Ч. Киттель - Введение в физику твёрдого тела (1127397), страница 13
Текст из файла (страница 13)
В другом методе, изложенном в Приложении А, ищутся решения уравнения для электромапщтной волны в среде с диэлектрической проницаемостью, являющейся периодической Функцией местоположения внутри кристалла (Функцией координат) . В задаче, предложенной Лауэ, нужно найти направления распространения волн, выходящих из кристалла, относительно заданного направления распространения падающей волны (рпс. 2.14). Окончательньш результат представлен соотношениями (2.20) и (2.22), которые приводятся ниже.
Предположим, что ответная реакция (отклнк) кристалла является линейной, так что частота оз' отраженной волны, порожденной ответной реакцией кристалла, равна частоте ы падающей волны. Величина волнового вектора ') волны, распространякмцейся в вакууме. связана с частотой соотношением оз = гй, а так как го' = ы, то й'= Й, где й' — величина волнового вектора отраженной волны в вакууме. Таким образом, в итоге имеем: ез = — со, й =й. (2.5) Мы хотим выразить направление отраженной волны (направление вектора й') через волновой вектор й падающей волны и векторы примитивных трансляций и, Ь, с кристаллической решетки. Для х-компоненты электрического поля падающей волны в свободном пространстве имеем; Е(х) =Еев'~в "- '1, (2.6) Эта волна взаимодействует с рассеивающим центром, находящимся в точке р, в результате чего образуется рассеянная волна, выражение для которой можно записать в виде: „Мг ег нм Е„= СЕ (р) — = СЕо е'» " (2.7) Здесь пропущен угловой множитель, не имеющий существенного значения.
Амплитуда рассеянной волны в точке р пропорциональна амплитуде падающей волны') (2.6): это обусловливает появление множителя Е(р) в (2.7); С вЂ” коэффициент пропорциопальностп, величина которого зависит от особенностей рассеивающего центра. Множитель 1уг необходим для сохранения энергии в потоке рассеянной волны, а все выражение '] Волновой пектор й нормвлен к плоскостям равной фазы; его величине равна 2п/Х, где Х вЂ” длина волны. ') Мы предполагаем, что кристалл имеет малые размеры, твк что в первом приближенви звтухвннем пздв|опгей волны внутри кристалла можно пренебречь.
73 Рис. 2лб, Для аекторз г можно записать: р+ г = Ю, или т' = А' — р. Возаедя обе части последнего выражения и кпадрат, получим: т' = ()г — р) ' = Ж вЂ” зрЯ соз !р, )2) + р'. Извлечем киадратяый корень и, пренебрегая членами порядка (р/Ю и выше, получим: т = Л (! — -' — сок(р, Ю) + ( †' ) ~ =Я (! — — соз (р, Я) + ...). Фазозый множизель и точке бн ! (падающая волна). Фазовый множитель и точке о: е' '" (падающая волна).
Фазоаьгй множитель на пленке а точке ж; е' '"ег ' (рассеянная полна), является решенном радиального волнового уравнения ( д' 2 д ! д' х — + — — — — — ) Е., (г) =- О, дта т дт сз дтт ) (2.8) нмеюгцего форму классического электромагнитного волн<вюго уравнения в вакууме: 1 дзЕ рзЕ= —,—,. (2. 0) сз дн Наша задача заключается в суммировании элементарных воли, рассеянных всеми центрами рассеяния в кристалле, в результате чего мы получим амплитуду суммарной рассеянной волны в точке с радиус-вектором /т, проведенным из начала координат О внутри кристалла. В этой точке расположен счетчик фотонов.
Из рис. 2,15 мы видим, что расстояние между рассеивающим центром н точкой наблюдения равно /г — рсоа(р, а(), (2.10) при условии, что пленка находится от кристалла на расстоянии, значительно превышающем его размеры. Полный пространственный фазовый множитель рассеянной волны с учетом выражений (2.7) и (2.10) можно записать так: е' '"'"" а'> = етая ехр (/(й р — йр сон (р, ас)]).
