Ч. Киттель - Введение в физику твёрдого тела (1127397), страница 14
Текст из файла (страница 14)
жду крнстзллогрзфзмн н физиками-тзердотельщиками рззгорзюгси по этому вопросу ожесточенные споры, з один из ныдзющнхсн кристзллогрзфон даже скзззл, что Гиббс будет крутиться з могиле со зсе зозрзегзющей скоростью, пока фнзннн-тзердогельщнкн гзк глумятся нзд эзмечзгельным изобретением, кзконь:и является обратная решетка. (Рзсскзззно Эвальдом.) 78 В пространстве Фурье каждая точка имеет смысл, однако узлы обратной решетки, определяемые выражением (2.30), особенно существенны. Выражение для 6 (2.30) совпадает с выражением для Лм (2.26), так что если Л)т равен какому-либо вектору обратной решетки кт, то при этом удовлетворяются уравнения дифракции Лауэ.
Для того чтобы понять, какое значение имеют векторы тх, составим скалярное произведение: 6 ° рт„= (/гА + (еВ + (С) ° (та + пЬ+ рс) = = 2п (йггг+ кп+!р) = 2п ° (целое число). Отсюда следует, что ехр(г'6 ° р „,) = 1. Пример. Фурье-анализ период»»чеонг»к распределений. Концентра»гггго элок. траков в крнсталле н(р) можно вьгразить в виде ряда Фурье ') л(р)=~ и.е (2.31) к где р — радиус.вектор произвольной точки кристалла.
Докажем важную теорему: для нроизволыюй функции, обладающей в решетке трансляционной не. риодичностыо, толг.ко те величины К, появляющееся а соответствующем ряду Фурье, явля»ется векторами обратной решетки 6, которые определены соотно. шенком (230).
Запишем п(р+р...], где р„„, = та+ нЬ+ де — трансляция кристаллической решетки: и (р + ртнр) = ~ ик ехр (»К р] схр (1К рашн). (2.32) к Эта фйякция будет иметь»келаемжо трансляциоияжо периодичность и будет равна л(р), только если выполняется следугощсе усчовне К (те+ пЬ+ ре,' =.2л (целое шюло). (2.33) Последнее выраженно в точности совиадает с условием 0 р„„= 2л (цслас число), которое встречалось нам выше.
Таким образом, (2.31) можно ') Разложение в ряд Фйрье вещественной нериодической фуякцнн и(х) в одномерном случае обычна записывается следующяя образом. л (х) = С, + ~ (Ср соз рх + ал зги рх), э>о где все коэффициенты С и Я вЂ” действителг ные числа. Ряд и(х) =на+ 2л ллегл"= р ть Е = пь + 2 [нр (соз рх + г зги рх) + н (соз рх — ! 5»а рх)) р>а (2 3(б) Ср ггй (ия + и л) Яр Гн» гл Я (и и лр — — и (2.3! в) 79 можно привести к виду (2.31а), выбран соответствующим образом веществен- ную и мниыую части коэффициентов и, и л м которые являются комплекс- ными числами: и Рнс 2 17 переписать так: и (р) = ~ ап ехр ()О Р) с (2 34) где С =- ЬА+ ЬВ+ (С есть произвольный вектор обратной рсшетки. Величины 6, Ь, 1 являются целымн числами, как следуег из определения вектора О.
Набор величин пп полностью описывает распределение электронной плотности в кристалле, з таиже дифракпшо рентгеновских лучей. Для того чтобы продемонстрировать эту связь, подстаиим в (2.17) выражение (2.3Ч): 3(/и (р) схр ( — (р ° Лй) = ~ пп ~ АГ ехр ((6 ° р) ехр ( — (Лй ° р). (235) и Интеграл равен объему 1', если ЛЬ ранен вектору обратной решетки 6, и можно показать, что ннтеграл будет равняться пулю, если Лй не равен вектору обратной решетки. Соотношение (2.35) убеждает нзс в том, что величина ло является мерой величины амплитуды днфрагированчого луча.
