Ч. Киттель - Введение в физику твёрдого тела (1127397), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Первыми кристин:щческими структурами, определенными У. Л. Брэггом в 1913 г. с помощью рентгеновского днфракционного анализа, были структуры кристаллов КС!, хаС), КВг и К! [1О]. ПЕРИОДИ41ЕЕКИЕ АТОМНЫЕ РЯДЫ Для описания кристаллических структур был создан специальный символический язык. Человеку, изучившему' этот крнсталлографичсский язык, легко восстановить структуру коисталла по нескольким символам. Здесь будет изложен ряд простых идей, положенных в основу создания этого языка. Этих идей будет достаточно для геометрического описания простых кристаллических структур. Идеальный кристалл можно построить путем бесконечного закономерного повторения в пространстве одинаковых структурных единиц.
В наиболее простых кристаллах, например в кристаллах меди, серебра, золота, кристаллах щелочных металлов, структурная единица состоит из одного атома. В кристаллах более сложных веществ структурная единица может содержать несколько атомов или молекул. В кристаллах некоторых неорганических веществ структурная единица может содержать до 100 атомов или молекул'), а в белковых кристаллах это чясло может достигать 104. Кристалл может состоять из атомов нескольких химических элементов (напримср, кристалл )х)аС!) или содержать связан- ') Этот доклад, а также еще несколько статей, написанных коллеганн Лауэ, напечатаны !с ннтереснымн анпотапнямн) и !7); осопын интерес представляют выдержки пз знаменательной лекшш Дауз прн вручения ему Нобелевской премии.
Тому, кто хочет ознакомиться с началыым этапом изучения днфракпии рснтгеновских лучей в кристаллах, можно порекомендовать сборник, посвященный пятидесятилеппо рентгеноструктурного аналпза [8]. Оправдавшиеся впоследствии предположения о структуре некоторых кристаллов были нысказаны Барану намного раньше открытия днфракпии рентгеновских лучей [9); он сделал их нз соображений симметрии и коннеппин упаковки, ') Интерметаллическое соединение )ЧаСдз имеет кубическую ячейку, содержащую !192 атома; зта ячейка является наименьшей структурной еднни пей соедвиения; см.
[11). ные группы одинаковых атомов (например, кристалл Н,). Кристаллическую структуру будем описывать с помощью периодически повторяющейся в пространстве элементарной части кристаллической решетки, называемой элементарной ячейкой (имеющей форму параллелепипеда и поэтому называемой иногда элементарным параллелепипедом), с каждой точкой которой связана некоторая группа атомов. Эта группа атомов называется базисом; базис повторяется в пространстве и образует кристаллическую структуру, Рассмотрим эти определения более подробно. Трансляции и кристаллические решетки.
Определим идеальный кристалл как тело, состояп1ее из атомов, расположенных в пространственной решетке так, что можно ввести три вектора основных трансляции а, Ь, с, облатаюггшх след)чошим свойством. При рассмотрении з1ой атомной решетки из произвольной точки г решетка имеет тот же вид, что н при рассмотрении пз точки и': г =- г'+ а~а + пяЬ+ пзс, (1.1) где пь пз, пз — произвольные целые числа (рнс.
1.4), Основные векторы трансляций иногда обозначаются ап аз, аз. Совокупность точек г', определяемая соотношением (1.1) при различных значениях чисел пп пз, пз, определяет кристаллическую решетку, представляющую собой регулярное периодическое расположение точек в пространстве ') . Кристаллическая решетка является математической абстракцией: кристаллическая структура образуется лишь тогда, когда с каждой точкой решетки связан (одинаковым образом) базис. Таким образом, логично записать, что решетки + базис = кристаллзгиеская структура. Кристаллическая решетка называется примитивной, а векторы а, Ь, с — векторами при,нитивньзх трансляций, если дне любые точки и и и', при наблюдении нз которых атомное расположение имеет одинаковый вндз), всегда удовлетворяют соотношению (1.!) при соответствующем выборе целых чисел пь пз, пз.
