Ч. Киттель - Введение в физику твёрдого тела (1127397), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Важные следствия имеет присутствие плоскости зеркального отраженна т, Векторы примитивных трансляций а и Ь мы выразим через единичные векторы х и у осей х и у нашей координатной системы: а = а,х+ агу, Ь = Ь,х+ Ь„у. (1 Л( Если векторы а и Ь зеркально отразить относительно оси х, то в результате получим новые векторы а' и Ь': а' = а,х — а, у, Ь' = Ь,х — Ьку. (1.5) ') Мы нигде не нашли определение решетки Бране: «Решеткой Брвве является...»; вместо этого гопорят; «Это решетка Бране».
Мы считаем, что ис"ользование выражения «оснонной тнп решетки» предпочтительнее. 31 Рис. 1,19 Основные двухмерные решетка. а) Квадратная; | а | = | Ь|, ф =90 . б) Гек се тональная; | а | = | Ь |, ф = 120', в) Прямоугольная; | а | Ф ) Ь |, ф = 90', г) Цептрвровзнная прямоугольная; покззапы оси как для примитивной, так и для прямоугольной элеи нтврпой ячейки, для которой | а)~)Ь |, ф = 90'.
Если решетка инвариантна относнтельно отражения, то а' и Ь' также должны быть векторами решетки, т. с. они должны яв- ляться выражениями типа п)а+ пйЬ, где а) и пх — целые числа. Если мы имеем а=ах, Ь=Ьу, (1.б) то а' = а и Ь' = — Ь, так что решетка повторяет себ)я. Решетка, определяемая соотношением (1.6), является прямоугольной (рпс.
1.13, в). Втору)о возможность дает другой тип решетки, инвариаптной по отношению к отражению. Замстим, что вектор Ь' будет являться вектором решетки, если Ь'=а — Ь. (1.7) Затем, пользуясь (1.5), можно записать: Ь'=а — Ь =Ь,, Ь,'=а„— Ь„= — Ь. (18) Решением этой системы будет а, = О, Ь, = а,)12. Таким образом, в ка)сотне векторов примитивных трансляций для решет)гв с отражательной симметрией могут быть выбраны а = их Ь = '/йах + Ьоу (1. 9) ГАНЛИЦА Пять двухмерных решеток Праве точечная группа сянметрая элел1ептарная ячейка решетка Параллелограмм; анвЬ, ф~90' Квадрат; о = Ь, ф= 90' 60'-ный роип; а = Ь, тр = 120' Прямоугольник; нФЬ, 1р = 90" ПряМОуГОЛЬНИК; ИчВЬ, ту =90' Косоуго.чьгян Квадратной Гексагоналытаи Примлтинная прямоугольиан Пентрпрованнаяпрямоугольная 2 йтн 6тт 2тт 2тн1 ойааначеняе тят укааыпает яа палите даух плоскостей аеркальяо«о отраыепнн (н проекция — прямых ляннйь 32 Зтот случай отвечает цснтрированиой прямоугольной решетке ((д.:.
1.1З, е). 11)ак, мы получили все двухмерные решетки Браве, обладающие симметрией, вытекающей из применения операций симметрии точечных групп к точкам решетки, Описанные пять вариантов систематизированы в табл. 1.1. Указанная в таблице точечная группа симметрии является точечной группой симметрии решетки. Реальная кристаллическая структура может иметь симметрию ниже, чем симметрия решетки. Таким образом, критталл с квадратной Решеткой л)ожет иметь операцшо симметрии 4, а не 4шт Кууочетая гя Кубимтная l КуУичиюноя Р гелрогючюльнля Р Телграеюнальнач Т Рюмричеенюя Р Рюноечееная У Ромгбчееная Т Рюнричееноя Е ггонанлинная Р Мююнлинноч У Тринлиннал Трагюлальная у Тригюнальная и генюогональная Р Рис.
!.!4. ь!етырнадцать пространственнык решеток Браве. Показаны обычгав используемые ячейки, которые не всегда являются примитивными. Р— символ примитивной ячейка 1 — объемноцентрированной, у — гранецентрированпой, С вЂ” с центрированными основаниями, !т — ромбоэдрической. Трехмерные кристаллические решетки.
Существуют пять типов двухмерных решеток, а трехмерных пространственных решеток будет улке четырнадцать. Пространственные решетки Браве показаны на рис. 1.14 н перечислены в табл. 1.2. Четырнадцать решеток Браве обычно подоазделяются на семь систем, в соответствии с семью различными типами элементарных ячеек: триклннной, моноклннной, ромбической, 2 Ч, Кятчель 33 Крветвллогрвфч чееквв системе цвело ячеек в еостене Свнвол вчеакн Хврвктервствкн ввечентврвов вчеы,в Т9кклиш ап Моиоклппная Роийическан Тетрагональпан Куоичсскап Трпгональнап Гексагональпан и а — хаРй, у счев~с; а == у = 99= Ф.й и .=,ь о нв г: а = — 9 = — у = 99' п=рыс; а=-й=.=у=99 р=,-,,= 9=у=во а == а =- г; а =- Р = у < !2И', , 90' п9 Ь г; о=й=9г', у==-!2П' Р Р, П Р,С,СР Р,! Р,1,Р тетрагональной, кубической, тригональной и гексагональной.
Каждая из систем характеризуется своим соотношением осей а, Ь, с и углов а, (1, у, определяемых так, как показано на рис.!.15. Элементарные ячейки, иока.таииыс иа рис. 1.14, ие все являются примитивнымп. В ряде случаев пепрнмнтивная ячейка теснее связана с элементами симметрии данной точечной группы, чем примитивная. Ниже рассматривается подразделение решеток Браве иа системы.
