Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (1979) (1127884), страница 54
Текст из файла (страница 54)
— <х<+ ' П) 12) ф>>рмулы 16) нз решении задачи 64 н пе)ж оди в ученном ре шенин к пределу при б-«-О, получим ответ. 317 мк хплвнпния плолполм инского типа и,=азихю — со(х(+со, 0(1(+со, и(х, 0]= — 6(х — $), — со(х, 5<+со, сро (4> с помсзцью упомянутой формулы (3) нз задачи 54, либо задачу иг=изикк+ — Ь(х — $]6(Г]. — со<а, $(+оо, 0(1 =+со, (5! () и (х, 0) = О, — со ( х «+ со, (6) е пемсп>ью формулы (1), приведенной в ответе к задаче 55. Для решения краевых задач (3), (4) и (5). (6) можно не прибегать к формулзм (3) и (1), а воспользоваться интегральным прелставлением для дельтафункпии (см.
[7[, стр. 276 — 276). Функция источника для уравнения и>= — ааи„л на прямой — со -'х «+со может быть также получена на основании соображений подобия (см. [7], стр. 22> — 235] или с помощью предельного перехода в выразгенни функции источника для отрезка О(х < 1 при 1 — ь+со (сл>. [7[, стр. 217 — 222).
Примечание. Если мгновенное выделение тепла в точке х=$ произошло не в момент времени Г О. а в момент времени (=т, то и(х, 1)= — б(х, $, 1 — т), — со(х, $(+со, хФ$, т(1(+со, сро (х 4>> б(х, 4, à — г)= е е>'(г т>; 2а [' п(à — т) 67. и(х„г)= — С(х,й, 1), — оз(х, 4(+оэ, хФ$, 0<1(+со.
(ц () сро где е аг г — 1>' б(Х, 5, Г) ==с ае>Г 2ау' ) епь фУнкциа истсмника дла УРавненна и>=азиза — 1>и в слУчае неогРаенченной прямой. Примечание. Если мгновенное выделение количества тепла () произошло не в момент времени 1=0, а в момент времени 1 т, то и(х, 1)= — б (х, $, 1 — т). — со(х, $(+ос> х чья. т< 1(+со, (3) сро е-аи т' (х-4>' б(х, 4, 1 — т) е ~'*(~ — т).
2а)> и(1 — т) (4) 63. Решение. Заменим в решении и(х, 1) уравнения иг аеихх+/ (х> Г) *) См. ответы и указания к задачам 56 и 63 4 2 гл. 11 и к задаче !53 63гл. П, йля разыскания температуры в стержне можно носпользоваться также .дельта-функцией е], решая либо задачу 313 ОТВЕТЫ. УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ х и 1 на с и т; заменим, далее, в фушшии источника б («, "-, г) = 㫠— Е?« 1 = —.е ь?'г 1 на 1 — т, 0(т(б Функции и(в, т) и 6(х, $, 1 — т) 2аР и( удовлетворяют уравнениям их=а'и?Е+/(Е, т), б,= а«бы, по ?тому д / дги Ф61 (6,) .?16 „,, )+б/. Интегрируя последнее равенство по $ до — со до + со и по т от 0 „о à — а, О ( а (1, получим (ссли предположить, что и и ее производные по Е храннчеиы при $-ь -?" со или стремятся к со, но не слишком быстро): + а .;- О г — а +са (би)т г а?($= ~ (би]т ь?$+ )г ?(т )г б/с?В.
Переходи к праде.чу в равенстве при а-?-0, получим «)с +с« +сю и(х, (]= )г ~р($]б(х, $, (]?(3+)г?(т )г /(Е, т)6(х, Е, Ю вЂ” т)а$. (3) 69. Ответ даегсн формулой (3) решении преаыдушей задачи, где под 6(х, $, () нужно понимать функцию источника, найденную в решении задачи 67. У к аз авве. Задачу 69 можно решать либо непосрежтвенно, либо свс денном к задаче 68 путем замены искомой функцни и(х, 1)=е ьго(х, ().
70. 1 = , и ,„ (х)= т)е 2а™«ср)' 2па! х — 3 [ «? а () 1 с' — ьт — —, бт — -. )«~ 71. и(Х, 1]= — 1 а Ь?Ч=, П(Х)= Е а ' ср 2а)? ?с )Г'г ' 2сра)? Если поверхность стержни теплоизолирована, то 1пп и(х, 1)=со. г +» и (х, 1) = (/а ~ Ф (=) Ф ~=)~. где Ф(з) == 1 е Е с(й есть так назыиаемый интеграл ошибок, таблицы )пЬ значений которого можно найти в [7), а также в таблице 1 приложений насгоящей книги. *) Переход к пределу а левой части равенств«,2] при а-?.0 выполнив аналогично тому, как зто сделано в [7), на стр, .'юΠ— 233. )и.
РРлпнения ИАРлвОлическОГО тиил , („!) а ! — Ф вЂ” +лай(ф — ак-) а*кн ( ! х 74. и(х, () (/ае "'~Ф~ —,.) — Ф~ ф ['А либо заменой иско- У к а ванне. Воспользоваться решенном захачи мой функции и (х, () =е "'о(к, !) свести к задаче 72. (к — «»т)' ! р е [а'(! — т) 7б. и(х, ()= ..
л! и = 2аср !'и ) ! — т 2асрр и (к — »»)+«,")' в частности, температура стержня под печкой равна и(о«(, !) — Ф[( — !). ! аиа)'( ) срц, ~ 2а б) Полрирллая [к — ц» [к + З) ° '! . ) ~ вм(! — т) е [а*И-И ~ 2а г' и (( — т) О<х, 5<+аз„х~~, 0<(<+со. В л „ае, если на поверхности стеРжня происходит коивективный теплоабмеи ой, температура которой равна нулю, то выРажение для функции источника получается из (!) умножением на е — Л ((-т) (2 () где Н вЂ” козффицвент теплоабмена, входящий в уравнение и от ))„ Указа" ие Выр"'ение для ературы и(х, () и для О"(х, й,'! .) можно полрчнть, РассматРиваЯ неогРаниченный стержень — х предполагая, что в момент времени (=т в точке х=в выделилась мгновенно () единиц тепла, а в точке х — з выделилось мгновенно — (( единиц тепла, т, е., как иногда говорят, помещая в точку х=й мгновенный положительный источник мощности (2, а в точку х= — с †мгновенн отрвцательный источник мощности — () *).
(* В» („) !) ! 77. б(х, й. ! — т)= (е ["'и т)-(-е [а«н — т)~ 2а)' и (! — г) О < х, с <+со, т < ! <-(-со, х -и $. ()ри наличии конвективнога теплообмеиа на поверхности стержня функции источнике получас)ся из только что найденной умножением на е «) Функция источника для полупрямой определяется аналап(чво фушщии источника для капечного отрезка; си, введение х решениям задач подпункта в) настоящего пуннта. ч ам е ч а н и е. Выражение для и(х, () получено при условен, что тепло- обмен иа поверхности стержня, не соприкасающейся с печкой, пренебрежимо мал.
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ У 'к аз ание. См. указание к п е решается аналогично. к предыдущей задаче; настоящая задача 78. (х — ЕИ (х+4)с 1 . б(л, с, ( — т)= (а и — щ ( и (а (! — т(~ с 2о )~п(( — т) (.с -," -(- св" — 5 — дс( О~«, ч(+со. «Ф~, т(((+ос, где Л есть козффиниент, входяш Т едящий а граничное условие их (О, () — /ш (О, () = О. Прв наличии конвектнвного теп ообм источника получ ет : . на тепл сна иа позе х а ся из только что най р ности стержня функиия на денной умнонсе~ж~ на Указание. Йспользовать п т тепло мена, входящий в ав ур внение и,=о'и х — Ни.
овать предложение, сформулированное в задаче 82. 1 Р ) — 1 — (+1( 79 и (х () — ( ф (то) ~е (оч (ач о ( .) ((оос (( — т( 2а 'гс и .) (( — т)'(с е -(- со !х — ЕЯ (х+ЕИ + ~ )(~ т)(Е хо*(( — с( (о*п — т(~ Указание. Пусть и(с, т) есть решение анне У на и ., ешение уравнения ит=асиЕЕ+)(Е, т), и очипка, найденная в решении задачи 76. дт дт + дт ( (+ д дн дб ( д и Рб( ар дйз ( по $ ст О до +со и по т от О до ( — а, где О (а ~б получим( —,. = 1 „—.— — „.1 + со +со 1-а +о Оби)т (-а дь 'с (би)т о с(се=аз ( дт с "б— (— — а +со с — а +со (дб ди ди дб — ) д ~ д$ (~~~~ "+ ~ "т ~ б(~%.
е е Налагая надлежащие ограничения иа порядок роста оста и и — пРи т-: -).со получим: Э +со — 1( — )Е. - ~ +со (-а е с дбс ( — а +со (ба)т ( а с(с ь1 (бм) е с(сь о () ~(с ~ с( т+ ~ дт ~ б/((Е. «) ото равенство получается так же, как равенство (1) в решении задачи 63, ыг. кидвыкыми цлоднолмчнокого тмг(л 321 Переходя к пределу црн сь-э0, получаем*): 1нп ) (6«)т, „~ф=а(», Г). и е е +ш Г гх рл ~*+В'') 80 ц(х () 1 ф(ф)(с гач +е гяч ~ ф 2а У пг,) л е Указание. Задача (может быть решена аналогично предыдущей (см, указание н предыдущей задаче). 81. и(х, г) е е +~' ~х+чи е е 1 ~ от +ь» 1 ы-$) <а+акр + — 1 — ~ И. ф "*и-"+ й2оаУп 1)'( — г ) е е +" — ( +(+и' а — ь (. «- '",] е Указание.
См. указание к задаче 79. Задача 81 может быть решена аналогично. 82. Указа и п е. Воспользоваться тем, что а) если г (х) есть функция нечетная, то функцня + СО (» -$(» ( ) 3 р ( ~ ) а 4 й2о аУ п( 03 равна нулю прп х=0; 2) если ц[х, 1) есть решение уравнения иг отме„, то М дха евкже является решением етого уравнения. ") Переход к пределу выполинетсь анааогнчно тому, как вто сделано и 171, иа стр 230 — Жй 11 в. и. вдавя я ыь ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ 83. Указание.
Воспользоваться тем, что 1) сели )с (», 1) есть функпия нечетная по х, то фуикпия с + со и(х, 1) — — ~ — ~ г($, т)е ~~ ~с(в 1 Г дт 1' ЙУ'к 3)«=т 3 з равна нулю при х О; 2) если и(х, 1) есть решеияе уравнения ис азиза+1 [к, 1), 0(х, 1) у Ав дьи Рн 1) дх» является решением уравнения ис азиз + 7, Аь дь((х, 1) дхз ь=а х и (х. 1) С/сФ 1=1. (й УУ)' Скорость движения фронта температуры а()з, сс=сспз(.
О~сх<1, равна Рис. 34 Рис. 35. дх пй — —, где й — коРень Уравнения Ф(х) а. Графики изображены соошет. а отвеяно нв рис. 34 и Эб Т «а 4изйз ' где д — корень уравнения Ф(г) 1 — а. Указание. С помощью подстановки и(х, 1) обс, 1)+(с а дится к предыдущей. х+! аЛ йб. „„, () () 1;мд, ~~ 1Ф("~') Ф~ -~)1 вЛ' и!. вРАпннния пАРАЕОличнскОГО типА 67. и(», г) ОеФ(=1+ага+ ~~(те[1 — Ф! — +алг'(ф (1) Чтобы погрешность, допускаемая при пользовании йюрмулой (б) условия, ие вревышала е) О, достаточно, чтобы выполнялось неравенство цг 4паейееа (3) У када н ие. Интегрируя последовательно по частям, можно получать равенство +ге ( гг е (1 ! ! 3 1 3...(2п — 3)! ае — — — — + — —...+(- 1уг ' "' + 2»з 2е»1 2 -! 1»-! г ) ( !)а -' ц [4) ! 3...(2и — 1 г".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
