Ч. Киттель - Введение в физику твёрдого тела (1127397), страница 10
Текст из файла (страница 10)
д) Железо при температурах вплоть до 910'С имеет объемноцентрированную кубическук> структуру, в интервале температур от 910 'С до 1400'С вЂ” грансцентрированную кубическую и при температурах выше 1400 'С вЂ” опять объемноцентрированную кубическую структуру. РЕЗЮМЕ 1. Кристаллической решеткой называется совокупность точек !узлов решетки), связанных между собой векторами трансляций Т = п,а+ п,Ь+ п.с, где иь пм а,— целые числа, а, Ь, с — векторы примитивных трансляций, выбранные в качестве ортов кристаллографических осей координат. 2. Для образования кристаллической структуры с каждой точкой решетки связывается одинаковый базис, состоящий из атомов, имеющих координаты г = х>а+ у;Ь+ агс, 1= 1, 2, ..., >У. Значения х, у, а можно подобрать таким образом, чтобы они лежали в интервале от 0 до !.
56 3. Векторы примитивных трансляций а, Ь, с образуют ячейку минимального объема )7, = (а Ь )(с~. При помощи этой ячейки, векторов трансляций Т и базиса, связанного с каждой точкой решетки, можно образовать кристаллическую структуру, 4. Иногда бывает удобнее (особенно для кубических кристаллов) описывать кристаллическую структуру госредством ячейки, которая обычно выбирается таким образом, что ее объем кратен объему примитивной ячейки. б. Положения плоскостей и направлений в кристалле обозначаются с помощью индексов Миллера )1И, которые заключаются в круглые скобки для плоскостей и в квадратные — для направлений.
6. Практически важными и довольно простыми структурами являются объемноцентрнрованная кубическая, гранецснтри)'о. ванная кубическая, гсксагональпая структура с плотной упаковкой, структура алмаза, структуры типа 7)аС! и С30, кубическая и гексагональная модификации кристалла Епй. ЗАДАЧ И 1.1.
Структура алмаза. а) Сколько атомов содержится и прнмитннпой ячейке алмаза? б) Каконз длина (а й) вектора примитивной трансляпшы а) Доказагь, что утал меи ду тетраздрнческими снязямп н алмазе ранен 109' 28'. Указание: На рис, 1.16 это угол между объемными дна~оналяын куба. г) Сколько атомов содержится н гранецентрирозанпой кубической элементарной нчейке) 1.2. Ось симметрии пятого порядка. Кристаллическая решетка пе мозкет иметь поворотную ось симметрии пятого порядка. Доказать ч:о у~нерзгдгзнс. рассматриная некоторый вектор а, соотиетстаующнй нзнмеяыпей не раиной нулю трансляции решетки; показать, что вектор а" + а' бугет по нелнч,ше меньше, чем а, если а" и а' — векторы, полученные из а поворотами на угол ~2тгбг 1.3.
Перпендикуляр к плосности. Доказать, что и кубическом кристалле направление [ди) перпенликулярно к плоскости (ли), ниеющей те же индексы Миллера, 1.4. Коэффициент упаковки. Показать, что относительная доля объема, занимаемого тиердымн шарами, моделирующими атомы, при образозаннн перечисленных ниже структур имеет следующие значения: для простой кубической 0,52, для объеииоцентрирозанной кубической 0,68, для гргшецентрированной кубической 0,74.
1.5. Гексагональная структура с плотной упаковкой. а) Показать, что отношение с(а для идеальной гексагональнои струкзуры с плотной упаконкон равно (8/3)'" == 1,633. Если с(а значительно больше этого значения, то кристаллическую структуру можно рассматринагь как состоящу|о из плотиоупа кованных атомных плоскостей, уложечных одна иа другую доиол'но рыхло. неплотно.
б) Показать, что пе может существовать простпанственная решетка с гексагональной плотной )паковкой с базисом, состоящим из одного атома па одну точку реп«егин. Указание: Показать, что нельзя найти такие веиторы решетки а, Ь, с, чтобы набор векторов трансляпнй Т !сгя. (1.2)] образовав бы решетку с гексагональной плотной упаковкой.
Хогя можно выбрать векторы и и Ь, которыо образуют гексагоцальп)ю сетну в базисной плоскости, однако построить пространственную решетку с гексагопальной плотной упаковкой прц поиошп вектора с неш зя 1.0. Кристаллические структуры. Описать кристаллические структуры гексагонального 7пО п Х(йз. Определит~ использ)емую кристаллическую решетку и базис. 1.7. Подрешегки. Показать, что обьелшоцентрпрованнатг кубическая решетка може~ быть разделена па две просгыс к)бическпе решетк ~ А и В так, что ни одна пара ближайших соседей исходной решетки не окагкетси н решетке А (и соответственно в решетке В).
Показан также, что для соблюдения этого условия простая кубическая решен<а должна раздели гься иа две гранецентрированные решетки, а гранецентриропаняая, в свою очередь, — па четыре прос~ые кубические решетки Рассмотрение этого вопроса представляет интерес лля теории антиферрохгагнетизма (гл 16). 1.8, Плотнейшая упаковка волокон. Найти плотноупакованпое расположение идентичных бесконечных прямых волокон в круглом поперечном сечении. Определить коэффициент )паковкп для этой системы 1.9. Оси симметрии гретьего порядка и кубические нрисгвллы.
Показать, что кристалл, имеюшик четыре оси третьето порядкз, образ)тощие попарно четырехгранные углы (см задач) 1.1) есть кристалл с кубической решеткон. (Наличие четырех осей третьего порядка является ьгингтмальиым требовавшем к симметрии кубического кристалла ) 1.10. Структура хлористого цезия. Выбрать за исходный нон Сз+ в позиции 000 в простой кубпческон примитивной ячейке. в) Определять шсло блиткайшпх к исходному иону соседних попов (ионы С1-), алтея число попов, след)пошил за ближайшими (поны Сз'), и, наконец, число попов след)поп!его, трет~его «слояэ (ионы Сз').