Векторы примитивных трансляций мы будем часто выбирать в качестве ортов кристаллографических осей координат, хотя '1 Мы используем слова «рещетка» и «точин решетки» как равнозаачащис Бране отмечал, что точки решетки являются корнями уравнения »!и' (лй/о) + мп' (нту'ь) + з1п' (пг(с) = О, где $, П, ь — коорДинаты в трехмерной системе координат, которая в общем случае является косоучольной. Единичные векторы этой координатной системы обозначаются и, Ь, с. з) Это определение, возможно, звучит довольно грубо, но оно тем не менее утверждает, что не существует ячейки меньшего размера, которая могла бы служить структурным элементом для кристаллической структуры. 21 !'пм 1тк '!ость кристалла (в двухмерном изображении), построю!пото г,з гппотец:и-ск,гх белковых мо геку,!. (гбы выбралп белкову,о мгглекулу погому, что зтп м 1лгкула, веро гг о„пе нмеег свое! собствс и ой спмчггрнп.) Атомное рвсцологгегпс в к)псов:гле имею олинаковып внд как при рзссмшренпп из точк|! г, тзк н прп росс !огре~ нн из точкч г.
Ноэгому век! ор Т, гвяэывшощ",) г' и г, можно вырззнть кзк (целое) яра!поз векторов и п Ь Нцгрггчгер, на э! ам ! !!оникс Т =- — о ле ЗЬ Влыоры а и Ь являются векторачн прпчнг гссьгх трансляш!п двухмср!.ой рсшетк !. парплу с этим Оудут Использоваться и друп)с (нс прпмг)тцвггь)с) трой и! векторов, когда онн более удобны ц пользоваться имп пр шс. Векторы а, Ь, с, выоранныс в кч )ествс Ортов крпсталлогра!',:Пчсскпх осей, образуют твп сыск.них ) гла элементарного ппраллелспнпс.(а. Если точки решетки находятся только г, углах параллглсгипела, то такой цара.
лелспипел пазывчегся прииптпвпым Операцию перемещения црпсталла как целого параллельно самому себе, оппсывасмую всктором Т=па+ пзЬ+по =ца,, +азиз+и а, (!.2) б л;ел цазыват!. Транслчцасй. Вектор трапсляцш! крпсталлпческой решсткн связывает любыс две точки решетки. Набор операций симметрии. !!рц опнсангш структуры конкретного кристалла необходимо: опрсделгггь кристаллическую решетку '), определенным образом выорать кристаллографнчсскце осп координат, иайтп оазпс н набор операцнй спгмметрнн, с помощью которого осуществляется перенос кристаллической структуры параллельно самой себе.
') Лля данной кристаллической структуры всегда можно выбрать несколько кристаллических решеток, а для данной решен!и — несколько кристаллографнческих систем координат. Ь(ы не можем определить базис, пока це выбраны решетка и система координат, которой мы хотим пользоваться. Однако какой бы системой координат мы ни пользовались. резулыат будет один н тот же (напрвмер, одной и той же будет симметрия картины рентгеновской дифракции), так как в конечном счете все определяется пранильно вы ора ни ы и базисом. К операциям 1или преобразованиям) симметрии относятся трансляционные преобразования, определяемые соотношением (1.2). Имеются, кроме того, операции вращения и отражения, называемые точечными операциями симметрии. Операции вращения и отражения можно применить в районе произвольных точек решетки или особых точек внутри элементарного параллелепипеда, в результате чего кристаллическая структура «перейдет сама в себя».
Точечные операции симметрии являются дополнением к трансляционным опсрациям. Возможны еще и другие, сложные симметричные преобразования, которые состоят пз комбинации операций трансляции и точечных операций. Предназначением кристаллографического языка является главным образом краткое описание операций симметрии. На рпс.
