф)+В (Р)(»(ф) 15.
а) и (р, ф)= А. Аа а) и(р, ф)= — со»ф, Р Ва» в) и(р, ф) А+ — з(пф, Р 1 а» г) и (р, ф)= — А — мп 2ф, 2 р» д) и(р, ф) А+ — зш ф, Р А+В А — В а» е] и(р, ф)= — .— созйф. 2 2 р» Указание. Перейти всюду к полярным координатам. Если граничное условие при р=а имеет вид и ~р а='Азсоз йф, то искать решение в виде «(р, ф)=)7(р)со»уф, »де )г(р) — функпия, удовлетворяюшая уравнению р»)("+р)( — й»у=о и следуюшим граничным условиям: )7(а) Аз, ()7 (со) ! (со. 16.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