Указание. Порядок в расположения соседних атомов нагляднее всего выявляется в плоскости [11О). В этой плоское~и находятся трн главные направления, которые имеет куб; ребро куба, диагональ грани и объемная диагоначь б) Определить координаты х, р, з всех этих ионов относгыельпо исходного почв Сз' с координатами 000. Г л а в а 2. ДИФРАКЦИЯ В КРИСТАЛЛАХ И ОБРАТНАЯ РЕШЕТКА 81 90 9(з (зч 103 105 771 «Дорогой !1пколзй Алексапдронпч, Вы заканчиваете свое письмо словами, что человек никогда не )видит атома.
Во Вы написали это как раз приблизительно в то же самое время, когда человек уже увидел атомы собствеииы ми глазами; если и не саин атомы, то фото. графическое изображение, пызнаниое имн... Для нас, крпсталлографов, это открып(е имеет чрезвычанное значение ,,» Б »сдавав, 2 октября 1212 г. (В»,дсржкв пз письма 11. л. морозову 111) Непосредственное микроскопическое изображение структуры кристалла удается получить лишь в редких случаях, Электрон. ный микроскоп с разрешающей способностью 2 А может разрешить выступающие плоскости слоист(лх кристаллов, таких, например, как кристалл графита, но разрешение электронного микроскопа не позволяет в настоящее время осуществлять прямое определение неизвестных кристаллических структур. 1[епосредственное изображение ') расположения атомов на ') Обзор методов эмиссионной (автоэлектропной) микроскопии дан и рз- Г>оте Гуда и Мюллера [2]; см.
также [2а]. Едипвчные атомы элемента с большим атомным несом, нанесенного на углеродную подпол(ку, наблюдалась Крю и др. на сканиру(ошем электронном микроскопе с высоким разрешением [3]; используемая в работе [3] электронно-оптическая система фок)снрует электроны в пятно диаметром приблизительно 5 А. 59 нспозюоввнис нздучспиа зрвк типов (еп. Зз>.он Брэггв (621. Экспериментальные днфракпионные методы.....,...,... „5> 'погод Лвуэ (Ш>.
Мвгоз врвщскня криствдзв (671. Мзгот порошка уи Вывод уравневия Лауэ для амплитуды рассеянной волны......, 72 Рвссвянвс решеткой гочочныч атомов (72>, условия пнй>рвкцнп (761. Обратная решетка 77 Посгроснвс Зввзьлв (62. Зоны Врнллюэна Структурный фактор базиса . Атозвный фактор рассеяния, или форм-фактор Температуриаи зависимость линий отражения Резюме . Задачи Литература . Прн.>олгенме, огнослщеесл и данной в.>паз: А. Распространение электромагнитных волн в периодической структуре 717 Рнс д Фотографня волвфраа1оного острая ралнусон яв 450 Гс, полученная на нопнон проекторе (3.
)тно.тлер ) поверхности вольфрамового острия показано на рис. Л, а непосредственное изображение расположения агомных плоскостей в кристалле, полученное с помощью электронного микроскопа,— на рпс. В. Однако обычно для исследования структуры кристаллов используют дпфракцию волн, которые взаимодействуют с атомами; длины этих волн сравнимы с межатомными расстояния- бо Рис Н Электронно-иикроскоин ческая фотография атомных плоскостей кристалла Л1еОз. 4ЯОе. НеО.
Увеличение 3200000. ми в кристаллах (!О ' см). Излучения с большей длиной волны не могут выявить деталей структуры на атомном уровне, а более коротковолновое излучение дифрагирует, отклоняясь лишь на очень малые углы, что весьма неудобно. Приведенная выше выдержка из письма Е. Федорова относится как раз ко времени первых опьпов по наблюдению дифракции рснтгсновских лучей в кристаллах. Цель настоящей главы состоит в том, чтобы показать, как с помощью дифракцни волн в кристалле можно определить размер элементарной ячейки, положения ядер и распределение электронов внутри ячейки.
Использование излучений трех типов. Мь1 исследуем структуру кристалла, используя дифракцию фотонов, нейтронов и, реже, электронов. Угол, на который отклоняется дифрагированная волна, зависит главным об1тазом от кристаллической струк. туры и от длины полны падающего излучения. Рентгеновские лучи. Энергию кванта рентгеновского излучения можно определить по его длине волны Х, пользуясь формулой е = Ьм = йс/Х, где й = 6,62 1О ат эрг сек = 6,62 1Π— ~т Дж ° сек— постоянная Планка. В более удобных единицах измерения Х1Л) = (2. 1) ю 4) (0 с~ 00 00 '1 1'ис 2.1. Зависимость диииы волны от эисргии частииы дли фотонов, исятроиов и элситроиов 0 Г0 йндпгип фопгенп, нг0 Энепгнн нее>плене, 00тг0 3не~гип зпектрене, 100г0 62 где А — длина волны в аигстремах (1 А = 1О-' см), а е — энергия в килоэлектрон-вольтах (1 эВ = 1,60 10 'э эрг = 1,60 Х Х 10 'э Дж).
Для исследования кристаллов требуется рентгеновское излучение с энергией квантов от 10 до 50 кэВ (см, рис. 2. !). Такое излучение можно получить как за счет торможения быстрых электронов в металлических мишенях (тормознос излучение), так н нри неупругом пх столкновении с внутренними электропамп атомов мишени (характеристическое излучение). Тормозное излучение имеет широкий непрерывный спектр, ха. рактеристическое — липейчатый спектр с узкими линиями.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
