Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (1979) (1127884), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Граничные условия (2) принимают внд и, (О, т) из(0, т), )ч ди« (О, т) )44 ди«(О, т) и, дб Будем искать решение при — со<2 <О, как «преломленнуюз на грашще И «Л« 1 раздоза $0 фуикпию — е 4«, т. е. как функшпо, имеющую вид 2 )'пт (б) 1 И вЂ” 1«И а,— г — -е ! 411«74 а решение прн О < й <+со — как сумму — -т= е тт и слагаемого, 2 У пх представляющего собой результат «отраженна» нв гранипе раздела 4 0 фуик- Я(-10' 1 Пия -т= Е 4«, т. Е. Н ВИДЕ 2 У ггг и-$«п 6-3«)4 1 1 из(с, т) а«=е 4«+ —. -е 2)'йт 2У пт (8) Подставлви (7) и (6) в (б) н (6), найдем а« и аа, Что И Привсдат К Ответ ( вернуться к прежним едннипам измерения). 116. Решением краевой задачи и и«и „, О <х, (<+со, с«иг(0, 1) Ми«(О, 1), 0<4 <+со, и(х, О) 1(х), 0<к<+аз. (1) Ф (3) «) Речь идег о численном равенстве, а не о совпадеияи Размерносшй.
Игп 6. О. 0<х<+«ю, хвала; в точке х «при Г-гО, Оа имеет особенность «»а 4 — 1П 1 е У ° (3') 2а, Уй( тп. Ридвнения пАРАБОлическОГО типА ззу являеосяо + ао гх — ер 1 г" и(х () ~ р(ре ° Л 2а(о'оп' ~ / /[х) при — со<х<О, ( /(х) при О <х <+со, к 2 соток Гоо- — ', ' ооооо+оооон) * ~ ого — ь+ 'оо — ооО -"'оз и Ч е )о5 пй аоСа' Иу. Решением краевой задачи дик о доит — -а' —, О < к < Е ((), д( 'дке' О<1<+соо — поо — ', $(() <х<+со, ! ,(2(1), (),(4(ПА ЕД и,(О, О Вм и,(+ . г> Им (2) где температура замерзания принята за нуль, к '-(/) — координаты фронта промерзавия А,— — З, е) -Ср —, О<(<+о, ( ди, ди) оЯ дк дх)к=ар) оМ' Я вЂ” скрытая теплота плавления, р — плотносп массы жндкости, ио(х, О) У„О<к<+аз, нвляетсш х и, (х, Г)-Ао+Вое~ — '1, '(2ао )о т / ие (х, () Ао+ВоФ ( (2ао ~'(/' (4) (4') и 'ФЬ вЂ” ") Ао Ухо Во — о, Ао оя — парень транспендентного уравнения ио ао као оао )го0те ' Гго(о е "( — ") "!'- Й)1 В = 1 — Ф( — ) )о — козффипиент теплопроводносги стержня, 3 — плшошдь поперечного сечения, от — коэффициент температуропрояоднссги стержня.
У к а з а н и е. Воспользоваться утверждением, сформулированным в аадаче 82. ГЛАВА 1т' УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА Е 1. Фнанческне вадачн, прнводяп(не к уравненням эллиптического тапа, н постановка краевых задач 1. Краевые задачи для ураинеиий Лапласа и Пуассона в однородной среде 1.
Уравнение для температуры стационарного теплового поля в однородной нзотропиой среде имеет вид Ьи — )(к, р, а), )г тле . — р — плотность источников тепла, т. е. количество тепла, выделяю. й ° щегосв в единице объема в единицу времени, й — казффнциент теплопроводиости. Краевое успение первого рода и!х А означает, что на поверхности Е задана температура гг! условие второго рода ди! ди! дл!х — )з, нли — Л вЂ” ~ Цз, (Гз — )зй), дл !х — на Е задан тепловой поток величины гк краевое услоние третьего рода д» вЂ” +ди~ )в или — д — й(и-/,), й М, ди дл дл Ь вЂ” на Е проясходнт теплообмен по закону Ньютона со средой теьщературы г.
Необходимым условием существования стацнонарюй температуры для вто рой краевой аадачи является выполнение равщктаа ~ )ьдп О, т. е. суммарный поток мпла через поверхность Е должен быть равен нулю. Нераяномерное распределение температуры вызывает тепловой поток, величина которого по закону Фурье равна () = — аагаби. Проекщгя его ва направление л, очевидно, ди рвана () — й —. дл' Р ею е и и е. При выводе уравнения (1) следует написать условие теп. левого баланса для произвольного объеме и затеи воспользоватьсв формулой Остроградского. ГЧ. ВРАВНБНИЯ ВЛЛИПТИЧВСКОГО ТИПА Ураввенна теплового баланса для объема Т с граныцвй 2, очевидно, ымеет внд слева — суммарный поток через 2, справа — количество тепла, выделяющегося в объеме Т.
Формула Остроградского дает: б(т (а йгад и) дт — Рдт, (2) откуда в снлу пронзвольностн объема Т н постоянства а получаем уравнение (1). 2. а) Уравнение днффузнв з покоящейся среде есть А О, (1) где и(х, у, а) — концентрацыя б) Если среда движется со скоростью е (о, о„, о„), причем д!То О, то уравненне днффузвн прннвмаег внд ди ди ди 06и — о« вЂ” — о -- — и —- «дг ад„«дз (2) где 0 — коэффнпнент хыффузнн, о .