1.4 показана кристаллическая структура, имеющая только трвнсляционные преобразования, нс считая точе гной операции вращения на 360'. Структура, изображенная на рис, 1.5, обладает как трансляционными, так и точечными операциями симметрии. Векторами примитивных трансляций являются векторы а и й Прн повороте структуры на 180' вокруг любоп точки, обозначенной па рисунке крестом, она совмсстптся сама с собой.
То же будет наблюдаться и при погороте вокр) г аналогичных точек в других ячейках, хотя крестом помечены точки только внутри одной ячейки. Базпс и кристаллическая структура. С каждой точкой решетки мы связываем некоторую группу атомов (нлп одпп атом) — базис, причем все группы идентичны по составу, расположению и ориентации. На рис. 1.6 показано образование кристаллической структуры путем присоединения базиса к каждой точке решетки.
В структурах, цзооражснных на рпс, 1 А и 1 з, решетка обозначсна точками. На рпс. 1.6, и точек решсткп уже ~~х х Рис. 1.5. Рисунок, подобный предыдущему, но с белковыми лголекуламп, скомпонованными попарно. Векторами трансляции являются векторы а и Ь. При повороте на угол и вокруг любой точки, обозначенной крестом, кристалл будет совмещатьсн сам с собой. йз. е) Ороспранаа5енная ренелтле Лу 6озип п0ержптеий Ип люли иные ажт не видно. В кристаллах многих металлов и инертных газов базис состоит из одного атома, но известны неорганические и биохимические структуры, базис которых содержит тысячу и более атомов.
Описание кристаллической структуры с помощью решетки и базиса полезно использовать и рентгеноструктурных или нсйтрон-дифракционных исследованиях, о чем говорится ниже в гл. 2. Базис, состоящий из Л! атомов или ионов, определяется набором М векторов г) —— х(а + у;Ь + г,с, которые определяют местоположения пентров атомов базиса относительно точки решетки, с которой связан базис. Лтомы, составляющие базис, обычно располагают относительно данной точки решетки таким образом, что О ~ хн уп г( = 1. Примитивные ячейки. Параллелепипед, изображенный на рис. 1.7б и имеющий в качестве ребер векторы а, Ь и с, называется примитивной ячейкой.
Примитивная ячейка является частным случаем элементарной ячейки. Посредством соответствующих операций трансляций с помощью элементарной ячейки можно заполнить все пространство кристаллической структуры. Примигивнач ячейка является ячейкой с лгинимальныи 24 о О О () Су О Рис.!.6 Образонанне кристаллической структуры путем присоединения оазиса (б) к каждой точке решетки (о). На рис (в) нидсз базис, но точек регнетки уи:е не пиано Однако попрос о том, ка. ким способом базис располагае~ся огчосптелнпо точки реп~етки, несу~пе- стпен е Ф в а а "и нг Ф Рис. !.7а.
Точки двухмернои кристаллической решетки. Все изображенные на рисунке пары векторов а и Ь являются векторами траасляцнл решетки. Однако векторы а, н Ь, не являются прнлнтиалылш векторами трансляций, поскольку вектор трансляци ~ кристаллической решетки Т нельзя ныразнть как Т = п,а«+ п«Ьь где и и л« вЂ” целые числа. Все остальные пары векторов а н Ь можно выбрагь в качестве векторов примитивных трансляций.
Параллелограммы В 2, у имеют равную пло:цадь и любой из них мо кно выбрать в качестве плоской прнмитинной ячейки, Рис. !.7б. Прггмитивная я шйка просграьстненной кристаллической решетки Рнс. ! 7в. Вопрос о том, какие векторы примитивных трансляций имеет изображенная нз этом рисунке «решетка», лишен смысла, поскольку она не является решеткой с точки зрения принятого нами определении решетки: точки этой «решетки» нельзя «перебрать» с помощью набора векторов типа п,а+ п«Ь, где г«1 и пз — любые целые числа, Но предположин, что изображенные точки являются набором однчаковых атомов, можно выбрать точки решетки (например, между атомами, входящими в пару), векторы примитивных трансляций, примитивную ячейку и базис атоиов, связанный с точкой решетки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
