Б.М. Будак, А.А. Самарский, А.Н. Тихонов - Сборник задач по математической физике (1979) (1127884), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Повтому для остатка ряда получаем оценку П!. УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА Решая методом разделения переменных краевую задачу и! = ази, 0 < х < 1, 0 < Г <+ со, и(0; Г) и[1, !) О, 0<(<+со, и(х, 0)=б(к), 0<а<1, (9! [10) [11) получим для функция источника выражение + сл лспсл* 2 ю ! ! лпх пссй О(л, й, Т)= — У е ! а(п — а(п —. (12) )(чтя ряды (12) и (4) формально пресбразусстся друг в друга ), однако их роль в представлении функции источника различна; если ряд (4) сходится тем быстрее, чем меныае (, то ряд (12), наоборот, сходится тем быстрее, чем больше й Нетрудно получить оценку погрешности, допускаемой при замене суммы ряда (12) его частичной суммой.
Мы имеем: + сл лсыас +сл лялс ~ 2 ът р ! ппх ппр,~ 2 с! — и с ()г (х, й, с)1 — 7 е з1п — з(п — ~ — 7 е < л=м-ь! л=В+! +со ~ а ' и'ба $ ей ай 1 ~, О)(И Р~~~ НЗ) ас Аспл У7 при 0 =л, 4<1, 0<(<+со. где Так как 1 — 2тз 1 ф'(т) — с 0 при т) —, ес ас2 то ф (т) монотонно убывает на отрезке — < г <+оэ: следовательно, (р ()) 1 Р'2 2(А! — 1)с (з монотоиио возрастает при 0 <1 < ), Значит, при всех А!, удав а* лепюряьхцих неравенству 2 — (з)сл (т, е, неравенству (7)), будет выпал (А! — 1)з оз .мяться иеравенспю (8).
«) См. 17), сср, 479 — 491 Следовательно, при А1, удовлетворяюшях неравенству (7), будет удовлетво. ряться неравейошо !Л вЂ” !)си (с7!Т(х, $, ()!<=е " прв 0«(=-(*, О~», ~<1, (б) а гсп(л ОТВЕТЫ. УКАЗАНИЯ И РЕШЕВИЯ Выгоднее, однако, выполшпь оценку не остатяа ряда„представляющего функ« цию влияния, а оценку остатка ряда, яредсгавлякзцего решеняе краевой задачи, получейное с поьющью втой функции, так квк янтегрнровзние, вообще говоря, улучшаег сходиьюсть ряда ч).
104. А(в)одом отршвеняй получаем: Е ш ( (з З+ Зз)Р Сч+ $2МР) б (х, $, г) — У )а чзч «-е ззч ), (1) уа РЙ аы 0<в<1, О<(<+со, Схема соо)вештвующего расположения мгновенных источников тепла мощностью 9 ср азображена яа рнс. 37. Д"6 "Л -Л+6 "1 -6 () Д 7 Д-6 ЗУ Дт Рис, 37.
)хХФжтз)Р ) — е чоч < е зч 2а ~ГЫ 2а Г' й)ч (2) а -Г)ч при О<хД<1, О =Г ц1ч, пгн — — +1. 2 Таким образом дли осгатха ряав (1) имеет место оценка +ю Ю вЂ” ))~Р +сч ЗФ 2 нт ()7)г(х, $, 1)(че= Я с вч <= 3 г а™~ах арй .2> арж— 1 з и+) )т (3) 1 ~ ( )й) )~ (4) а — Гйвк О (нй)*. А)~а 2 при О~хДчц1, (6) Меп)дом разделения перемеиньш вля втой же функция ксточинка полу- чается вырюкение + сз в~зРа~ 6(х, $, 0 — + — у е соз — соз а..
1 2 'К) Р я их а ай з') и 1 Дли оста)на ряда (6) получается опенка Г Р-Ъ а Кн) 1 пря О~хД а(, О<1<+со. (6) ь) См. оценки, выполненные про решении задач 22, 27, 26, зз, 46 ва стоящей главы, В салу соотношеняй (7) и (6) решения предыдущей задачи длн членов ряда (1) имеем: 331 1П. УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 103. Методом отражений получаем: + ' ( 1 -4+т О)" 1л~В+Я 1)л) 6(х, $, 1)- )' ( — 1)л(е ь*ч — е ллч ). (1) 2а У' и( лы Соответствующее распределение мгновенных точечиых источников мощвостыо 4) ср и — () изображено иа рис 33. -г(-Ф -Л-Л+Ф -У -Ф и Ф г Л-Ф Л Л+ Рис. 33. Метод разделения перемеииых даеп 2, — ~ 1 2 1 2п 1 пх б(х $ 1) — ~ е лп соз( + ) ~сов + ) .