о„. о — проекпни скорости е ыа коорднматные осн. Если о о, из о„б, то уравнение (2) прныимает внд о ди Ьи — — -- 3, (3) Од« ылн о ы„«+и„„+и — — и О (уравнение газовой атаки), Указ а на е, Диффузионный поток вещества прн неравномерном распределеннн концентрации равен () — )) йгад и (4) Кроме диФФузионного потока ыадо учесть поток переноса (транслнпнонный поток), равный так что суммарный поток равен — () йгад и+ ив Для вывода уравнений (1) и (2) следует аоспользоватьсн законом сохра вення вещестна длв произвольного объема н затем применить формулу Остро градского (см.
решенне задачи № 1), Закон сохранения вещества длв неподвижной поверхыостн 3 запвшегся так ди ~ — Π— +о„и)до О, дп (61ч(О йгаб и) — б!т (ви)) ит О ОТВЕТЫ. УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ откуда ввмду произвольности объема Т, а также условия д!ч и О и следует уравнение (2). 3. Уравнение для потенпиала и электрического поля в пустоте имеет вид би — 4пр, гле р-объемная плотнос|ь зарядов. Физический смысл краевых условий первого и второго рода: и )е ††! †зал ди ~ потенпнал на поверхности 2, — ~ 1 — задана плотность поверхностных зарядов.
'дл(Е Р е ш е н и е. Уравнения, которым удовлетворяет поле стационарных распределенных зарядов, получжотся из уравнений Максвелла, если все производные по времени положить равными нулю. Лля злектростатического поля в непроводящей среде получаем: го(Е О, д)ч Р 4пр, ~ Р=еЕ, (2) где и и(М) — потенциал поля Уравнение (2) дает: 41ч (е йгаб и]= — 4пр. Если в сопя(, то лля и получаем уравнение 4пр Ли е в пустоте в=!, и мы будем иметь Если имеются проводящие поверхности, то на внх тангенплальная составляю щаи злектрического поля должна быть равна пулах ди Ез — О, дз д где — означает дифференпированке по тангенпнальному направлению на поверх дз кости.
Отсюда следуег, что на поверхности проводника потенциал постоянен! и: сопз(; внутре проводника и=сопз1 и Е мзО. Если пронодник заземлен, то потенпиал и=п. Плотность поверхностных зарядов вычвсляется по формуле 1 е ди о — — Р„ 4п " 4пдл' где е — диэлектрическая постоянная срелы, р р(М) — объемная плотность заря. дов в точке М. Из уравнения го( Е=О следует, что Š— потенимальный вектор, предста вимый в виде Е= — йгзб и, ге.
нрлникния эллиптичнского типа д где — означает днфференпнрованве по нормали к поверхностн. Задавая рас-. дл пределенне поверхностных зарядов на проеодннке. мы получаем условие ди! 4по — l. да~к в Однако такая постановка зазлчн является неестественной для злеатростатнкн" обычно известен полный заряд е на поверхности. Поэтому ищется решение уравнения Ьи = — 4пр прн краевом условнн и (д нс, где и, определяется нз условия нормировки решення по заряду г".
ди — е — до=4пе, где е= 1 рдт (см, задачу у), дл 4. Вектор напряженностн магнитного поля равен Н вЂ” йгадф, пстен-- пнал ф удовлетворяет уравнению Лапласа йр-й. Р е ш е н н е. Если магнвтное поле не меняется во времени н токи отсут-- ствуют, то оно должно определяться уравненпямн го1Н О, (1у д)ч В=О. (2)- Из уравнення (1) следует. Н вЂ” йгад 44 подставляя зто выражение в формулу (2) н учитывая однородность н азотропность среды (р=сопз(). получаем уравнение Лапласа.
б. Поскольну вевтор злектрвческого поля Е потенцвален, то Ьн =О, а на заземленной идеально проводящей поверхностн и(х — — О, на травное с днзлектрнком Р е ш е н н е. Будем нсхолвть нз уравнений Максвелла в проводящей среде в стапнонарном случае го( Н- — у, 4л го( Е=О, д)» Е 4пр, д)т РН Применяя операпню Й)ч к первому уравненню. для плотносгн тока 1 полу- чаем уранненне (2у д)ч 1' О. Из уравнений го( Е О следует потенпнзльносгь вектора Е, Š— пгад и, где а и (М) — скалярный потенцнал. Так как в силу днфференцнального закона Ома у=оЕ (и — проводнмость) нлн / — о Осади, отпиты.
уклздния и Решкния то для однородной иэотропной среды (о сопя() условие (2) даем Ьи О. Из уравнений (1) и (3) следует, что Р=О внутри проводника. 1) На заземленной идеальна проводящей поверхжкти потенциал и О .(граничное условие первого рода). 2) Если прожжник граничат с диэлектриком, то иэ границе раздела пор* мальная составляянцая плотности тока должна быть равна нулю: дй -О, Ол т. е. ап — О дп (граничное условие второго рова). 6. Если <Р†потенци скоростей стационарного потока несзгимаемой жшг кости, так что и ягад к, то потенциал ~Р удовлетворяет уравиеиию Лапласа Ь~р О.
На повеРхиости твеРдого тела, движУщегоси с некотоРой скоростью пе, должно выполняться условие д~р ~ Если тело покоится, то ~~! О. Если среда препирается неограниченно, то ва бесконечности при г -ь со потенциал <р должен удовлетворять обычному условию регуляриости. Решен ее. Если жидкость несжимаема. то ее платность р сопэ1. Из уравнения иепрерывиости (сохранения вещества) д( ~+О)ч (ре) получаем условие иесжнмаемости гцт и О. Так как по условию скорость жидкости имеет яотевпиал и=Огай ~р, то б(эдгар р О или ДР=О. у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
