Ч. Киттель - Введение в физику твёрдого тела (1127397), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Эти множители появляются вследствие интерференционных эф- фектов, обусловленных конечным размером атомов. Произведем расчет фактора рассеяния в рамках классических представлений. Излучение, рассеянное единичным атомом, должно учесть интерференционные эффекты внутри атома. Выше [см.
формулу (2.59а)) мы определили функцию 1 =)Л' (г)е ", (2.64) где интегрирование осушествляется в пределах электронной плотности с(г), связанной с единичным атомом, Назовем величину ) атомным фактором рассеяния или форм-фактором. Пусть г образует угол а с 6; тогда г 6 = г6 соз а. Если распределение электронной плотности обладает сферической симметрией относительно начала координат, то е'~ е [а = 2п г'г1г д(сова) с(г) е га'"'" = 2п с1гг'с(г) гдг где мы проиитегрировали по д(соз а) в пределах от — 1 до 1.
Таким образом, величина атомного фактора рассеяния опреде- ляется выражением: [а .= 4л 1 агг с (г) г' "0 (2.65) Если тот же самый электронный заряд был бы сконцентрирован в начале координат, где г = О, то в интеграле выражения (2.65) только произведение 6г = О должно было бы вносить вклад в подинтегральное выражение. В этом предельном случае (ебп 6г)г'6г = 1, и для всех 6 1а=4п г)дгс(г)ге=Я, (2.66) где л' — число электронов в атоме. Поэтому [а — это отношение амплитуды излучения, рассеянного реальнылг распределснием электронов о атоме, к амплитуде излучения, рассеянного одним электроном, расположенньгм э точке, При 9 = О из аналогичного рассуждения следует, что 6 = О и Го принимает значение, равное Л. Из решения задачи 2.3 также следует, что при очень малых длинах волн интерференционные эффекты сильно уменьшают амплитуду рассеянной волны ').
4 Ч, Кнттель ') Более точными рзсчетзми можно показать, что амплитуда н фаза рзссеянного излучения несколько иные длн тех внутренних электронов, энергия снязи которых блнзкз к энергии квантов реитгенпесного излучения. Этот хорошо известный эффект, носящий название «зномельнзн дисперсия», усложннет исследонзние, но, тем не менее, при определение структуры твердого тела может оказаться очень полезным. 5 'ч й йг й Ц Ф 1 Рис 233.
Электронная плотность н окрестности средней точки между даумя ближайшими соседними атомаин чц н напрааленни (111] а кристаллической решетке. Сплошная кривая построена на осноае набл1одаемых иеличин 1; пунктирная крииая предстазляет собой суперпозинню рассчитанных для свободного атома плотностей заряда. Различие зтих дзух кривых обуслоалено, с одной стороны, протяженностью распрелслений заряда з кристалле, а с другой стороны, избыточной кокнентрадней заряда а химической связи [10] Полное распределение электронов в твердом теле очень близко к распределению электронов в соответствующих свободных атомах.
Это утверждение не означает, что электроны, наиболее удаленные от ядра, или валентные электроны не пере- распределяются при образовании твердого тела; это означает лишь то, что интенсивности отражений рентгеновских лучей хорошо описываются величинами форм-факторов свободных атомов. Например, Баттерман с сотрудниками (71 (см. также (8]) обнаружил, что интенсивности отраженных при брэгговском рассеянии рентгеновских лучей в металлическом железе, меди и алюминии с точностью до одного процента совпадают с теоретическими значениями интенсивностей, рассчитанных для соответствующих свободных атомов с помо:цью волновых функций.
Результаты, полученные для алюминия, показаны на рис. 2.32. Бь!ло сделано много попыток получить с помощью рентгеновских лучей непосредственное реальное распределение электронов, участвующих в образовании ковалентной химической связи, особенно в кристаллах со структурой алмаза (см. работу Карпентера (9] для алмаза и Гетлихера и др.
(10] для кремния), Однако эта задача находится на грани возможностей рентгеновских дифракционных методов. Исследования, проведенные для кремния, дают некоторые указания на то, что посередине между двумя ближайшими соседними атомами электронная плотность заметно выше, чем та, которая рассчитана теоретически по перекрытию волновых функций электронов двух свободных атомов (см. рис, 2.33). ТЕМПЕРАТУРНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ЛИНИИ ОТРАЖЕНИЯ «,.Я прпшсл к заключению, что четкость пнтерференннонных линна ие должна изменяться, а пх интенсивность дшокиа уненьшаться с увеличением угла рассея.шя; причен чел выше тенпсратура, тен зтог пропесс должен бы, ь занетнее».