На рис 237 и 2.18 приведен пример фурье-анзлвза периодического распределеяия в кристалле. На рис. 2.17 показана отдельная прямоугольная при. митивная ячейиа с осями а и Ь и базисом, состоящим из двух одинаковых атомов. Контурными лвннячн соединены места с одинаковой электронной концентрацией, На рис.
2.18 заштрихована ячейка обратной решетки. Около каждого узла обратной решетки приводится зяачение пп для коэффициентов Фурье распределения заряда, показанного на рис. 2.17, '>3 Ог бо >бб бз Рис. 2.18 Плотность вероятности можно выразить через ряд Фурье и (г) = = ~ лиехр (>С г), и где С вЂ” вектор ы обратной решетки На рисунке приводятся значения ! по ! 1О' и узлах обратной решетки, расположенных 2 > Особ ° ООЗ ог О Сг ° б Ос„ ° оаг г Л гг з ог ог ° оы сз ° гг ба ° гг ° оз Оаг Збб ° бб Зб ООЗ ! ! Зюа 2лто з з оз а.аз ° особ вблизи начала ! ! ! ! ! фурье - простран.
ства, для распре>о О бто 2О>о Зобо деления заряда, показанпого на рпс 2 17. В действительности существует бес:боне>кое число узлов ооратпой решетки Обратите нннманне па го, как быстро уменьшаются коэффициенты Фурье по мере уд"пения от С = О. Это характерное уменьшенве коэффицяентов затрудняет обнаружение дифрагированных рентгеновских лучей при больших значениях С Распрсдблепие заряда было взято в виде гауссова распределения дтя упрощенна вычислений.
Распределение вокруг атозза водорода пе является гауссовызг, а отличается от последнего множителем е ', где и — константа (У Тэапьр) Пример. Лорхмериоя оброгнол решетка. Россмотр>ги некоторую двухмсрну>о решетку (рис. 2.!9), ямсющую основные векторы и.= 2х, Ь = х+ 2д. Найдем основные векторы ооратной решетки. Для того чтобы при решении этой двухмерной задачи мы смогли воспользоваться нашими определениями для трехмерных решеток, предположим, что вектор с параллелен оси а; в этом случае плоскость, а которой будут лежать векторы обратной решетки А и В, совпадает с плоскостью, в которой располо>кены векторы а и Ь.
Положим с = х. Тогда еХи=хХ(2х)=2у; ЬХс=хХх+2уХх= — у+2х; а ЬХс=4. 7>ппппгппппчппппя Пешепгпп б>йпппгппя Ппптппгпп 81 Рнс. 2.19. Двухмерная обратная решетка Векторы А и В перпендикулярны к системам плоскостей (в проекции на плоскость чертежа — к ливиям) в кристаллической решетке, а именно: А и В перпендикулярны к системам плоскостей, которые проектируются на плоскость чертежа в виде линий, параллельных векторам Ь и а соответстиенно. Произвольный вектор, соединяюпшй узлы обратной решетки, перпендикулярен к некоторой плоскости в кристаллической решетке.
Подставив зги результаты в (2.2В), получим: ! А=ил — — яу, 8=яд, 2 что схематически изображено на рнс. 2.)9. Построение Эвальда. Име!отея два условия дифракцин: первое — условие для частоты, второе — условие для волнового вектора. Объединение этих двух условий приводит к наиболее удачному геометрическому выражению условия дифракцни. Обозначим через й и ш, соответственно, волновой вектор и частоту падаюшего луча, а через й' и ш' — аналогичные величины для рассеянного луча. Тогда: а) Рассеяние происходит упругим обоазом, так что энергия кванта рентгеновского излучения не меняется: ггш = ггоь (2.36) Л поскольку диспсрсионные соотношения для электромагнитных волн в вакууме имеют вид а' = с))' н ш = сй, то й' = й.
