Ч. Киттель - Введение в физику твёрдого тела (1127397), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Если, например, атомы, определяющие плоскость, имеют координаты (4, О, 0), (О, 1, 0), (О, О, 2) в какой-то системе крпсталлографпческих координатных осей, то указанная плоскость может быть охарактерцзоваца тремя чпсламп: 4, 1 и 2. Более обычным методом описания положения птоскости, ко. торым широко пользуются при структурном анализе, являются ,индексоз А!иллера'), которые определяются так, как показано на рцс.
1.20: 1) найдем точки, в которых данная плоскость пересекает основные координатные оси, и запишем их координаты в единицах постоянных решетки; 2) возьмем обратные значения полученных чисел и приведем их к наименьшему целому, кратному каждому из чисел. Результат заключим в круглые скобки.
Рнс 1.20. Плоскость, показании на рисунке, отсекает на осях координат отрезки за, 26 н 2с. Обратные числа равны 1/з '/а '/з Наименьшие целые числа, отношения между которымн равны отношению указанных дробей, есть 2, 3, 3. Таким образом, индексы Миллера .данной плоскости есть (233) Для плоскости, которая пересекает оси в точках с координатами 4, 1 и 2, обратные числа будут 1/4, 1 и 1/2; следовательно, индексы Миллера для этой плоскости есть (142).
Если плоскость пересекает данную координатную ось в бесконечности, то соответствующий индекс Миллера равен нулю. Индексы Мил- ') На первый взгляд использование индексов Миллера для описания положения плоскостей кажется малопригодным, однако в гл. 2 удобство и влегантность етого метода становятся очевидными. 37 Рис. 1 21.
Индексы Миллера некоторых наиболее важных киоск:стев куби- ческосо кристалла. Плоскость (200) параллельна илоскости (100) лера для наиболее важных плоскостей в кубических кристаллах иллюстрируются рисунком ! .21. Набор пндексоа (ЬИ) может означать отдельную плоскость или семейство параллельных плоскостей'). Если плоскость пересекает ось в области отрицательных значений координат, соответствующий индекс также будет отрицательным, но знак минус в атом случае помеьцается не перед индексом, а над ним,— например, (И().
Плоскости граней кубического кристалла имеют индексы (100), (010), (001), (!00), (010) и (001). Плоскости, эквивалентные по характеру симметрии, обозначаются индексами, помещаемыми в фигурные скобки; например, все грани куба можно обозначить через (100). Часто просто гово. рят — плоскости (100). Плоскость (200) — зто плоскость, параллельная плоскости (100), но отсекающая на оси а отрезок вдвое меньший, чем плоскость (100). На рис. 1.21а — 1.21в показано образование плоскостей (110), (111) и (322) в кубической гранецентрированной структуре, если за исходные атомные плоскости взяты глоскости (100). Для обозначения направлений в кристалле применяются индексы, представляющие собой набор наименьших целых чисел, относящихся между собой как компоненты вектора, паралтельпого данному направлению в соответствующей системе координат.
Этн целые числа в случае направлений пишутся в квадратных ') Довольно часто вместо индексов И, а, 1 исиользуют индексы и, с, ю. 38 Ряс. 1.2)а. Плоскость (110) граиецептрировавной кубической кристаллической структуры, построеппая пв базе плоскостей (100). (Эта фотография и две следующие взяты из 119).) Рис.
1.210 Плоскость (11!) граиецептрированпой кубической структуры, построенная иа базе плоскостей (100). Рис 1.21в. Плоскость (322) граиецепзрированпой кубической структуры, построенная на базе плосхостей (100). Концентрация атомов в плоскостях с больгайци звачепиями индексов Миллера имеет тевдепцию быть ниже, чем в плоское~ах с малыми значениями индексов Миллера. Ряс, !.22. Коордяяяты цеятряльяой точки ячейки, яыряыеяяые я долях длил яек- 1 ! ! торов а, Ь, с, ряяяы 2 2 2' скобках: [ЬИ~. В кубических кристаллах направление оси с запишется как [100), отрицательное направление оси у — как [0101 Часто через [ЬИ) обозначают и эквивалентные направления, которые просто называют [ЬИ1-направлениями.