(2,11) Так как величина волнового вектора рассеянной волны й' равна величине волнового вектора падающей волны /е, а направление вектора й' совпадает с направлением )т, то /ар сов(р, ас)= й'рсоа(р, й') = й' р. (2. 12р 24 Рис. 2.!6 К определению вектора рассеяния Ьа, равного й' — а. Прн упругом рассеянии величины векторов я' и й равны, я'= я Это есть скалярное произведение. Отсюда следует, что фазовый множитель (2.11) можно записать так; е' '«'"+Яг! = еы" ехр (с'(Й ° р — Й' ° р)] = еык ехр ( — (р ° Лй), (2.13) где через Лй обозначено изменение волнового вектора в результате рассеяния (рис. 2.!6): Лй = й' — й, й' = А + Лй.
(2.14) Вектор рассеяния ЛА играет важную роль в теории рассеяния. С учетом вышеизложенного для волны, рассеянной центром рассеяния в точке р,ю выражение (2,7) можно записать так: г Сйч а~ля а Е„(г) =! " д ) ехр ( — 1р „, Лй), (2.15) где с достаточной степенью точности в знаменателе и заменено на )7. Выражение для суммарного рассеяния в данном направлении от решетки точечных атомов можно получить с помощью суммирования выражения (2.!5) для Е„по всем точкам решетки.
Интересуюшая нас величина является суммой фазовых множителей: эе =— 2 ехр ( — !р „д ° Лй). (2.16) тпд Для этой суммы определяются разрешенные направления рассеяния, как показано ниже. Наиболее типичным случаем рассеяния является рассеяние на распределении электронной плотности по всему кристаллу. Если рассеяние иа элементе объема кристалла с()' пропорционально локальной концентрации электронов а(р), то амплитуда рассеяния пропорциональна интег,ралу ~ с(!г п (р) ехр ( — !р ° Лй). (2.!7) Рассеяние решеткой точечных атомов. Пусть в кристалле ко- нечных размеров, имеющем форму параллелепипеда, одинако- вые точечные центры рассеяния расположены в каждом узле 75 решетки (2.18) р,„„, = пга+ пЬ+ рс, где пг, и, и — целые числа, значения которых лежат в пределах от 0 до М.
В этом случае кристалл содержит Мг примитивных ячеек. Из (2.16) видно, что величина суммарного рассеянного излучения пропорциональна .4 == 2„ехр ! — г (та+ пЬ+ рс) ЛЙ]. (2.!9) трр Величину .Ф называют амплитудой рассеяния. Сумма, взятая по узлам решетки, максимальна, когда р р ЛЙ = (ггга+ пЬ + рс) ° ЛЙ = 2п ° (целое число) (2.20) для всех узлов решетки, так как каждый член, имеющий форму ехр( — гр,р ЛЙ), равен единице. Когда ЛЙ удовлетворяет выражению (2.20), сумма для амплигуды рассеяния в пределах кристалла, имеющего М' узлов решетки, даст: Мз (2.2 !) Отклонение значения ЛЙ от величины, удовлетворяющей соотношению (2.20), будет значительно уменьшать величину сутгы в (2.19).
Отложим до решения задачи 2.5 рассмотрение того факта, что амплитуда рассеяния стремится к нулю по мере увеличения числа узлов решетки, если только ЛЙ не удовлетворяет точно условию днфракции (2.20). Условия дифракции. Величина ЛЙ = Й' — Й удовлетворяет условию дпфракцпи (2.20), если следующие три уравнения одновременно удовлетворяются для целых чисел Й, Й, 1: а ° ЛЙ= 2пЙ, Ь ° ЛЙ = 2аЙ, с ° ЛЙ= 2а!. ~ (2.22) Эти уравнения называюгся уравнениями дггфрггкггии рУадэ. Онн могут быть решены относительно вектора ЛЙ.
Если ЛЙ удовлетворяет уравнениям (2.22), то амплитуда рассеянной волны, выражаемая соотношением (2,19), может быть записана следующим образом: ,я! = Х ехр [ — 2п! (гпй + пй -! р!)] (2. 23) где сумма тй+ пй+ р! принимает только целые значения, поскольку Й, Й, 1, пг, п, р — целые числа. Для кристаллического 7б образца в форме параллелепипеда с ребрами Ма, МЬ, Мс получаем: м-1м-1и-1 -й= Х 2.
