Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (1979) (1127884), страница 55
Текст из файла (страница 55)
е 2» ~ а г причем, очевидно, ~ е 1'~ ~е * ~ ф. (б) Замечание. Если частичную сумму, стоящую в фигурной скобке фор. мулы [4), заменить бесконечным радам, то получится расходящейся ряд, нимегаемый аснмптотичсским. Опенка (б) покавывает, что погрешность, потерей допускается при отбрасывании в формуле (4) остаточного члена +ге 1.3...(2и ц р -1' (-1у~ ' —. — ",ф ,) г" г стреммтся к нулю при каждом фиксированном л и а-г-[-со 66. и[», !) ~0е — ) ~~ — Ф(=)~+ — е г+ — е"ач+ ~1 — Ф ( — =+ ад у7)). 66:. и [», !) ° 2ад ф~ — е еа'г — а» [! Ф ( ри)~, 63. и(л. !)-и,+((Уе — [Ге)е- Ф~ ' 1+ (2 йг(У » »г"а »»у! е — ", "(. ~,- ~ — *-ге)1+.
~- [ — „' +г~~). Погрешность. допускаемая при пользовании формулой (4) условия. ие превышает !.3 ° б...(2л — 3) ! 2» аае»' [2) ОТВЕТЫ, ИКАЗЛНИЯ И РЕШЕНИЯ 91. и(х, Г) +'е з~~(1 — Ф( — ~/ — — )/ — )~+ +езй з гео(1, ~ х -~/ )»»С -~/ С()~ где гг', С, С вЂ” сопротивление, емкость и утечка едивипы длины провода 92. п(х, () )/ъ и"'иъ) ' +о» заЛ = с-зп»(9 з з сове (в 2Ай Г з Г,» Г (х+»))зт з з (ау= (2) — ~/ — "+й о 2 Первое слагаемое в пРавой части равенства (1) представляет собой затух „, с рошом х температурную волну, периодическую по С Второе же с бесконечно мало прв г -)-со. ,, ~( ./ '! а Скорость распространения теипературной волны с частотой ю риша »(х — а )' 2ы.
»(г Указание*). Можно найти установившиеся температурные во „ действительную часть комплексного решения задачи иы, как иг=азб»хю О(х, г С+со, и(О, Г)=Аз!и», стремящегося н нулю при х-ь+оз. Это номплексное решение имеет () (х, () Х (х) ев»».
— ~/ —, лс 1/Т 94. о(х, г) Езе г сш~зи — х $ — ДСю Е 2 / — — ' 'й з-Рз(пргдц воз где Е и С вЂ” сопротивление и емкость едииипы данны провода. ') Подробнее о решении задач без вачальных условий стр. 243 — 247, з з» ие РРАВнения НАРАЕОлиыескОГО типА Указание, См. указание к предыдущей задаче. с 90. — Хих (О, С) = д (С) )««с «" р(т)«ст дс 3 У( — ' о У к из а н не. Задача сводится к интегральному уравнению Абеля о).
«р (с) 1 «С «"- р(т)«ст уай$ и«(С 3 УС вЂ” т' й где й — ковффицнент теплообмева, входящий в граиичаое условие и„(0, С)=й(и(0, С)-«р(С)]. «с г е а*«с-и 97. «р(С) — — 1 И (т) с(т, бс й] — — (х — о«21 — — с оо о', 2ос сао и (х, С) (х — о ') Об интегральном уравнении Абеля см, ]9], том П, й 79, а также ука азине к задаче 114. где й* — козффиннент теплообмена, входящий в уравнение и, аоихх — й" и. с 1 «С г е а (с 96. «р(с) — — 1 сс(т) ст, йай )Сп «СС ргС:т где коэффициенты й н й* имеют тот же смысл, что и в задачах 96 н 97.
Ю о, ос — — Сх-о«П — — с с +со 24« оао «д+о. ( „( ]6+сот. Т) е"* «х — о«с — 11«(х — е««+1««1 )«е ««и — О з ин«С — тс ]«с(2 оо( <х <-(-со, 0 <С <-]-со. Указание. Перейтн к новым независимым переменным $ х — о„(, С (вто с«ютветствует переходу к подвижной системе координат с началом в точке хо=во() и невой искомой фунниии по формуле и(х, С) оад+рсо(й, С), 100. и(х, С) оо оо е2ое ](7)(се 4о с а 4о"с до йа Ргй Указ анне. См, указание к предыдущей задаче. 101. сьс)« с 42) ~ а со 1«(т)е сст. (С т)зсз Указание, См. укаааиие к задаче 99. Отвнти, укАзАния и не)пиния |4 т оо аэ г |к — ев| — 1)' " ы — и)- — 'з) 1 ) Г я)гй ) ы| 102.
и (Х, Г) 1(2о )' и) )к — е|)+1)г + |к — с|)+1+|В* |ч +е е'| — сз ~~ е -Мд с |к — ио))' + а' |к — ьо)р )Ч 4а~М вЂ” т) Од 1 г )а~|) — О ЬР Л ). + 2ез ач ее + се р~~а 1+еда тГ з — РФ вЂ” 1) |к — М+д~ +" |х — ж)+1+ пя |ь ) + ее и- о ае Г |еж| -ж го'ч,) )) ое Ю к аз а и и е. См. ухазание к задаче 99. е) )(оивчиьй отреаох функцией влияния мгионеииаго точечного источника тепла (ефункцией нсточниказ) для конечного отрезка 0- к(1, соответствующей данным гранич.
