Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (1979) (1127884), страница 48

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 48)

Соотношения же (1). и (П) могут быть получены из известных интегралов (см. (1)] Н. РРАБНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА подставив в вее значение ьам „! — гаьм д ()» !)=»р (ь)сава),м=»р (Ц + "» Н »р(А) ~ е вв а$=Айуг2в-авь ° У 2ц Следует заметить, что последнее раиенство имеет место как пря действитель- ном, тзк и прн комплексном й. +»» 169. и(х, !)= ) Н(2 дв )')мп 2 +с!в-2— )д)», к в»'ш! Указание. См.

решение предыдущей задачи. Следует заметить также, +»» чта интеграл ) $ мп (адв мп ($х) ~$ получаетсн дифференцированием по х интеграла мп (ай)в сов (йх) г(1, в 190. У к ав ан не. Воспользоваться тем, что 1) если Ф(х) и»у(х) — функции нечетньм. то к+ а! ( Ф(х — а!)+Ф(х+ат) ! (г(х. !)= 2 + ~ »Р( д к — ш равна нулю прн х О; 2) если и (х. !) есть Решение УРашвенна и!!=авила то и х два(х, !) дхв в=в .также является решением етого уравнения.

191. У к аз ание. Воспользоваться тем, что 1) если г (х, !) есть функция нечетная по х, то функция *+а (! — т! О(х !)- — ~ дт ~ ра,т)дВ 1 Г 2а в к — а!! — а равна нулю при х 0; 2) если и(х, !) есп* решение уравнения ии Лвикк+1(х. 1), та 'цв д"и(х, !) дха в=в является решением уравнения дв!(х, б ии =а'и, + т„яв —— дхь отнкты, кклзлиия и нншкния 192. Указ а н не.

доказательство провалится аналогично тому, каи зто лелается в решении задачи 190. !93. У к а а а н и е. Доказательство проводится аналогично тому„как зто делзегся в решении задачи 191. 1*. Переход к конечному интервалу методом отражений 194. и (х, Е)= .+. Е,ХГЕ. х,Г (х — с)з '1 ф( — аЕ)+ф(х+ ~) Е (' ( К з / 2 + 2 ) Г (х — 3]з х — ег аа х+ ег +,— ~ Е.~ )/ — ',~Р)феж (1) х — ы где ф(З) и фЯ получаются нечетным продолжением относительно нуля и далее гериодическим продолжением с периодом 21 195. Решение получается по формуле (1) ответа прелыдущей задачи, но !р(х) и ф(х) продолжаются нечетно относительно х=О, четно относительно х=1 и далее периодически с периолом 41. 196.

Решение получается по формуле (!) ответа к задаче 194; гр(х) и ф (х) продолжаются четно относительно х=О и х=Е и далее с периодом Я. 197. Будем искать решение краевой задачи нее=и,„+с'и,О~х(1, 0 СЕ-<+со, (1) и(0, 1) р,(1),и(Е, Е) р (Е), ОСЕ<-(-со, (2) и(х, 0)=0, и,(х, 0)=0, О-Сх(1, (3) в виде к(х. Е)= — ~ р(т) Ее(с Р"(Š— ) —.В) т+ д'' дх а г — И вЂ” х! д ! ~(ч Й ьэ"Ф-4--З *г) .

в о где функции ф(т) и ф(т) подлежат определению из граничных условий (2). Нетрудно убедиться, что и(х, Е), определяемое по формуле (4), является решением (1) при.побых ф(т) и 9(т). Будем счигатыр(т)юф (т) 0 при т~О. Выполняя дифференцирование в(41 и используя граничные условия (2), получим: г-Š— ф(Š— 1)+9 (Е) — ~ ер(т) ' т=р, (Е). с11, (с У(Š— т)з — Р) Р' (Е г)з Ез а Положим р, (Е)= Р (Е) — ф (Е), ф, (Е)= Р (Е)+ р (Е).

