Ч. Киттель - Введение в физику твёрдого тела (1127397), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Этот классический результат является хорошим приближением при высоких температурах. для квантовых осцилляторов (из) не равно нузно даже прн Т = О, вследствие нулевых колебаний. Мы продолжаем использовать модель независимого гармонического осциллятора для характеристики движения (колебання) атома: при температуре .абсолютного нуля это движение можно описать через нулевую энергию з/зйв. Это энергия трехмерного квантового гармонического осциллятора в его основном состоянии, отнесенная к величине классической эпергин того же осциллятора, находящегося в покое. Половина энергии осцнллятора есть потенциальная энергия, так что выражение (2.73) дает для средней потенциальной энергии в основном состоянии: ((/) = — МоР (и') = — Лв 2 4 (2.
75) (и') = Зл/2Ма, (2.76) откуда, используя (2.72), получаем при Т = 0: ЬО' /=/осхр~ ~у<~] (2.77) Если С = 10з см — ', ы = 10м сек — ' и М =!Π— тз г, то показатель экспоненты равен приблизительно 0,1, так что!//с ж 0,9. В этом случае при абсол!отном нуле 90% пучка испытывает упругое РассеЯние, а 10с/е — неУпРУгое РассеЯние. ЭнеРгиЯ, потеРЯннаЯ при неупругом рассеянии рентгеновского пучка, переходит к атому, который переходит при этом в возбужденное излучатель.ное состояние. Из выражения (2.74) и нз рис.
2.34 видно, что интенсивность дифракционной линии уменьшается (хотя и не очень резко) с Ростом температуры. На отражениях, соответствующих малым !О! й7 у о М х ч й й 3 ь й г ф Рис. 2.33, Температурная. ззвнсимасть интенсинности лвфракцнонвых максимумов (ЛОО) для алюминия. Отражения (в00) с нечетными значениями Ь запрецтеньь в ГЦК структуре [131, Я' ИО 150 100 уеду Л7Р ззтт 7 7' 102 значениям 6, это уменьшение менее заметно, чем на отражениях, которым соответствуют большие значения 6. Мы рассчитали интенсивность рассеянных пучков при когереитной дифракции или при упругом рассеянии по строго определенным, полученным из условий Брэгга направлениям. Потеря части интенсивности лучей, дифрагированных по этим направлениям, по мере увеличения температуры обусловливается до некоторой степени появлением диффузного фона и вызвана неупругим рассеянием фотонов, которое обсуждается в гл.
5. При не)пругом рассеянии кванта рентгеновского излучения создается или уничтожается квант колебаний решетки; при этом изменяется как направление, так и энергия падающего фотона. При данной температуре множитель Дебая — Уоллера дифракционной линни уменьшается с увеличением величины вектора обратной решетки 6, связанного с отражением, Чем больше ~6(, тем слабее будет отражение прп высоких температурах.
Температурная зависимость интенсивности отраженною излучения для отражений (000) в алюминии показана на рис. 2.35. Теория, разработанная нами здесь для описания отражения рентгеновских лучей, столь же применима для описания эффекта Мессбауэра (см. гл. 20 кнп~и (12]), который заключается в упругом испускании у-квантов (у-лучей) ядрамп. .атомов, находящихся в узлах кристаллической решетки. Теория также применима для случая рассеяния нейтронов. Рентгеновский луч также может быть поглощен в кристалле посредством неупругих процессов, связанных с фотоионизацией электронов атомов и с комптоновским рассеянием.
При фото- эффекте квант рентгеновского излучения поглощается и электрон покидает атом. Эффект Комптона заключается в рассеянии электроном кванта рентгеновского излучения (рентгеновского фотона): фотон теряет энергию и электрон покидает атом. Глубина проникновения рентгеновского пучка (см. (!4)) зависит ог природы твердого тела и от энергии рентгеновского фотона, но, как правило, составляет примерно 1 см.
Дифрагированный пучок при отражении Брэгга обычно будет образовываться на значительно меньшем расстоянии, возможно, на расстоянии от 10-' до 10 ' см в идеальном кристалле, РЕЗЮМЕ Эта весьма длинная глава имеет большое значение. Будет полезно перечислить основные положения, на которые мы опирались, устанавливая соотношения между кристаллической структурой и относительной интенсивностью максимумов дифракционной кар~ины, обусловленной этой структурой.