ным условиям, называется температура б (х, $, () в произвольной точке к, О< к < 1, в произвольный момент времени 1) О, вызванная выделением () сре) единиц тепла в точке $, 0(з(1, $чьк зтого отрезка в момент времени (=0, если концм отрезка поддерживаются при саатаештвуюшнх одно- родных граничных условиях. Таким образом функция источника О (х, $, 1) должна быть: 1) решением уравнения теплопроводностн, 2) удовлетворять состветствуюшям однородным ГранцЧНЫМ уепааняи, 3) ОбржцатЬСя В НУЛЬ Прн 1-ь0 И ХЧЬй И 4) удОЗЛЕПЮ рать предельному соотношению $*х 11|и ) О(.Ь, ) -().
г-ой |жо ялн, что то же самое, !пп ) 6(к, 1, Г)г)х 1 | ой-з г~о при любом )) ) О ее). функция источнвна 1х — 1р е 2о г'иг' для уравнения и) ь" озихк на неограниченной прямой удовлетворяет требованиям 1), 3) н 4), *) Здесь с — удельцая теплоемкость, а р — линейная плотнасп, массы. е) Поедналагается, по 0<$ — Х(з+Х(1, тп. УРАВНИНИИ ПАРАИОЛИЧИСКОГО ТИПА если к [1) прибавить такое иепрерывиое решение д(х, $, г) уравиеяия (2), обращающееся в куль при Г О, чтобы сумма гз — йр С(х,й,г) ! е ШМ + (х,в,г) 2а г' й( (3) удовлетворяла травкиным условиям 2), то (3) будет уловлегворять всем тре.
бовзиням 1), 2), 3), 4), т. е. булет фуикпией источника для уравиеиия [2) иа конечном отрезке, соответствующей граничным условиям 2). Слагаемое а(х, $, 1) может быть построеио для иекоторых типсв гранич«ых условий методом отражений; щим методом решаются задачи 103 — !06. 103. Реше иве. Продолжим стержень О~а~( в обе оторопи иеограиичеиио я будем считать его поверхиость всюду теплоизолироваииой.
Пусть в точке $, О~3~(, в момент 1=О выделилось () ср единиц тепла. Повыпюние температуры (т — йр ! — е 2ар ь' вызванное в неограниченном стержне — со ~ х ~+со действием этого мгиовеиного источника, не равио кулю при х=О и х А Если же, кроме того, и в точках — $, -э $ж2га, а=1, 2, 3, ...э), в момеит (=О подействовали ыгиовениые тепловые источиикя мощностью -э. э(, распределенные, как указаио ма рис. 36, то температура +ьэ ( 1э — а+ма)' Сэ+$+тчПП 0(х, $, Г) = э' (е эеч — е чам /, (21 у2а ау' пг' вызваииая в иеограничеииом стержие — со ( х (+со действвем всех этик источников. будет равна все время кулю как в точке х=О, так в в гочке ,х =1. Действительно, каждому источиику мощностью +Я согласно рис.
36 соответствуег симметричиый отиосительио х 0 источник мощностью — Я„и О чэ О 40 е е -л-Е -л -л+~ -1 -Ф (э ~ Т л-Ел а+~ Рис. 36. чбратио, каждому источиику мощностью — О соответствует симмегричиый отио. сительио х 0 источиик мощностью +9, так что их действия в точке х 0 взаимно увичтожаются. То же самое можно сказать и о точке х 1, Представим О (х, й. 1) в виде (» — 11* 1 эам 2а)'й (3) +о) ( )з — 1+ таб' се+ 3+ ва) ) 2а г' й( дь( ) Точки — $, -и- $ .в- 2л(„л 1„2. 3, ..., получаются из гочки й по следовательными симметркчвымя отрюкеииямн относительно х' 0 н х 1, Отнеття.
хцАЗАния и Решения +0» / гх — 1+2»0 [»+1+2»(!й) ~ (~й~», й, ()(= ' чт( ( "" — е ("! /~~ 2а) н( 1 [» — В+ аль 1 (л Ов (* <=е ( ! < е *! прн О<х<1 0<2<! (б) Аналогично для остатка ряда из членов с отрицательными а получаем оценку ((т — !РР ()(л(х, $. 1)~«=е»ч 2а г' н( Таким образом для остатка ряда (4! имеет место оценка ((т ((ар 1)(л(х, й, М)1< е а', О<х, $<1, 0<(<+со. (6) а р'((( Нетрудно установить, что при а-/(» А(» — раг — -1-1 2 будет выполняться неравенство *) (и — $(ьв (а(- (!ьи 1 1 =е»ч а= — е а~И а рп!» пйи О Е( (».
(Е) (й — (Рм ') Для етого в функции (р(1) = е ач перейдем к ново а)! пг (А( — 1) 1 зависимому переменному т —, Мы получим: а г(( 1 1 (р(!) (р (т) ()2-1)1У зм ()у — 1)(р'м + СО 1 Символом )) ( ) обозначен ряд (2) за вычетом члена (1). Члены 2а)' и! л =- — »» ряда (4) имеют производные всех порядков по х и ( нсюду при 0<х<1, О <( <+со.
Ряд (4) сходится абсолютно и равномерно при 0 <х< 1, О <(< (, где (» — произвольное положительное число; так же ведут себя й ряды, пслучаощнеся из (4) почленным дифференцированием. При (-» О, () О каждый член ряда (4) стремится к нулю. Таким образом 6(х, г» 1) удовлетворяет всем трегюваниям 1), 2), 3), 4) определения функции источника. Оценим потире(висеть, допускаемую прв замене суммы ряда (4) его частичной суммой г' при 0<я<1, 0»(=(~(». Рассмотрим сначала ряд нз чле»= — г( нов с положительными п, Если раскрь(ть скобки, то он станет знакопеременным рядом, удовлетворяющим условиям теоремы Лейбница.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
