Ч. Киттель - Введение в физику твёрдого тела (1127397), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Кроме того, если оба вектора, Й ги йй заканчиваются на узлах обратной решеткв, то они должны быть связаны с вектором обратной решетки, откуда следует, что й' = Ь+ 6. Построение, выполненное на рис. 2.20б, известно как построение Эвальда и широко испочьзуется в рентгспоструктурном анализе и иейтрон-дифракционных исследованиях. В следующем разделе описано построенне Бриллюзна, которое часто используется для описания электронных состояний в твердых телах н, хотя довольно редко используется в рентгеноструктурном анализе, тем не менее даст ясную картину условггй днфракции. ЗОНЫ БРИЛЛЮЭНЛ Зона Бриллюэна представляет собой ячейку Вагнера — Зейтца в обратной решете.
(Ячейка Вигнера — Зейтца прямой решетки показана на рис. 1.8.) Определенная таким образом зона Бриллюэиа является наглядной геометрической интерпретацией условия дифракции 2й.б+ 6>э = О. Сначала удобно в это условие подставить — 6 вместо 6, чтобы записать условие дифракции в форме 2й ° 6 = 6'. (2А1) Эта подстановка не меняет существо условия дифракции, поскольку, если 6 — вектор обратной решетки, то и — 6 также является вектором обратной решетки. Перепишем (2.4!) следугощпм образом: (2А2) (/2~) (/з6) . Построим плоскость, перпендикулярную к вектору 6 и проходящую через его середину; тогда (рис. 2.2!) произвольньгй вектор Ь, проведенный до этой пл>оскости из точки, выбранной за «ачало координат, будет удовлетворять условшо дифракг(ии.
Построенная таким образом плоскость образует часть границы зоны Брнллюэна. Вектор обратной решетки имеет определенную длину и определенное направление относительно кристаллографических осей а, Ь, с рассматриваемого кристаллического образца. Рентгенов- 84 Рнс. 2 21 Узлы обратной решетки н окрест, ости точки О, выбранной за начало координат Векзор обратной решетки 6с связывает между собой диа узла обратной ре.
щетин — О н С, а нектор 6 — узлы О и О и Плоскости ! и 2 проведены такич образом, что о.ш перпен/гикулярны соогиетстиенно к иектор . 6, 6п лят н: пополам. Произ" вольные нек оры, проведенные нз начала коордн. ат н оканчпна>ощнеся па плоскостях ! н 2, наприз>ер некторь> й, н йь будут улоилегиорять услозпям днфракцни 2 ° ! ° й: - ) 6с!2) = (6с)2) й»'6 )2) = — (6 /2)з Рпс. 2.22. Квадратная обратная решетка. Тонкичп сплошными лпниямн показаны аекторы обратаой решетки. Пунктярные линии перпендякуляркы к аз им векторам п делят их пополам. Квадрат, расположенный н центре рисунка, имеет наименьшу>о площадь нз всех квадратов, расположенных н окрестности начала координат, и полностью замкнут пунктирными линиями.
Этот квадрат является примитинной ячейкой Вигнера — Зейтца н обратной решетке. ский лу'>, падающий иа кристалл, будет дифрагнроватзы если его волновой вектор имеет величину н направление, удовлетворяющие соотношению (2.42), и дифрагированный луч будет распространяться в направлении вектора й+ 6. Набор плоскостей, которые, будучи перпендикулярны к различным векторам обратной решетки, делят их пополам, играет' особо важную роль в теории распространения волн в кристаллах, поскольку волна с волновым вектором, проведенным из начала координат и оканчивающимся на какой-либо из этик плоскостей, будет удовлетворять условиям дифракпии. Эти плоскости делят фурье-пространство кристалла на неравные части, Рис.
2.23. Построение первой зоны Бриллюэна для двухмерной косоугольной решетки Кристаллическая решетка имеет вяд, показанный иа рнс 2Л9 Вначале проводим векторы. соединяющие точку О с ближайшими узлами обратной решетки Затем проводим линие, перпендикулярные к этны векторам и делящие их пополам Получаемый при этом многоугольник с наименьшей площадью является первой зоной Брнллюэна как показано для двухмерного случая на рис.
2.22. Квадрат в центре иа рис. 2.22 есть примитивная ячейка обратной решетки; видно, что этот квадрат был построен по правилам построения примитивной ячейки Вигвера — Зейтца, изложенным в гл. 1, за исключением того, что там зта ячейка была построена в реальном пространстве, а здесь — в фурье-пространстве. Центральная ячейка обратной решетки играет особо важную роль в теории твердого тела, и мы называем ее первой зоной Бриллюзна. Первая зона Бриллюэна является зоной с наименьшим объемом; она полностаю ограничена плоскостями, котораге делят пополам перпендикулярные к ним векторы обратной Лвлейлея нлилталлвееснвя гвлгетка гтсллтлея лететмт с Рис. 2.24 Одномерные кристаллическая и обратная решетки.
Базисным вектором обратной решетки является вектор А длиной 2п/и Кратчайшими векторамн обратной решетки, проведенными из начала координат, являются векторы А и -А Линии, перпендикулярные к этим векторам и делящие их пополам,— гранины первой зоны Бриллюэна Иа этик гранииак й шп/а. вб Рис, 2.26. Пипггитггвггые базис:гые Рис.2.26.1!ерваи зона Нрнааюэна ОЦК векторы ОЦК решетки решетки, имегошая фортгу правильного ромбододекаэдра решетки, проведенные из начала кооодинат. Первая зона Бриллюэна для двухмерной косоугольной решетки показана на рис. 2,23, а для линейной одномерной решетки — на рис. 2.24. Гранггцами зоны линейной решетки являются значения гг = ~ига, где а — модуль вектора примитивной трансляции кристаллической решетки.
Исторически сложилось так, что зоны Бриллюэна практически не используются в днфракционном рентгеноструктурном анализе, однако в теории электронных энергетических зон в кристаллах (гл. 9 и 10) их применение совершенно необходптго. Особая важность первой зоны станонится очевидной в гл. 1О. Построение Бри глгоэна показывает волновые векторы й всех падагогцих лучей', которые могут быто отражены кристаллом посредством брэгговской дифракиии.
Обратнаи региетка простой кубической решетки. Векторы примитивных трансляций простой кубической решетки могкно записать следующим образом: а=ах, Ь= ау, с=-аг. (2. 43) Объем элементарной ячейки равен а.Ь Хс = аз. Векторы примитивных трансляций обратной решетки находятся с помощью соотношений (2.28): ЬХа 2л" 2л" 2л" А=2л = — 'х, В= — 'у, С= — г. (2.44) а ЬХс а ' а ' а Таким образом, обратная решетка сама является простой кубической решеткой, но с постоянной решетки, равной 2л/а. Первая зона Бриллюэна будет ограничена плоскостями, перпендикулярными к следующим шести векторам: 1 л" 1 л- 1 л" ~ — А=~ — х, ~ — В=~ — у, ~ — С=~ — х. (2.45) 2 а ' 2 а ' 2 а 87 Этп шесть плоскостей являются гранямн куба с ребром 2л/а и объемом (2п/а)', этот куб и будет первой зоной Бриллюзна простой кубической кристаллической решетки.
Обратная решетка ОЦК решетки. Век~орами примитивных трансляций ОЦК решетки (они показаны на рис. 2.25) являются а'= —,а(х+ у — г), й'= — а( — х+ у+ ), (2 Аб) с'= —,а(х — у+а), где а — сторона обычного элементарного куба, х, у, г — ортогональные единичные векторы, параллельные ребрам куба. Объем примитивной элементарной ячейки равен )т = — ~ а' о';к', с'~ = л а'. (2. 47) Используя определение векторов примитивных трансляций А, В, С обратной решетки (2.28) и соотношения (2.46) и (2.47), получаем: А = — ' (х+у), В = — (у + а), С= — (х + а).
(2А8) Сравнивая с рис. 1.18, можно видеть, что эти векторы являются векторами примитивных трансляций ГИК решетки. Таким образом, ГЦК решетка является обратной для ОЦК решетки Если /ц й, 1 — целые числа, то произвольный вектор обратной решетки можно записать так: б = йА + /еВ + 1С = — '!(Л + 1) х + (й + Я) У + (й + 1) х).
(2.49) Кратчайшими отличнымн от нуля О-векторами обратной ре- шетки являются следующие двенадцать векторов; — (~- х~ У) (-+ У ~ х), — 'х (~ х ~х). (2.50) Знаки следует выбирать независимо для каждого вектора. В качестве примитивной ячейки обратной решетки можно выбрать параллелепипед с ребрами А, В, С, определяемыми соотношениями (2.48). Объем такой примитивной ячейки равен 1А В У( С) = 2(2п/а)з.
Примитивный параллелепипед содержит один узел обратной решетки, так как каждый из восьми узлов в его вершинах является общим для восьми соседних параллелепипедов, и, таким образом, на каждый параллелепипед приходится одна восьмая часть от каждого из восьми узлов. Однако в физике твердого тела принято выбирать примитивную ячейку вв Рнс.
2.2а Зоны Бриллшзна ГЦК решетки. Изображены ячейки в обратном пространстве. Винно, что обратнан решетка является объемнонентрированнов кубической решеткой. 1зис. 2.27 Примитивные базисные век- торы ГПК решетки обратной решетки в виде ячейки наименьшего объема, каждая грань которой проходит через середину соответствующего вектора О, имеющего минимальную длину, перпендикулярно к нему.
Каждая из этих (новых) ячеек содержит один узел решетки, который расположен в центре ячейки. Указанная ячейка представляет собой ячейку Вигнера — Зейтца для обратной решетки, и она является первой зоной Вриллюэна ОЦК р;щетки. Грани этой зоны перпендикулярны к двенадцати векторам, определяемым выражениями (2.50), и проходят через их середины. Зона имеет вид правильного двенадцатиграиника — ромбододеказдра (рис. 2.26).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