(7Р П. УРАБНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА Из (5) и (6) найдем: ! — 1 1( ~'(:) — !) д»».»»,ф — »»-»» 1 Ф ь» ' »»»~»»»»»»»» г'(! — Т)з — 1з 1-1 1 (с)»' [! — з — 1з) ф»(!) ( ф»(( !).( с! ~ ф»(т) ' . »[Т=р»(1) — )ьх[!). (9) )' (! — 'с)з — Гз е Из [3) и (9) в силу равенства ф(т] жф (т)-О прн т (О находим: ф,[!)+Рч(1)-Р,(1), ф,(1)=1»,(1) — )»,[1), О а(-1, (1О) à — 1 ([)=)»,[Г)+р (1) — ф,(1 — 1) — с1 ) ф,(т) '( ) ) г(т, ~ 1, (с рг[! — т)з — !з) Р' (1 — т)з — !з ! (!О') ф,(1)=р,[!) — р.(1)+ф,(! — !)+с! ~ ф»(т) — '-— 1, (с )» (1 — т)з — 1з) )г[1 — т)' — 1' е 2. Метод Римана Пусть требуется найти решение уравнения !.(и) ихх — ива+а,(х, Иих+(»1(х, Р)и +с»(х, Р)и=((х, У), (1) удовлетворяющее начальным условиям ди ~ ~- [), — ~ =ф(.) (2) !с дп )с ди иа кривой с, где — — производная по нормали к этой крнной.

Предполагается, дл Рис. 3!. что кривая с -видана уравнением у ![х), где )(х) — дифференцируемая функция, причем )!" (х) ((!. Тогда значение и в точке М (рис. 3!) находится с помощью формулы (ио)»+(ио) 1 »»» — » — ~ьт)»»ч»»»-" ч» — »»».»" ч».» +ио (адт) — 0 йй))+~Я о(А( М')) (д(') 1(омч»(ам бс»[т) ° (3) ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ хрнчем Рнс. 32. Если исходить из другого канонического аида дли гиперболического уравнения да и ди ди Ь'(и)= — +аз — +Ьз — +се и )(х, у), дхду дх ду (в) то решение уравнения (8), удовлетворяюшее начальным условиям ди ~ и~ =~р(х), — ф(х) ду !с иа кривой у=)(х), ~'(х) ~О, находится с помощью формулы (рис.

82) (РО) (ио)Р+(ио), Р (() ) ~ до ди е и(М) О-( зРД ~и о ) Ьио~,ц — ~ 2 ~и~ — и — ") — ~~~~ дО1 (. ~ ~ (М, М ) р(М ) д,„, РОМ и', ~р(х), и( (с — сов (х, в) + — сов (х, и) = ди ди ~р' (х)+ф (х) р' (х) дв дл Р 1+1' (х) . ) '" .. (у. в)+ — '" (у. и)='р'")р'"+ф" а функция о(М, М') с(х, у, В, Ч) — функция Римана для оператора С(и), определяемая из соотношений Ф(О)инпгх — сиз — (азс)х — (Ь„О)и+С,О О В Обпагтн Р(СМ, (4) дт Ьв — а, — = — о на характеристике МР, дз 2)г2 до Ь,+а, — и на характеристике МЦ, дв 2г'2 е(М, М)=1.

(7) Операторы Ь(и) н Ж(с) называются сопряженными. П. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРВОЛИЧЕСКОГО ТИПА где функция о — функция Римана для оператора Б*[а) — определяется из соотношений )у «(о) цн — — « — — + с о =О, д'о д (а«е) д д(бзе) дх др дк др до — = Ь«е на характеристике РА(, дк (12) де — а,е на характеристике 1~А(, дд е(М, М)=-1. (19) «+ас «+а(с-«! ф (х — а()+Ф (х+а() 1 р 1 Г и(х, 1)= 2 + ~ ф(к)дк+ — ~ пт ~ 1(к,т)с(2, 2а 2а д « — ас е « — ее — т) 199.

Функцией Римана в) для оператора деа д«а г (и) — " а«1„«а дс«дк« является: о („~с 1/(1 — т)«+ — ); б) для оператора Уа д'а Б (и) цв — — ૠ— — ста дИ дх« является где )е (х) Хе (сх) — видоизмененная функция Бесселя нуленого нарядна. Решение краевой задачи соответственно принимает вид ~р (х — а1) + ~р (к+ а1) 2 „+„У (,~/ Р (х — й)') « — ас $/ («в ай «+аа — О е «-аи-И Таким образом, если функция Римана для гиперболического оператора й или б«(а) найдена, то можно сразу написать в интегральной форме решение широкого класса краевмх задач, связанных с этим гиперболическим оператором.

199. Функция Римана о= 1. Решение краевой задачи имеет вии П. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА где СР(Х, у, З) ф (1СОЗХ) Уганя Г ~ — —, 1, ~+ — / 1 1 соз (а — 2) соз ут (2' 2' ' 2апа ° апх 1 апу 1 1 1 па(а — а) ству( + — ф (1 оса 2) 2 апэ~/'~~~а ~2 ' 2 ' ' 2апа зкоа х а атссоз —, У к аз а н и е. Воспользоваться дли гиперболического оператора канонической формой со смешанной производной. Функции Римана в характеристических координатах имеет вид / 1 1 Мп (2 — хз) ап (у — уз) 1 ~ 2 ' 2 ' ' з(п (хз — уз) ап (х -у) ~' ГЛАВА 1Н УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА В 1.

