Ч. Киттель - Введение в физику твёрдого тела (1127397), страница 19
Текст из файла (страница 19)
9. Кристаллическая решетка Первая зона Бриллюзна Куб Простая кубическая Объемноцентрированная кубическая Гранецентрированная куби- ческая Ромбододекаэдр (рис. 2.26) Усеченный октаэдр (рис. 2.28) !О. Тепловое движение атомов не уширяет дифракционную линию (не делает ее менее резкой), а только уменьшает ее интенсивность. Уменьшение интенсивности дифракционной линии означает перераспределение исходного значения интенсивности между этой линией и появляющимися в ее окрестности «крыльями» малой интенсивности.
ЗАДАЧИ З.!. Зона Бриллюзна ромбической решетки. Пусть ромбическая решетна имеет три примитивных осевых вектора а=бл, Ь 2у, а=л, !об .ллины которых выражаются в А. Определить размеры и форму первой зоны Брнллюзна, Ъ'Зп- ал= 2 2 ' х+ — и ч73 а - а- Ь вЂ” — х+ — р, с=се.
2 2 а) Показать, используя формулу (г =)а Ь 7(с), что объем примитивной ячейки равен (Ч73(2)а'с. 4 ф ф ~ 3 ф м ч." е 477г) Еб г7 /077! 7Я7 (7У77 же (772) е утг ',э з(п зг -г Д Рис, 2.36. Экспериментальные и теоретические атомные фарм-факторы для рентгеновских отражеаий в кристалле алмаза (15). Теоретические форм- факторы определены для решетки атомов, имеющих сферическую симметрию в распределении заряда, Расчет проводился методом Хартргь Наличае запрещенного отражения (222) указывает на нзбыточнучо концентрацию электронов, (порядка 0,4 электрона), участвующих в связи между соседнимн атомами; величина этой концентрации выше той, которая может быть найдена с учетом простого перекрытик двух сферических распределений заряда.
106 2.2. Гексагональная пространственная решетка. Векторы примитивных трансляций гексагональной пространственной решетки можно выбрать следующим образом: б) Показать, что векторы пркмитпвцык трансляций обратной решетки -равиы 2п - 2м- А = — х+ — р. зггЗ а а 2и - 2п- 8= — — х+ — р, >/За а 2мс= —., с -так что решетка есть ее собственная обратная, ио с повороточ осей в) Описать в начертить первую зону Бриллюэиз гексаговальиой простраиствекиой решетки. 2.3. Форм-фактор одвородиой сферы. Найти атомный форм-фактор [ для однородного распределения Я электронов внутри сферы радиуса )т. зказакиг: В формулу (2.65) подставить с(г) = с; тогда [=(4ис/бз) ~ х з|п х Их| О теперь начислить интеграл.
Лля 6)! дь 1 0 э соз 6)г. так что амплитуда рассеянной волны уменьшается с возрастанием 6 2.4. Структуриый фактор алмаза. Кристаллическая структура алмаза описана в гл. 1 Если элементарной ячейкой является обычный куб, то бззпс содержит восемь атоыов. а) 1!айти стр>ктуриый фактор этого базиса, б) Иайти пулевые значения 9' и показать, чго индексы разрешеипык для структуры алмаза отражеппй удовлетворяют равенству й+ 4+1= 4л, где все индексы являются четиыци целыми числами, а л — произвольное целое число. Однако зифракшюпиая картина будет содер>кать запрещенное отражепие с индексами (222), если посередине между двумя ближайшими соседипчи атомами углерода имеется избыточнаи концентрация электронов (см.
рис. 2.36). 2.5. Ширина дифракциоииого максимума. Предположим, что линейный кристалл имеет одинаковые точечные центры рзссеяния в каждом узле решетки р = ша, где лз — целое число. По аналогии с (239) полная амплитуда рассеяивого излучепия в точке К будет ой = ~ екр ( — ипп Лй). Сумма по М узлам решетки имеет величину 1 — екр [ — |М (а Лй)) о( ! — ехр [-1(а.
Лй)[ 102 Ряаксп и хлгл Рис. 2.37. Днфракцвонная картина, получаемая от одномерной решетки с межатомным расстоянием а с помощью монохроматического рентгеновского пучка, перпендикулярного к решетке. а) Интерференция с усилением имеет место, если асозО=лЛ, где л — целое число. б) Для данного и дифрагнрованные лучи лежат на поверхности конуса. Ова получена с использованием ряда а) Интенсивность рассеянного излучения пропорпиональна 1 А 1'.
Показать, что а1пз '/зМ (а Лй) з1пт '/3 (а. Лй) б] Мы знаем, что дифракцнонцый максимум возникает, когда а Лй=2лйы где Л вЂ” целое число. Мы немного изменяем Лй и определяем е в а.бй = 1 = 2пй+ в так, что е дает положение первого нуля в сйп — М(а Лй). Пока- 2 зать, что е = 2п/М, так что ширина дифракпионного максимума пропорциональна 1/М и он может быть крайне узким для макроскопических величин М Такой же результат справедлив для трехмерного кристалла. 2.6. Дифракция от одномерной (линейной) и квадратной (плоской) решеток.
Получение дифракционной картины от одномерной решетни с постоянной, решетки а показано на рис. 2.37 '). Структуры, до некоторой степени похожие ') Полезно также взглянуть на это и по-другому: для линейной решетки дифракционная картина описывается одним уравнением Лауэ а Лй = 2по, где о — целое число.
Для этой решетки не существует решеточных сумм, которые приводят к другим уравнениям Лауз. Уравнение а Лй=сопз1 являетси 108 Рнс. 2.38 а) Картина обратно рассеянных электронов с энергией 76 эВ, падающих перпендикулярно к грани (110) кристалла никеля, б) Модель поверхности. (Л (). МасКае.) на одномерные, играют важную роль в молекулярной биологг~и, ДНК и многие белки являются линейными спиралями '). а) зхля получения дкфракцновпой картины, показанной на рис. 2.37, б, используется цилиндрическая пленка; ось цилиндра совпадает с осью образца (линейной структуры илн волокна). Описать вид дифракцнонной картины на пленке. б) