Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (1979) (1127884), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Х' обмена, Е(х) — начальные значеннЯ ты1пеРатУ)1ы, ЯЧ (Е) и фл (Е) в слУчае (3)— телгпературы концов стержня, а в случае (3) — значения температуры окружающей среды у концов стержня; ал(Е) и оэ(Е) — тепловые потоки, поступающие з стержень через его концы (т. е. количества тепла, поступалощие в единицу времени). Ук а ванне, Если боковая повсрхносп однородного изатропногоцилнндрическаго стержня теплонаолнрована, а изотермические поверхности в начальный момент времени совпадают с его поперечными ссчениялгн, причем торцы сшржня все время остаются изатермическими поверхностями, то изотермические поверкности в стержне будут все время совпадать с поперечными сечениями, т.
е. температура в стержне все время будет зависеть лишь от одной пространственной координаты х. Уравнение (1) можно получить, приравнивая приращение за единицу времени количества тепла в элементе (х, х+Лх) агержня, равное ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ 3 а м еч а н и е. Еслп коэффициент тепласбмена и значительно больше коэффициента внутренней тенлоправадвостн А(а-ьсо), то граничные условия (3") переходят в граничные условия (3). Если же, наоборот, сс пренебрюкима мало (сс -ь 0), то граничные условия (3 ) превржцаются в граничные условия (3'), где д, (!) Ве(С)=0, т. е. мы приходим к случаю тепловой изоляции кон- нов стержни 2.
Уравнение теплспровадиоств в данном случае имеет вш! А ир и, — 脄— (и — ие) ср "" сра где р — пс(имегр поперечного сечении стержня, сс — коэффициент теплоабмена между поверхностью стержня и окружакпгей с)еьай, температура каморой равна из; асталы:ые величины имеют те же значения, что н в предыдущей задаче; начальные и граничные условии записывзготся так же, как и в пре- дыдущей задаче. У к аз а ни е. рассматривая элемент (х, к+Лх) стержня, учесть в тепло- вом балансе не только потоки тепла через торцы элемента, но и потоки тепла через его боковую поверхность.
3. Для определения температуры в кольце получаем краевую задачу иг — ы„„— — (и — иэ), 0<х<), 0<с<+со, Х яр ((] ср сра и (О, !) ((, !», и„ (О, О „ ((, !), О < ! < + (2) и(х, 0)=)(х), 0<х.-!. (3) Здесь )с, с, р, а, а, р иммст тот же смысл, что и в предыдущей задаче. Координата х — длина дуги, отсчитываемая вдоль кольца. Если радиус кольца ранен )!, то х=ссв, где  †углов координата; следовательно, (=2пЯ, д ! д — — — и, переходя к независимым переменным 6, й краевую задачу (!), дх й дВ (2), (3) можно прсобразавать к виду Х ир ис — ивв — — (и — из). 0 < 6<2п, О<! <+со, (!') ср)сз сра и(0, Г)=и(2п, !), из(0, !) из(2л, !), 0<С <+со, (2') и(6, 0)=р(6), 0 ° В <2п. (3') В.
— =аз — > сьг<х<+оо, 0<с<+со, ди дзи (!) и ( зс, !) = р(!), О < ! <+ (2) и(х, 0) О, 0<х <+со. (3) В. для определения температуры и(х, !) в проволоке получаем краевую задачу Х ир ())з)! ис — 脄— (и — ие)+ —, 0 < х < ), 0 < ! <.+аз, (!) ср "" с(ю сра с ис (О, !) =)ли (О, !), гзис (! !) Хаил Д. !), О < ! <+Оо, (2) и(х, 0) )(х), О<х<(, (3) где с и с, — теплосмкости клемм. 1 †си тока, )! †сопротивлен единицы даний провода, 3 †коэффицие пропорциональности в формуле В 3)з)!Ах, (4) выражающей количество тепла, выделяемое током ! в единицу времени в эде.