1. В тринлинной системс единственная пространственная решетка имеет примитивную (Р) элементарную ячейку, в которой все трп оси имеют разную длину, а все углы ис равны между собой. 2. В лпоноклинной системе имеются две пространственные решетки: одна имеет примитивную элемептарну(о ячейку, другая (С) имеет элементарную ячейку с центрированиыми основаниями (не примитивную); у нее точки решетки расположены в центрах гпаией ячейки, нормальных к оси с. 3, В ров!бичевкой системе имеется четыре пространственные решетки: тип Р имеет примитивную ячейку, тип С' — ячейку с центрированными основаниями, тип ) — объемноцентрированную (обозначение / для этого типа произошло от немецкого слова !ппепкеп(Пег(е, т. е., оуквально, «впутрицентрированная») и, наконец, тип Р— гранецентрпрованную, Рпс 1,! 5. Криста!(лограйчи пескин оси а,а,с 34 тАвл!!нА !д Элементарные ячейки четырнадцати пространственных регистан Бране тдплицд зз Характеристики кубических решеток ткп решетки просгав «убигсска» ОЦК ГЦК аа аз дз Объем э.теыснтвриой нчеикн Число точек решетки на одну ячейку Объем принитиипой ячейки Число точек решетки па еднпииу объема Число ближайших соседей Расстояние между ближййшичи соселяын 4 д з/4 2 а',г2 дз 1/дз 6 2/а' 8 — а = 0,666а ъ/У 'з 4/из 12 = = Оий7а ~У т!нсло соседей, еледу~огггих эа бли- жайшими Расстояние до соседей, следующих ва блпжашпимн !2 4.
В уетрагондльной системе простейшей ячейкой будет правильная призма с квадратом в основании. Эта ячейка примитивная, и поэтому решетка называется тетрагональной типа Р. Вторая тетрагональная ячейка, типа /, объемноцентрированная. 5. В кубической системе возможны трп решетки; простая кубическая (Р) с примитивной ячейкой, объемиоцентрпровапиая (/) кубическая решетка (ОЦК) и гранецентрнровапная (Р) кубическая решетка (ГЦК). Характеристики трех кубических решеток приведены в табл. 1.3. Примитивная ячейка объемноцентрнрованной кубической решетки показана на рис. !.16, а векторы примитивных трансляций этой решетки — па рис.
1.17. Векторы прдмитивньо трансляций грацецентрированной кубической решетки показаны на рис. !.18. На примитивную элементарную ячейку приходится один узел решетки, а элемевтарные ячейки ОЦК и ГЦК решеток содержат соответственно два и четыре узла. 6. В тригональной системе в качестве элементарной ячейки обычно выбирают ромбоэдр. Решетка является примитивной, но обозначают ее обычно буквой гг, а не Р, и соответственно называют ее тригональной пространственной решеткой типа /7, 7. В гексдгондльной системе элементарную ячейку удобно выбрать в виде прямой призмы, в основании которой лежи~ 35 таб пшы, со терм пике свс сенна о 'ншлс соседей и расстоянн за чежду нпчн для структур простой кубвзеской, ОПК, ГПК, гексагона.гапотг с плотяпа упаковкой и заказа, даны в кинге Гнршфсл»деря, Кертиса и Герда Пй!. Илпа айшпно соседячп нвзыяаштся узлы решетки, ближайшие к данному.
! 1 ! ! ! 'г Рпс. 1.!7. Примитивные векторы тран- сляций объемноцентрированной куби- ческой решетки; эти векторы связы- вают между собой точку решетки в начале координат с точками решетки, асположенными в центрах кубов. 1ри достраивании получается ромбо- эдрнческвя прямитивная ячейка. Век- торы прнмитинпых трансляций следу- ющям образом можно выразить через длину реора «уба а: а' = '/за (х + у — х), Ь' = '/,а ( — х+ у+ и), с' = '/,а (х — у + х). Векторы примитивных трансляций образуют углы !09'28' Рис 1.16. Прнмнтпвпая ромбовдрическая ячейка, построенная на базе объемноцентрврованной кубической решезки, имеющая ребро (Х/3/2) а н угол между смежнымя ребрамн 109'28' Рнс.
1,!8 Примитивная роибоздричесная ячейка, построенная на базе гранецентрированной кубической кристаллической решетки. Векторы примитивных трансляций а', Ь', с' связывают между собой точку решетки в начале координат с точками решетки, расположенпыыи в центрах граней куба. Из чертежа видно, что а' = '/за ( х + у ) Ь = ~/за(у+ х), с'='/та(х+ х) Углы з1е>кду а', Ь' н с' равны 60'. Рис. 1.19.
Сопоставление примитивной ячейки гексагональной системы (утолщенные линии) и гексагональной призмы. Здесь а = Ь~с. ромб с углом 60'. Решетка — примитивная. Для того чтобы подчеркнуть принадлежность данной элементарной ячейки к гсксагональной системе, часто добавляют к ней еще две ячейки, повернутые относительно друг друга на 120', получая таким образом утроенную «ячейку» в форме гексагональной призмы (рис. 1.19). ПОЛОЖЕНИЕ И ОРИЕНТАНИЯ ПЛОСКОСТЕЙ В КРИСТАЛЛАХ Положенае и ориентация плоскости кристалла определяются заданием координат трех атомов, лежащих в этой плоскости. Если каждый из трех атомов находится на одной из трех кристаллографических координатных осей, то поло>кение данной плоскости может быть задано соответствующими коордпнатамп атомов по осям в единицах постоянных решетки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