Х (1)=М'. (2.24) т-а а=о а=о где ЛЬ удовлетворяет уравнениям дифракции Лауэ'). Решение уравнений Лауэ особенно просто, если крнсталлографические оси а, Ь, с взаимно перпендикулярны. В этом случае вектор ЛЬ, удовлетворяющий этим уравнениям, есть ЛЬ=2п( — „" а+ ь Ь+ — с), где а, Ь, с — единичные векторы в направлении кристаллографических осей, а Й, Ь, 1 — целые числа, Если кристаллографические осн нс взаимно перпендикулярны, вектор ЛЬ, определяемый выражщшем (2.25), не является уже решением уравнений (2.22), так как в этом случае нс все величины типа а Ь равны нулю.
Для решения этой задачи в общем виде нам необходимо ввести понятие векторов обратной решетки. Это понятие оказывается настолько полезным и краспвым и имеет столь общее применение, что мы будем систематически пользоваться им в нашем изложении при решении всех задач, связанных с волновыми процессами в кристаллах, включая теорию энергетических зон. Понятие обратной решетки было введено Дж. Гггббсоаь (2.25) ОБРАТНАЯ РЕШЕТКА Рассмотрим вектор ЛЙ = ЬА + 1гВ + 1С, (2.26) где )г, Ь, 1 — целые числа, входящие в уравнения Лауэ (2.22), а А, В, С вЂ” подлежащие определению векторы.
Подставляя (2.26) в (2.22), мы видим, что (2.26) есть решение уравнений (2.22), если выполнены следующие условия; А.а=2п, В а=О, С а=О, А ° Ь=О, В Ь=2п, С ° Ь=О, (2.27) А ° с=О, В ° с=О, С ° с=2п. Из первого столоца (2.27) следует, что вектор А должен быть перпендикулярен к Ь и с. Так как векторное произведение 77 ') Так же как и формула Брэгга, уравнения Лауэ представляют собой необходимые условия дифракпии.
Если элементарная ячейка кристалла содержит более одного атома, та эти уравнения не являются достаточными условиями, так как необходимо также, чтобы структурный фактор (определение его дано ниже) пе был равен нулю. Если оп равен нулю, то амплитуда рассеянной волны будет равна нулю Ь Х с есть вектор, перпендикулярный и к Ь, и к с, то для определения А остается только пронормировать вектор Ь Х с, чтобы удовлетворить уравнению А а = 2п. Выбрав мы можем удовлетворить всем условиям (2.27). Это и будут основные векторы обратной решетки').
Они ортогональны только в том случае, если а, Ь, с также ортогональны, Все знаменатели в выражениях (2.28) записаны в виде а Ь Х с, так как из векторной алгебры известно, что Ь сХа=с аХЬ=а ЬХс. Эта величина есть объем элементарной ячейки. Любой произвольный набор векторов примитивных трансляций а, Ь, с приводит к той же самой обратной решетке. Необходимость отчетливого представления столь же существенна для обратной решетки, как и для реальной кристаллической решетки. Каждой кристаллической структуре соответствуют две решетки: кристаллическая решетка и обратная решетка.
Они связаны между собой соотношениями (2.28). Можно сказать, что дифракцнонная картина представляет собой карту обратной решетки кристалла, так же как микроскопическое изображение представляет собой карту реальной структуры кристалла. При повороте кристалла поворачиваются как кристаллическая (прямая), так и обратная решетк . Векторы кристаллической решетки имеют размерность длины, а размерность векторов обратной решетки (длина) '.
Кристаллическая решетка — это решетка в обычном, реальном пространстве; обратная решетка — это решетка в пространстве Фурье. Введение понятия «пространство Фурье» ооосновывается ниже. Положение узлов кристаллической решетки р л„определяется выражением; р „р — — та+ иЬ+ рс (т, и, р — целые числа). (2.29) Аналогично определяются положения узлов обратной решетки, или векгоры обратной региегки хх, в пространстве Фурье: сг =ЬА+ ЬВ+ (С (й, (г, ( — целые гисль). ~ (2.30) ') Кристзллогрзд ы обычно опускают н этих соотношеннпх множитель 2л и обоэнзчзют зекгоры обрезной решетки кзк Ьь Ьь Ьэ, но большинство физикон, ззнимзющихси георией твердого тела, сохрзняюг множитель 2н. Ме.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