менте (х, к+ах) провода. Коэффициенты Х, с, р, а, р, а имеют тат же смысд что и в задаче 2. ПС. УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА У к аз анне. При выводе уравнения (1) нужно воспользоваться соотношением [ч). Б. Для определения концентрации и(х, 1) получаем то же уравнение и те же граничные условия, что и в задаче 1 для опрслеления температуры, с той, однако, разницей.
что в случае диффузии аз=А О, где 0 — коэффициент лиффузии, а и — ком)зрициент проницаемости каждой из граничных плоскостей. 7. Для определения козщентрации и диффундируюшего вещества получаем уравнение (1) ис=Ви — еи„ где 0 — коэ44ициеит .*ффтчии, а и — гс прость движения среды. У к аз а н ие. Для ь ксучсния урне сияя (1) нужно выделить элемент с поспжнной площадью попере, го сечения, параллельный оси х (рнс. 33), и Рнс. 33.
рассмотреть количества вещества, проходящие через сечения х и х+Лх за счет диффузии и за счет переноса движущейся средой. 8. Для определения концентрации взвешеннык частиц получаем уравнение ди д'и ди - — =0 — — о —, дг д22 д2 где 0 — коэффициент диффузии, а о — скорость оседания частиц, причем ось г направлена вниз. Условие непроницаемости плоскости г=гз имеет вид ди 0 — — сир 9 при г=гз. дг У к а з а н и е.
Сзс. указание к прсдыдушей задаче. Вместо потока диффундирующего вещества за счет движения среды нужно учесть поток вещества за счет оседания частиц. 9. а) пс=Впхх — )сси, ()с)0; б) ис Вихх+ ()зи рз ) О. где 0 — коэффициент диффузии, рс — коэффициент распада, а ()з — коэффициент размножения. Указание. В случае а) в единице объема в единицу времени разрушается количество диффукдирующего вещества. равное рси, а в случае б) возникает количество днффундирующего вещества, равное ()зн. ответы. укАзАния и Решения 10.
Если скорость подвижной плоскости сохраняет постоянное иаправле. нне, та скорости частиц жидкости будут, очевидно, параллельны этому направ. пению. Направляя ось по толщине слоя и помещая начало координат на неподвижной плоскости, для определения скорости частиц жидкости получим ирзевую задачу где ! — толщина слоя, оэ(!) — скорость движения граничной плоскости, р = — — иинематический коэффициент вязкости, р — плотность массы, р — дина. р мический коэффициент вязкости, входящий в закан Ньютона для определения напряжения трения между слоями вязкой жидкости Указание. При выводе уравнения (1) нужно пренебрегать градиентом давления па сравнению с градиентом сил трения, что можно сделать, если жидкость обладает большой вязкостью. (2) Р е ш е н и е.
Напишем систему уравненьй Максвелла ") при условии, что в рассматриваемой области отсутствуют объемные заряды и сторонние элгктродвижущие силы: д!т 6=-0, д)ч Н=О, (среда проводящая!) в виде го! Н= — Е. 4ло с (П') *) См. (!), стр. 444. ог тоах' О < л < !' О < ! <+со' о (О, !) = О, о (1, !) = сз (!), 0 < ! <+со, о (х, 0) =О, О < х < 1, д! 4нор дьэ ' дН Ф дэН д! 4нпр д~~ го1 Е+ — - — — = О, 1 дд дг 1 д!) 4п го( Н вЂ” — — — г, с дг с 1 д!) Пренебрегая токами смешения — — в уравнении (Н) с д( и используя (У) и (ЧП), перепишем уравнения (1) н (11) го! Е+ — — =О, И дН с д! (!) (2) (з) (Ш) (1 т*) (т!) (У!) (ЪЧ!) ИК УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧБСКОГО ТИПА го! го! и =Огай б[ч а — б[ч йтаб и *); зто приведет к уравнению — б!ч ягаб Е.
дЕ дЕ 4пор Аееалогвчно получается уравнение дН ст — д!ч цгад Н. дЕ 4пор (4) По условию Е=Е(Е, Е). Н=Н((, Е), где С вЂ” расстояние, отсчитываемое от некоторой фиксированной плоскости, В прямоугольной декартовой системе .координат 14, гй ь) оператор Лапласа заннсывается в виде д'-' д' д' д!ч йгад = — + — + —, дсв дт[э д[,з ' а следовательно, дэЕ дйч йгад Е= —, дьа ' дЯН б!чйгаб Н дьз Поэтому уравнения (3) н (4) преобразуютсн в (!) и (2), 2. )[еоднородные среды, сосредоточенные факторы; уравнения с переменными козффнцнентамв н условия сопряжения !2.
Если ось х направнть по стержню, поместив начало координат в месте соедннення стержней, то краевая задача об определения температуры в составном сеерлгне может быть ззпнсана в виде ди, дЕ а' —, — со~х(0, дзиг дхе О -С Е <+ со, ЕМиа а,' —, О ( х (+ со, дхз Е) )тиг„(0. Е)=)чизх(0. Е), О(Е(+со, Е) )чивх (О Е) — ) гитх (О Е) = Ссигг (О, Е) =Сапы (О, Е), О цЕ ~+со, и,(х, 0)=((х), — оэ(х~О, из(х, О) Е'(х), 0(х(+со. диа дЕ а) и, (О, Е) =из(О, б) и„(0, Е) =из(0, *) Это равенство справедливо длв любого дважды непрерывно двфференцнруемого вектора а.
Возьмем го! от обеих частей равенства (1'), проднфференцируем по Е равен- ство (И'), ясключнм нз полученных результатов Н, воспользуемся соотцоше- ниямн (1Ч) н (71) и известным равенством векторного анализа ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ вЂ” =К)с —, — 1<(х(0, ди, д'и, д1 дхк ' дик д'ит — =и —, О<х<1, д1 дхк ' 0(1 <+со, и, ( — 1<. 1)=0. ик (1к. 11=0, 0<1«+аз, а) и, (О, 1) = из (О, 1), 0<и<а (О, 1) Вк икс (О, 1), О ( К (.+со, — 0<и<„(О, 1)=о(и<(0.
1) — ик(0 И) 1 ) К + — Л<лид (О, 1)=и(и,(0, 1) — ил(0, 1)), 1 и,(х„О)=К(х), — 1< (х(0, и< (х, О) = К (х), 0 < х < Кл. !4. Если в момент К 0 печь находилась в тачке х=О стержня, то крае- вая задача об определении темперагуры в стержне может быль записана в виде ди, дли, — =ил — —, — со ( х ( ае1, дК длз ' ди, дник — =от —, олК ( х (+ оэ, дК ' дх' ' и,(алК, 1)=ил (алс, 1), Ло [и, (олК, 1) — ил(оеК. 1))=К), 0 (1<+со, и,(х, О)=К(х), — <х<0, ие(х, 0)=К(х), 0 < х <+со, где Π— количество тепла, кнделяемое зле<стропечью и единицу времени, Л вЂ” козффициент теплоправоднссги, о — площадь поперечного сечения стержня.
С помощью импульсной дельта-функции краевая задача может быть сформулирована более компактно: ди д'и дК дхн ср — = ик — — + — <) ( х — анК), — со < х <+ со, О < 1 <+со, и (х, 0) 1(х), — со < х (+со. !5. Помещая начало координат на поверхности металла и обозначая через й(1) глубину, на которую распространилась затвердевание к моменту 1, получим краевую закачу ди, д<ис — а,' —, 0 (х(К(К), дК 'дхн' О <1<К!, — =к',—, й(1)(х<1, и,(0, 1) (К<=сапа(, — — — -кр,—, ~О<1<!и дх !ий <Е дх )х-а <с< дК' и<(й(1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