Физические задачи, приводящие к уравнениям параболического типа; постановка краевых задач Уравнения и граничные условия рассматриваемых здесь краевых задач теории теплопроводиости являются следствием: а) закона сохранения энергии, б) закона внутренней теплопроводносгн в твердых телах (закона Фурье) й в) закона конвективного теплообмена между поверхностью твердого тела н окружающей жидкой нли газообразной средой (закона Ньютона). Закон Фурье в одномерном случае выражается формулой да з= — пл —, дх ' где д — количество тепла, протекающее в единицу времени в направлении оси х через площадку и, перпендикулярную к оси х, а — температура в рассматриваемом месте тела; Х вЂ” коэффициент теплопроводности '). Закон Ньютона выражается формулой с=пег (и — на), (2) где о — количество тепла, протекающее в единицу времени через площадну о поверхности тела в окружающую среду, и — температура поверхности тела, иа — температура окрухшюще(г среды, м — коэффициент теплообмена еч).

В краевых задачах диффузии количество днффундирующего вещества и его концентрация игриот такую же роль, как количество тепла и температура в краевых задачах теории теплопроводности. В частности, если под и понимать концентрацию, под Х вЂ” коэффициент диффузии, а под д — количество вещества, днффундирующее в единицу времени в направлении оси к через площадку а, перпендикулярную к оси х, то закон диффузии (закон Нернста) выразится формулой (1), а формулой (2) выразится закон диффузии через полунепроннцаемую перегородку.

О параболических краевых задачах движения вязкой жидкости и влектродинамики будут сделаны соответствующие замечании непосредственно при их рассмотрении. ') ), зависит от физических свойств тела и от температуры и, но в достаточно широких пределах зависимостью )г от температуры пренебрегают, беря з для среднего значения температуры. **) Все, что сказано в предыдущей сноске о зависимостиь от температуры, в известных пределах распространяется н на ои подробнее см.

14Ц, стр. 21. П1. УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧВСКОГО ТИПА 1. Однородные среды; уравнения с постоянными коэффициентами !. Температура точек гтсрягня явлнется решением краевой задачи ди грай»в дЕ ' (4) сумме капичеств тепла, поступивших в этот элемент за единицу времени через сечения х и к+6», ди[ ди ~ — аХ вЂ” ~ +ол — ~ (5) дК (» дк )х+Ак' а затем деля полученное равенство на йх и переходя к пределу при Ьх О, Остановимся более подробно на выборе знака у членов суммы (5). Мы считаем х+А») х, что, очевидно, не нарушает общности рассуждений. Если нэ торце ди х элемента (х, х+Ак) будет — ) 0 то в точках, лежащих правее торца (т, е.

дх внутри элемента), температура будет больше, чем в точках„лежащих левее торца (т. е. вне элемента), значит, тепла будет вытекать иэ элемента и, следовательно, ди первый член суммы (б) нужна брать со знакам минус. Если же — (О, то дх температура левее торца больше, чем температура правее торца, поэтому тепло будет втекать в стержень, первый член суммы (б) должен быть положительным и, следовательно, перед ним снова нужна взять знак минус. Аналогично проверяется выбор анака при втором члене. Для получения граничных условий (3') и [3") нужно провести такие же рассуждения для граничных элементов [О, Елх) и (1 †, Е), используя в случае (3") закон канвективнаго теплообмена Ньютона. ил=ли„.„, О<к(Е, О((<+со, (1) и(х, 0)=1[к), 0(х(Е.

(2) (О, Е)=фл(Е), и(Е, Е)=ф (Е), О<Е(+ (3) — ).аи„(0, Е) ал(Е), )лпи„(Е, Е)=о,(Е), 0(((+оп, (3') и„(0, Е)=6(и(0, Е) — фл(Е)), и„(Е, Е) — Л(и(Е, Е) — фл(Е)), 0<Е(+са, (3") Х где из — коэффициент температураправодности, из= —, Х вЂ” коэффициент тепласр праводнасти материала стержня, с — удельная теплоемкость, р — плотность массь1, а †площа поперечнога сечения, А= --, где сл †коэффицие тепло.

Характеристики

Список файлов книги