Предположим, что мы «угадали» структуру. Теперь мы хотим предсказать дифракционную картину, создаваемую предполагаемой структурой, и проверить ее соответствие реально наблюдаемой. Для этого в нашем распоряжении есть наблюдаемая картина, имеюгцая вид карты в пространстве обратной решетки, что дает нам возможность найти те величины Лй — = й' — й, для которых обнаруживаются дифрагированные пучки.
Первый шаг. Выберем тройку векторов трансляций а, Ь, с предполагаемой структуры, причем не обязательно, чтобы этн векторы были векторами примитивных трансляций. Исходя пз векторов а, Ь, с, образуем векторы А, В, С вЂ” основные векторы обратной решетки. Строим ее узлы: 6 = ЬА+ ЬВ+ 1С, где Ь, Ь, 1 — целые числа. Часть из ннх или все узлы должны совпасть с полученными на экспериментальной карте точками ЛЙ.
Если совпадаюШих точек нет, то, по всей вероятности, мы неверно выбрали векторы а, Ь, с. Можно подбирать а, Ь, с и, соответственно, А, В, С до тех пор, пока часть узлов 0 не совпадет с экспериментально наблюдаемыми точками Ля. Полученные векторы а, Ь, с будут определять кристаллическую решстку. Второй шаг. Теперь каждая точка Лй совпадает с каким- либо узлом б; однако если структурный фактор Я для этих значениИ С равен нулю, то эти узлы 6 не будут совпадать с наблюдаемыми точками Лй. Находим У для предполагаемого базиса нашей структуры с векторами а, Ь, с и смотрим, всегда 103 ли нулевое значение У соответствует узлу б, для которого нет дифрагированного луча.
Подбираем координаты атомов хь у;, х; в предполагаемом базисе до тех пор, пока нулевые значения .'Р' не совпадут с положением «отсутствующих» отражений. Соответствующие атомные координаты хь пь г, определяют базис, связанный с кристаллической решеткой. Третий шаг. Значения форм-фактора 1 для атомов и интересующие нас величины 6 можно найти в 1п1егпабопа1 1аЫез 1ог х-гау сгуз(а11опгарЬу, т. 111, стр. 201 — 227. Точные индексы, соответствующие нулевым значениям У, обычно можно найти, не уточняя выражений для 1.
Следует сравнить, хотя бы качественно, теоретически предсказанные и наблюдаемые значения относительных интенсивностей в дифрагированных пучках. Для того, чтобы произвести это сравнение, используем значение величины 1 прн расчете !ьр'(пй1) !'. Затем умножаем эту величину на температурный множитель Дебая — Уоллера (см. формулу (2.72)) и получаем в весьма приближенном виде ожидаемую относительную интенсивность. Уменьшение интенсивности дифракционной линии означает перераспределение исходного значения интенсивности между этой линией и появляющимися в ее окрестности протяженными ккрыльями» малой интенсивности, Еше раз повторим основные положения этой главы: 1.
Закон Брэгга можно сформулировать различными способами. Эти формулировки могут быть записаны так: 2й з!и 0 =- п~.; Ай = б; 2Й ° б = бз 2. Уравнения дифракции Лауэ имеют следующий вид: а АЙ= 2пй, Ь ° АЙ =2пй, с АЙ= 2п1. 3. Векторы примитивных трансляций обратной решетки равны Здесь а, Ь, с — векторы примитивных трансляций кристаллической решетки. 4. Вектор обратной решетки имеет вид б =ЬА+ 1гВ+ 1С, где 6, Й, 1 — целые числа или нули. 5. Амплитуда рассеяния в направлении Ай =й' — й= бь Ф = 9'о Х 1г ~„ехр ( — (р „б) ).
хтлр 104 6. Геометрический структурный фактор: й'а= — 2, [гехР( — !Р! б) =~„[гехР[ — 12п(хгй+Угй+г;1)), где индекс / изменяется от 1 до М, У вЂ” число атомов базиса и )т — атомный форм-фактор (2.65) )хго атома базиса. Выражение в правой части написано для отражения (Ая(), для которого б = АА + /гВ + (С. 7. Произвольная функция, которая инвариантна относительно операции решеточной трансляции, может быть разложена в ряд Фурье следующего вида; и(р) = ~.
п ехр ()б . р). а 8. Первая зона Брпллюэна является примитивной ячейкой Вигнера — Зейтца обратной решетки. Любая волна с волновым вектором й, проведенным из начала координат и заканчивающимся на поверхности зоны Бриллюэна, будет дифрагирована кристаллом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