В кубических кристаллах направление [ЙИ) всегда перпендикулярно к плоскости (ЬИ), имеющей те же индексы (см. задачу 1.3), однако для кристаллов других систем зто, вообще говоря, не имеет места. ПОЛОЖЕНИЕ УЗЛОВ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ЯЧЕЙКИ Положение узла элементарной ячейки задается координатами, которые выражаются в долях длин векторов а, Ь, с; начало координат выбирается в вершине угла элементарной ячейки. Таким образом, например, в кубической решетке централь- ! ! ! ный узел имеет координаты — — — (рис.
!.22), а узлы в цент- 222 ! ! ! ! ! 1 рах граней — координаты — — 0; 0 — †,; — 0 — . Координаты 2 2 ' 2 2' 2 2' атол|ов в ГЦК и ОЦК решетках находятся обычно но координатам узлов соответствующей элементарной кубической ячейки. В таблицах с характеристиками кристаллических структур обычно указывается тип и размер элементарной ячейки, а затем приводятся значения координат каждого атома ячейки. ПРОСТЪ|Е КРИСТАЛЛИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ Ниже мы кратко опишем некоторые простые кристаллические структуры, представляющие общий интерес; к ним относятся, в частности, структуры хлористого натрия, хлористого цезия, гексагональная структура с плотной упаковкой, структура алмаза и кубическая структура сульфида цинка. Структура хлористого натрия.
Структура хлористого натрия, !(аС!, показана на рис. !.23 и 1.24. Решетка Бране ХаС1— кубическая гранецентрированная. Базис состоит из двух атомов: 40 О- Рнс. 1.23. Модель структуры хлористого натрия [201. Ионы натрия имеьтт меньшие размеры, чем ионы Хлора.
Рнс. 1.25. Природные кристаллы сульфида свинца РЬБ, ггьгевщие структуру типа ХаС!. 1В. Впг1езоп.) Рис. 1.24. Кристаллическая структура хлористого натрия. Пространственной решеткой является грапецентрированпая кубическая решетка, а базис состоит из иона Ма+ с координатачн 000 1 1 1 и иона СП с координатаггг~ —, 2 2 2' !'нс.
1.26. Кристаллическая структура хлорвстого пезия. Г!ространственной решеткой является простая кубическая решетка, а базис состоит из иона Сз+ с координатами 000 и нова С1- с координа- 1 1 1 тами — — —. 2 2 2' Кристалл ~ а, А Крисгалл 6,77 4,20 4,43 АдВг М2О МпО КВг !лН МвС1 КС) РЬ3 4,08 5,63 6,29 5,92 Значения а приведены в агггстремах; 1 А ==!О-н см =- 10 —" м.
На рнс. 1.25 приведена фотография образцов кристалла РЬБ, имеющих явно выраженную форму куба. Структура хлористого цезия. Структура хлористого цезия СзС) показана на рис. 1.26. В структуре хлористого цезия на элементарную ячейку приходится одна молекула, Базис содержит один атом Сз с координатами 000 н один атом хлора с коор- 1 1 дннатами 2 2 2 ' Пространственная решетка — простая кубическая ') . Ка>клый атом, являющийся центром куба, имеет соседями в углах этого куба атомы другого сорта, так что коорлннационное число равно восьми. Представители кристаллов, имеющих структуру типа СзС): К~ исгалл Кииегалл СчС! зчвг т!1 МНгС) Сирб 4,11 3 97 4,20 3,87 299 Спхп !!1 ив гуль) ' А2Мя 1ЛНК А!Н! ВеГе '2,9 ! 3,28 3,29 2,88 2,70 ') Кристаллические структуры имеющие простую кубическую решетку Бране, вообще говоря, не редкость, однако химические злеленгы «предпочитают» не кристаллизоваться н твкне структуры, для которых хврвктерны отсутствие плотнейшей упаковки п направленность связей.