и. д:зла По мере повьппения температуры кристалла интенсивно.ть лучей, испытавших брэгговское отражение, уменьшается, од. пако угловая ширина линии отражения (дифракционной линии> ие изменяется. На рис. 2.34 приведен экспериментальный график температурной зависимости интенсивности линии отражен>ш кристалла меди. Удивительно, что можно получить чет>ле отр.- жение при дифракции рентгеновских лучей на кристалле, атомы которого совершают неупорядоченные теплоьые колебания относительно своих положений равновесия; амплитуда этих колебаний достаточно велика, в рсзультате чего при комнатной температуре мгновенные значения расстояний между ближайшими соседними атомами могут отличаться на 10с>ю Эвальд рассказывает, что в период, когда еще только готовился знаменитый эксперимент Лауэ, Фридриха и Книппинга, было высказано возражение, что мгновенное расположение атомов в кристалле прп комнатной температуре сильно отличается от правильного периодического расположения вследствие больших тепловых флуктуаций.
Поэтому, рассуждали далее, нельзя ожидать появления явно выраженного дифракционного максимума. Но четко выраженный дифракционный максимум существует[ Важное доказательство необходимости его существования было сделано Дебасм в 1912 г. Рассмотрим выражение (2.19) для амплитуды излучения, рассеянного кристаллом; пусть положение атома в момент времени 1 задано выражением р(1) = Р, + и(1), (2. 67) где ро отвечает равновесному положешпо атома, а и(>)— й 04 й )оз чй01 В 141 й Ч О 0 100 100 004 400 500 зж Рве.
2.34. Температурная зависимость интегральной интенсивности рентгеновского излучения МОКР, отраженного от плоскостей (800) меди [111. величина, изменяющаяся во времени. Мы предполагаем, что колебания каждого атома около своего положения равновесия происходят независимо '). Тогда среднее значение амплитуды рассеянной волны !формула (2.59в)) в направлении дифракционного максимума можно записать так: (Ф) = Фо (ехр ( — г'и С)), (2.68) где С вЂ” вектор, равный изменению волнового вектора при отражении, и (...) означает среднее значение при тепловом равновесии. Наличие множителя м'.о обусловливает то, что все дифракционные линии будут четкими. Экспонеициальный множитель в (2.68) уменьшает интенсивность.
Разложим экспоненциальный множитель в ряд: (ехр( — ги С)) = ! — Е(и С) — — ((и С)') + ... (2.69) Но (и С) = О, так как и соответствует хаотическому тепловому движению, не скоррелированному с направлением С. Далее, ((и . С)') = — (и') С'. (2.70) Множитель 1/3 появляется в результате геометрического усреднения по трем направлениям, так как нас интересует только компонента и вдоль направления С. Мы можем ограничиться выражением (2.69) для того, чтобы выяснить физический смысл рассматриваемого явления, но полезно заметить, что функция ехр~ 0 (и)С ~= ! — 0 (и)С'+ (2.7!) для первьгх двух членов имеет то же самое разложение в ряд, как и (2.69). Для гармонического осциллятора фактически все члены в рядах (2.69) и (2.71), как можно показать, одинаковы.
Таким образом, интенсивность рассеянной волны, равная квадрату амплитуды, есть 7 = )о ехр ~ — з (а') Сз~, (2.72) где (о — ранее полученная нами интенсивность излучения, рас- сеянного неподвижной решеткой. Экспоненциальный множитель называется множителем Дебпя — Уоллера. ') Это зйнштейновская модель твердого тела; такая модель не очень хороша прп низких температурах, однако хорошо описывает поведевне твердого тела при высоких температурах. Для того, что иам требуется сейчас, опа приводит к достаточно простым результатам.
Расчеты для реальных случаев, учитывающих рассеяние на термических флуктуацнях, см, в гл.20 книги (12). 100 Здесь (и~) — среднеквадратичное смещение атома. Среднее значение потенциальной энергии (У) классического гармонического осциллятора в трех измерениях при тепловом равновесии равно з/,/гвТ, откуда ((/) = — С (и') = ~ /!(в' (и ) = ~ йвТ, ! з ! з 3 (2.73) где С вЂ” силовая постоянная, М вЂ” масса атома и 㻠— частота осциллятора. Мы использовали здесь равенство ы' = С/М. Таким образом, интенсивность рассеянного излучения равна ьвтс' -! /(пй() = /э ехр [— (2. 74) где й, я, 1 — индексы в выражении С = пА+ йВ+ 1С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
