Ч. Киттель - Введение в физику твёрдого тела (1127397), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Векторы, проведенные из начала координат к центру каждой из граней, - -это половины векторов, определяемых выражениями (2.50), или — (-1- х -~- у), — "и (-~ у ь х), — (~ х -1- х). (2.51) а ' а и ! 1 1 а'= — а(х+у), Ь'= — а(у +х), с'= —, а(х+х). (2.52) Эти векторы параллельны векторам А, Н, С (2.48). Объем при- митивной элементарной ячейки У =1а' Ь' рс', с' ) = — аз.
4 Г!оскольку выбор знаков независим, общее число векторов— двенадцать. Обратнал решетка ГЦК решетки. Векторы примитивных трансляций ГЦК решетки, показанные на рис. 2.27, равны По определению (2.28) векторы примитивных трансляций А, В, С обратной решетки для ГЦК решетки таковы: 2л А = — (х+ у — х), 2л В = — ( — х+ у+ х), (2.53) 2л С = — (х — у+ г). Это векторы примитивных трансляций ОЦК решетки. Следовательно, ОЦК решетка является обратной для ГЦК решетки.
Объем примитивной элементарной ячейки обратной решетки равен ~А В)с', С~ = 4(2л/а)в. Для векторов обратной решетки получаем следующее общее выражение: б = — [(Ь вЂ” Ь + 1) х + (Ь + Ь вЂ” 1) у + ( — Ь + Ь + 1) х), (2. 54) где Ь, Ь, 1 — произвольные целые числа. Кратчайших отличных от нуля векторов 6 — восемь: — (~ х~ у ~а), (2.55) Примитивная ячейка обратной решетки почти полностью ограничивается восемью плоскостями, перпендикулярными к указанным векторам и проходящими через их середины. Однако вершины такого октаэдра оказываются срезанными плоскостями, которые перпендикулярны к другим шести векторам обратной решетки ') — (~ 2х), — '(-~- 2у), — (~ 2я) (2.56) и делят эти векторы пополам.
Таким образом, примитивная ячейка является ближайшей к началу координат ячейкой с наименьшим объемом и представляет собой усеченный октаэдр, показанный на рис. 2.28. Это и есть первая зона Бриллюэна 1ЦК решетки. СТРУКТУРНЫЙ ФАКТОР БАЗИСА Уравнения (2.22) определяют все возможные отражения для данной кристаллической решетки.
Эти отражения можно описать с помощью узлов обратной решетки, задаваемых векторами обратной решетки 6(ЬЬ1) = ЬА+ЬВ+ 1С, и обозначить отражения как (ЬЬ1). Интенсивности различных отражений зависят от 2л ') Заметим, что вектор —.2я является вектором обратиой решетки, и так как ои равен Л+ С. Рис. 2.29. Положение /-го атома в элементарной ячейке задано вектором р, = х а+ И а+ з с, где х р, а.— ь /' / константы состава элсментарной ячейки, т.
е. от числа н располоокения атомов в ячейке и от распределения нх электронной плотности. Рассмотрим этот вопрос подробнее. Допустим, что каждая ячейка состоит из з атомов и положение ядра /-го атома ячейки (рис. 2.29) определяется вектором р/ — — х/а + р/Ь + г/с, (2.57а) который проведен из узла решетки р „, =/па+ пЬ+ рс. Этот узел жестко связан с рассматриваемой ячейкой, так что последнюю можно обозначить тпр. Выберем начало координат в узле рооо = б.
Относительно этого начала координат положение /-го атома в ячейке тпр определяется вектором р/+ рмл . Как известно, электроны в атоме не концентрируются вблизи ядра, а располагаются в его окрестности. Распределение электронов в кристалле можно описать с помощью суперпозиции функций электронной плотности с/, каждая из которых связана с отдельным атомом. Так, функция с/(р — р/ — р щг) (2.57б) определяет концентрацию электронов в точке р вблизи /тго атома ячейки тпр. Таким образом, полная электронная плотность п(р) в кристалле может быть записана в виде суммы п(р) = Х Х с/(р — р/ — р .,), а|ад / / где первое суммирование (/ = 1, ..., з) производится по всем атомам базиса, а второе — по всем узлам решетки, число которых, определенное выше, равно М'.