(2) 21 21 л е 'Оценка погрешности, допускаемой при замене суммы ряда (1) его частичкой суммой, выполняется либо с помощью неравенств, аналогичных иеравеиствам (4) и (3) вз решения предыдущей задачи (грубая оценка), либо аналогично тому, как вто было сделано и решении задачи 103 (более точная оценка). Для остатка ряда (2) получаем оценку [(2)У+ 1) )'(1) аУЛ)' ~ 2! 100.
а) Если И удовлетворяет неравенствам а - Грев )У» — ~/ — +1, -(~г 2 И 7Я )п!2 )ГМ 1+1, (2) то для остатка ряда (2) решения задачи 103 будет выполняться веравеиство ))( (х, $, 1)(~з при О~хДла(, Ол--(~тл. (3) б) Если А) удовлетиориет иеравеиству , ()Упа )Г(" ~ 1 епа.Г)л 1 / (4) ао для остатка рида (12) решения задачи 103 булет выполняться иеравеиство ()1 (х, $, й)(~а при о~х,$~1, глл--(-<+со. (5) 3 а м е ч а и и е Неравенства (1), (2), (4) позволяют при мданном Ф иайти какое тл, чтобы выполвялнсь соотвошекия (3) и (3).
107. а) Если Р/ удовлшворяет неравенствам а /(л А(з: — ~~ — +1 2 бг( — „=) ~ 1-в1, (А1 ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ го для остатка ряда (1) задачи 104 выполняется неравенство !)7т(х, Ч, 1))<а прн О.-хД~1, 0<1~ать. 6) Если !У удовлетворяет неравенству Ф(_#_™ )) 1 — апа $' Ге, г 1 г — а ~ (би)г г гф ~ (би) па+аз ~ ((6 -) — (и — ) ~ дт+ о е + ) дг~б)д~. (2) 1ереходя в раненстве (2) к пределт прв а-ь 0*а), получим ннтегрзльную фор.
гулу / г(х, Г) ~ \би)т ~т$+аз ~((6 — ) — (и — ) ~дт+ е о г +~дт~бщ, т)др. (6) е )га интегральная формула выест о(чнее вначенне для функций нсточнвка, гдовлетворяющнх различным граничным условиям. Если теперь воспользо. ~аться начальнымн и граничными условнямн для и: и(0, т) ф(т), и(1, т)=0, 0<т<+со, и (С, О) =) (й), О < С < 1, (а) (5) ~ гранячньив условяями для 6(х, Н, à — т): 6(х, О, à — т)=0, 6(х, 1, à — т)=0, 0<х<1, 0<т<б (6) е) Вто раненстао получается так же, как равенство (1) Решения задачи 66, еч) Предельный переход в леной части равенства (2) может быть выполнен, : помшцью рассуждений, аналогичных прннеденным в (7), на стр. 260-266 го лля остзшз ряда (6) задачи 10( выполняется неравенство ))от(х, $, г)(<з при О<хД<1, 1*<1<+со.
!06. Представления для фуннцнй нсточнвка получаются нз представлений, найденных в решения задач 106, 104, 105 умножением на е-ги, где Ь вЂ” козфРнцнент теплообмена, входнщяй в уравнение иг=аз脄— Аи. 109. Решение, Заменим в решении и(х, г) уравнения ит=ази „+)(х, (), 0<х<1, О<1<+со (1) г н 1 на к н ж заменим, далее, в функции источника б(х, $, Г) Г на à — т, )<т<1 д ди дб Г дзи д'61 Интегрируя равенство — (би)=6 — +и — =а'(16 — — и — 1+67~) дт дт дт ( дЕз %~3 ю С от нуля до ! н по т от нуля до à — а, 0 <а <Г, получим: ПЕ УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА то из интегральной формулы (6) получится следующее представление решения краевой задачи с помадью функции источника: и(х, !) ~ г($)6(х, 2, 1)с!в+аз ~(р(2) ' ' с(т+ о с ! + $ с(т ~ Щ, т) 6 (х, й, ! — Т) ((2. о Используя два различных предстанления для функции источника 6(х, й, ! — 2) (см. решеняе задачи 103), получим два различных представления для решении нашей краевой аадачи! ( +44 ! (к — 1+2лйс (к+1+2к((с ) а) и (х, 1) (( ! (сь) 1) е 4а*! е 4ач (св+ уо)гп! ! с +44 (к+ зкс)с ( + со у (к — 1+тки" (к+ $+ елстс) 1 ) +О» «к*аз « =! + ао к*я*ос ь~ 1р и — ч ! л=! ! (+ се ксИЧР 2~~ ~сС! С(~ ° " Ш (а п=! Представление а), вообще говоря, выгоднее прн малых !.
представление б) — п и больших !. н ) — при с 11О. п(х, !)=~7(ез) 6(х, 2, !)(сп — аз~(р(т) б(х, О, ! — 2)(12-(- с с +1()231(й, т) 6(х, к, 1-2) с(й, (1) (де 6(х, н, ! — 2) — функция источника, полученная в решении задачи 104. Если в равенство (!) подставить даа разлячных представления длн функции исшчннка, то получается два различных представления для решения нашей краевой задачи.