олного атома )ч)а н одного атома С), ! аходяшнхся один о. другого на расстоянии, равном половине цлиггы пространственной Лиагонали элементарного куба. Элементарный куб содержит четыре молекулы )маС). Атомы имеют следующие координаты: !а: 000; — 220! 202, 022' 1! 1 1. 1 1. Кажлый атом имеет шесть ближайших соседей, являгощихся атомами другого сорта. Представители кристаллов, имеющих структуру типа Р4гзС!: Рпс. ! 27а. Плотпоупакованпые слои твсрлых шаров Центры шаров помечены точкамп А !11ары вторы о слоя мо»кпо разместять пал шарами верного слоя такнч образом, что пх центры зшнпут положения В (н.ш, чго зкппналснтпо положения С) Если шары второго слоя заки»»а от положения В, то ук.шлку шаров третьего слоя мо кио осушг сгнить двумя способами: помсшня нх либо нал Л, либо нал С. В первом слу ше получи»! после!!оватслш ог»ь слоги ЛВЛВ:1В., н структура янтяется гсксагопальяой структурой с и.
огноп»'пакош.ой. Во втором слу ше по !у !зм послеловательпость слоев ЛВС4ВСЛВС .. и сгруктурз явтястся кубп !сской струк»урой с плотной упзконкоп Пг»осипе!!по плогяой упакопкн является плоскость 1111), кзк показ и;о на рпс. 1."тб. Гсксасональная структура с плотной упаковкой. Расположить одинаковые твердые шары и пространстве так, шобы объем, остаюшпйся между ними, был минимален, можно двумя способами (рпс. !.27а). Один спосоо приводит к структуре обладающей кугшческой симметрией, а нмсшо к !рангцеигрирнаниой кубической структуре (кубичес! пя структура с плотной )глковкой), другой — к структуре, шзлп,шгогцсй !скса!оналыи й симметрией и носяшсй название гс!,ел!опальной структуры с плотиои ; паковкой (рис. 1.27в) ')есть об цсго ооъсма, запятая пзср;н!хт!! шарами, составляет 0,74 ках для куо!шссьой.
так и для гексагоиальпой структур с плошой упаковкой. Шар!»! ЯОжнО уложит!» п:!стиг!' накопанным плоским слоем так, !тобы каждый шар сопрпкь!сался с шестью другими. Этот слой может быть либо базисной плоскостшо гексагоиальной структуры с плотной упаковкой, либо плоскостью (111) гране цептрированной кубической структуры.
Второй такой слой мож но уложить на первый таким образом, чтобы каждый его шав соприкасался с тремя шарами ннокнего слоя, как показано на рис. !.27а. Следующий, третий слой может быть уложен двумя способами. Н случае кубической гранецентрированной структуры шарь! третьего слоя расположатся над теми углублениями (лунками) первого слоя, которые не заняты шарами второго слоя; в случае гексагональной структуры шары третьего слоя расположатся непосредственно над шарами первого. Чередование слоев для кубической плотной упаковки можно поэтому записать так: АВСАВС..., а для гексагоиальной — АВЛВАВ.... 43 Рнс. 1.27б Гранецентрнрованкая кубическая сгруктура Одни угол срезан для того, чтобы показать плоскость 1!11).
Плоскости 1!1!) являются плотноупакованнымн слоями твердых пиров [21) Рнс. 1.27в. Гексагональная структура с плотной упаковкой. Расположение атомов в этой структуре не отвечает пространственной решетке. Пространственной решеткой является простая гексагональная решетка, базис которой состоит нз двух одинаковых атомов, связанных с каждой точкой решетки. Рис. 127г. Для примитивной ячейки а = Ь и угол между а и Б равен 120'.
Ось с перпендикулярна к плоскости, в которой лежат а н Ь. Для идеальной гексагональной структуры с плотной упаковкой с = 1,633а. Два ателлан, образую. щие базис, показаны на рисунке черными кругккзмн. Один атом. расположенный в начале координат, имеет координаты 000, вто- 21! рой — —, — и связан с началом 332 координат радиус-вектором г = 2 ! ! 3 3 2 = — а + — Ь + — е. Элементарная ячейка гексагональной структуры с плотной упаковкой представляет собой примитивную гексагональиую ячейку; в базисе ее — два атома (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