Выражение (2.57в) для 91 (2.57в) и (Р) ие является однозначным, если распределения зарядов различных ионов перекрываются: в этом случае мы не всегда можем определить долю заряда, связанную с каждым атомом, но это не является существенным затруднением. В соответствии с (2.17) общую амплитуду рассеяния в кристалле для вектора рассеяния Лй можно записать так; /Фдр = — ~ с()///(Р) ехр ( — /Р ° Лй) = ~ /1)/с/(Р— Р/ — Р л )ехр( — /Р Лй).
(2.58а) тлр / Вклад в,~Ф единичного члена с/(Р— Р/ — Р лр) в выражении (2.58а) равен /()/с (Р— р; — Р „,)ехр( — /Р Лй)= = ~/()/с/(Р')ехр( — /Р' Лй)ехр[ — /(р/+Р л,) Лй[= = — //схр [ — /(р, + о л,) Лй]. (2.58б) При записи выра>кения (2.586) мы сделали подстановку Р:Р Р/ Р р п ввели величину (2.59а) которая называется итол/ным фактором рассеяния или форм- фактором (рассмотрению этой величины посвя'.цен следующий раздел). Выражение для амплитуды рассеяния можно теперь записать так: Фдр = Х Х [/ехр[ — /(Р/ + Р л,) Лй[ = тлр / = 1' ~: ехр( — /р „, Лй)1 [ ~„1/ехр ( — /и, . Лй)) ~,тл,л l ~. / пли 4а = М'~'а, (2.59б) Пря записи последнего выражения мы использовали полученный выше результат [см. формулу (2.21)[, что ехр( — /Р лр Лй) тлр не равно нулю только тогда, когда ЛФ равен вектору обратной 99 решетки. Сумма Уа= х !гехр( — гр! ° 6) г (2.59в) так что структурный фактор для указанного отражения можно записать так; У(йИ) = х 1гехр( — г2ч(хгй+ уг!г+ хг1)), (2,6!) г Структурный фактор не обязательно должен быть вещественной величиной; в значение интенсивности рассеянной волны входит У'У, где У*- †величи, комплексно сопряженная У.
Нас прежде всего интересуют нулевые значения величины Уг при нуле У интенсивность отражения, определяемого вектором С и разрешенного пространственной решеткой, ранна нулю. Структурный фактор может уничтожать некоторые отражения, которые разрешены пространствсниов решеткой, н эти недостающие отражения помогают пам в определении структуры. Структурный фактор Ог1гх решет!си. Базис ОЦК решетки состоит из двух одинаковых атомов. Их координаты в обычной ! ! 1 элементарной кубической ячейке равны 000 и — †, †,, т.
с, для 9 9 9 ' одного из атомов х, = у! — — зг = О, а для другого хг — — уг = = зг = па Тогда (2.6!) принимает вид У(!гИ) =1(1+ ехр( — гп(й+ й+ 1)]), (2.62) где 1 — рассеивающая способность отдельного атома. Величина У равна нулю в тех случаях, когда значение экспоненты равно — 1, т. е, во всех тех случаях, когда ее показатель есть нечетное число, помноженное на — ги. Тогда имеем: У = О, если сумма Ь+ !г+ 1 равна нечетному целому числу; У = 21, если эта сумма равна четному целому числу. В дифракционной картине металлического натрия, имеющего ОЦК решетку, отсутствуют отражения, обусловленные плоскостями (100), (300), (11!), (221), однако отражения, определяемые плоскостями (200), (110) и (222), будут присутствовать; указанные индексы плоскостей (йИ) соответствуют кубической ячейке. 93 называется структурным фактором базиса.
гггы называем некоторое произвольное отражение отраженисм (ггИ), когда вектор обратной решетки равен 6 =. йА+ + йВ+ 1С. Для этого отражения, используя вырангегггге (2.57а) для рь имеем: р! ° 6 =(хга+ гггй+ хгс) ° (йА+ йВ + 1С) = 2н(хй+ уй+ (2. 60) Роаоооота Ьтоа 2тт Рис. 2.30. Схема, поясняющая отсутствие отражения (!00) на днфракциопной картине для ОЦК решетки. 1, 2, 3 — рассеивающие атомные плоскости Разность фаа для лучей, отраженных от двух соседшм плоскостей, равна и, так что амплитуда отражения от двух соседних плоскостей равна 1+ ь =! — 1=0 Каков жс физический смысл того, что в дифракционной картине для ОЦК решетки отсутств)ет отражение (100)? Отражение (100) обычно имеется тогда, когда лучи, отраженные от первой и третьей плоскостей на рис.