(2,37) б) Условие дифракцин есть Лй = 6, или, используя (2.14), это условие можно записать так: й'=й+ О. (2,38) В действительности (2.38) представляет собой правило о~бора для волнового вектора рассеянной волны '). ') Правило отбора й' = й+ 6 можно рассматривать как олпу из форм закона сохранения импульса в кристалле В свободноч пространстве нпп)лье фозоиа, имеющего энергию Лго, равен ага)с, цлн Лй Пусть плоская волна е'з'г в свободном пространстве модулнруется после входа в кристалл периодическим распределением электронного заряда илп локальпь|м показатс. лем преломления, так что в кристалле нюг аш г2 6 о где Со — константы, зависящие от распределения электронной плотности. Мы видим, что плоская волна в крнсталле по сравнению со свободным пространством будет содержать добавочные компоненты волнового вектора й + 6.
Зтн компоненты образ)чот двфрагпрованные волны. Отдельная днфрагированная волна ведет себя так, как если бы она была фотоном с импульсом Л(й+ 6). Условие сохранения общего импульса системы выполняется, если кристалл затем исвытывает отдачу с импульсом — а6, как показано на ркс. 2.20а, Отдача кристалла слишком мала, чтобы ее можно было обнаружить, хотя аналогичные процессы отдачи были зарегистрированы для атомов и для ядер. Скорость отдачи кристалла, имеющего массу ! г, для отражения с вектором обратной решетки длиной ! )О-з см равна о = а6/М ~ !О Ш см/сек Эта величина янляется слишком малой для того, чтобы быть зарегистриро- ванной.
Дглери иийф лдииигили и -р Оолио5о1 бенто~ л ииигииии,ииаииойигий Кихгимгиии хэиигии л аигйтиу Рис 220а И отражении, которое подчиняется условшо й' =й+ хг, кристаллический образец испытывает отдачу с импульсом — ЬС; импульс йй' — ЬО системы «образец+ фотон» после отражения равняется общему импульсу системы в началышм состоянии, прн котором кристалл находится в покое. Импйльс падающего фотона равен йй, где й = азгс Возведем обе части соотношения (2.38) в квадрат и получим: и' = (ге+ 6)'= нз+ 2)е 6+ 6', (2. 39) нли, поскольку с учетом (2.37) й" = й', ( 2н ° 6+ 6'= О.
(2.40) Мы постоянно будем встречаться с соотношением (2.40) при рассмотрении процессов распространения волн в периодических решетках. Можно видеть, что соотношение (2.40) эквивалентно а о о о о о о о о о о о о о о о о а о о о о о о о о а о о о о о о о о а о о о Рис 2.20б. Точки в правой части рнсунна — это узлы обратной решетки кристалла Направление вектора й совпадает с направлением падающего на кристалл рентгеновского луча. Вектор й заканчивается на произнольиом узле обратной решетки. На рисунке показана сфера радиуса А=йп/Л с центром в начале вектора й. Дифрагггрованный луч образуется, если эта сфера пересечет какой-нибудь другой узел обратной решетки. Сфера, показанная на рисунке, пересекает узел, связанный с концом вектора й вектором обратной решетки б Днфрагированный луч распространяется в направлении вектора й' = й + 6 Это построение называется построением Эвальда.
83 закону Брэгга 2й гйп 0 = и), и по этой причине принято ссылаться на него как на закон Брэгга, Здесь мы не доказываем эквивалентность этих двух соотношений, и в дальнейшем мы всегда будем пользоваться условием дифракции в форме соотношения (2.40). Это соотношение используется в дальнейшем изложении прн построении зон Бриллюэна, В фурье-пространстве правила отбора, выражаемые соотношениями (2.37) и (2.33), имеют геометрическую интерпретацию, иллюстрируемую рисунком 2.20б. Заметим, что длина вектора й' будет равна длине вектора й, если й' ограничен где-нибудь па сферической поверхности радиусом й.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