Ш. и (хс !) (/2 р 1 — О( ~з(йп (х+йл!ф 'К! (Р (( -Рйл!( Л ~ ~ ) ! И ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ 11Х и(х, () +»» ы+ виг -. т (-)'- — -"- (-.('- )3 6 — »» 3, Неоднородные среды н сосредоточенные факторы; ур авневня с кусочно-настоянными козффяпяеитам н я условия сопряжения У»+(Уз Оз) Ф( — — ), — оз < х < О, х уа, 'ггу 11В. и(х, ()~ о,+(и»-и,)Ф~ — ), о~*<+ х Еа,)г( и,—,+о„— йк йз а, «з 1 а, аз У к а з а н н е. Задачу можно решить с помощью следующего яскусстзеннога пряема. Нужно продолжить левый стержень неограниченно вправо так, чтобы получался неограниченный однородный стержень нз (того же материала, что и левый полуограннченный стержень.
Затем нужно найти температуру йолученнсго неограниченного стержян пря условия, что его начальная температура равна У, пря — со<х<О я О," прн 0<х <+ос, где Уà — пока неопреде. ленная константа. Аналсгнчно (нужно поступнть с праным полуограняченным стержнем, Константы У; в У» находвтсн нз граничных условий (условий сопряжения) в точке к О. (и,(к, (), — со<к<0,) )ый и(х, 1) ') О <( <+с . ((из (х, Г), 0 < к < Л-оз, ) из (х, Г) ~ )з($) (е с +е ) ай+ ~~% ) а, Г ф (т) аЫа» а(г — о +„Э ( И-1) С +И( н из(хе 0 ) ~ )з(з»)(а» +з ) й»ь ~л 1 с к» аз Г ср (т) 1 а Г Ф (г) ср (т) — — ~ — аг, пат3 г'т — з +»» 1* 1 Ф (2)~ — т» ~ !зЩа» ай — — ~ !з (й) а ' а$ 3 п1.
ЮРАВнения ОАРАЕОлнчесхого тнпд иг(0. [) иэ(0. [), Аэи,х[0, 1) йза (О, [). ф [[) А,иь» (О, 1) А,ик, (О, [) Полагая в решая задачу теплопроводвости с заданным граничным условяем второго рода для полуогранвчениого сгержня — со < х < 0 и для полуограннчениого стеРжни 0 <х <+со, мы выРазим иг (х, 1) и иэ (х, 1) чеРез начальные УсловиЯ и через пока еше иензвестнуш функпяв ф [1). Используя первое условие сопряжения и, (О, 1) из(0, 1), мы получим интегральное уравненяе Абеля для определения функпнн фа: — Ф (х). ф (т) дт Г'1 — г Ршпеввем этого уравнения является ф (т) — — дх.
1 д г Ф(з) л дт Есле Ф'(х) сушестзует н непрерывна *) при Озбз<+со, то, выполняя в правой части последнего равенства сначала ннтегрярование по частям, а затем дифреренпярованне, получим: ф(г)-- " ах+ 1 Р Ф (х) Ф [ 1 О) т — з лг'т Зта формула может бьль прнменена, н частности если Ф (х) нисона(. В этом случае Ф' (х) — 0 и ф [т) Ф(+0) л ПЬ. Решением краевой задача д[)г, дэа — а' —, — со<к<0 0<1<+со, д[ ' дхэ' дбз,д Оз — а' —, 0 < »<+со, 0 <1 <+со, а[ эдкэ' 6, бм А, — Хз — пРн к 0 О<1<+по дб, дбз дх дх э Нш 0 О, — <»<О, (2] *) См., например, [2], т.
П, $ 79. ~з) При ВЗЗЛЕжаШВ» ОГрЗНИЧЕНняХ На [З В [З Этз будст ВЫПОЛНЕИФ Указание. Фуикпнв ик(х, 1) и иэ(Х, 1) Лпзжнм быть соответственно решеннямн уравнении теплопроволвости иц а',иг„„п иы йэиктх И УДОВЛЕтворять условиям сопряжения ОТВЕТЫ. УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ Ае (*-2 )' 04(х, С, 1) — ° е пря со<х<0, из 4ао )Ч „Дз 2а„У"ги о,+я, (4) (х+ 1У 4 «и Д« ()а(х, $, 1) е ' + ° = при 0<к<+«ю 4«м е, и, е 2и« и( +)4 2и, ~Г«и а, о, (4') Р е ш е н и е. Перейдем к безразмерным величинам (см, решение задачи 13 насгояшей главы), причем так, чтобы уравнение тедлопроводиосги для правого н левого стержней имело ввд и« озидж 14(ы Имеем к 1'с, — со<С<0, к 1С, 0<С<+со, ( т, 1' оо И е,е).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