2.30, имеют разность фаз 2н. Эти плоскости огранпчинают элементарный куб. В объемноцснтрированной кубической решетке имеется дополнительная промежуточная атомная плоскость, обозначенная на рисунке цифрой 2, рассеивающая способность которой такая же, как и у плоскостей ! и 3. Но так как эта плоскость расположена посередине между ними, отраженный от нее луч сдвинут по фазе относительно луча, отраженного первой плоскостью, на и радианов, вследствие чего отражение от иее гасит отражение от первой плоскости. Гашение отражения (100) в ОЦК решетке происходит потому, что плоскости (!00) состоят из одинаковых атомов. В структуре СзС! (рис. 1.26) такого гашения не будет: плоскости ионов Сз и С( чередуются, но рассеивающая способность ионов Сз значительно больше рассеивающей способности ионов С1, так как Сзж имеет 54 электрона, а С! — только 18.
Струкгррныа! фактор ГЦК решетки. Базис ГИК решетки состоит из четырех одинаковых атомов. Их координаты в ооычной 1 1 1 1 ! элементарной кубической ячейке: 000; 0 —, —, ' — 0; — ' —, —,О. Тогда 22' 2 2' 22 (2.6!) принимает вид 9'(Ьм!) =1(! +ехр( — гн(Уг + 1)]+ ехр! — (п(л+ Е)]+ + ехр] — ?п(й+ й)]), (2,63» Если все индексы — четные целые числа, то У'= 4(; тз же самое получается, если все индексы нечетные. Однако если только один из индексов четный, то в показателе двух экспонент будет произведение нечетного числа на †(п и У' будет равно нулю. Точно так же, если только одно из целых чисел будет нечетным, то по той же причине У будет равно нулю.
Таким 94 Рис 231 Сравнение интенсивностей отражений при дифракцпи рентгеновских лучей на порошках КС! я КВг В КС! ионы Ке и С! имеют одинаковое число электронов. Лмплитуды рассеяния для этих ионов ) (К ) и ! (С! ) почти равны, так что дифракцаонная картина для КС! имеет тот же вид, что и дифракционная картина для одноатомной простой кубической решетки с по. стоянной решетки а/2. Индексы отражений при дифракцин на кубической решетке с постоянной решетки и являются только четными целыми числами. В КВг форм-факторы К и Вг отличны, и в дифракционной картине присутствуют все отражения, присущие ГЦК решетке, (Кооег! чап Хогба1гапд.) 1г Я7 й1 ДЗ ЙЗ йз йз Дз Д7 48 з)г.У л Рис. 2,32. Абсолютные эксисричентальные атомные факторы рассеяния для металлического алюминия.
Помечено каждое наблюдавшееся отражение Падающим излучением являлось излучение МоК« с 3=0,709А. Видно, что индексы в обозначениях отражений либо только четные, либо только нечетные, а это как раз то, что мы ожидаем для ГЦК кристалла в соответствии с (2.63). образом, в ГЦК решетке не могут иметь место отражения от плоскостей, для которых часть индексов — четные числа, а часть — нечетные. 11а рис. 2.31 приведена прекрасная иллюстрация этого: и КС1, и КВг обладают гранецентрированной кубической решеткой, однако решетка КС! аналогична простой кубической решетке, потому что ионы Кг и С!- имеют одинаковое число электронов.
1!а рис. 2.32 приведены разрешенные отражения для алюминия, имеюшсго ГЦК рснгетку. АТОМНЫЙ ФАКТОР РАССЕЯНИЯ, ИЛИ ФОРМ-ФАКТОР В выражение (2.01) для геометрического структурного фактора входит величина )1, которая, как мы определили, является мерой рассеиваюшей способности 1-го атома элементарной ячейки. Чем же определяется 112 При рассеянии рентгеновских лучей основную роль играют электроны атомов, так как масса ядра слишком велика, чтобы «почувствовать» рентгеновский квант. Величина ) зависит от числа н распределения электронов атома, а также от длины волны и угла рассеяния излучения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
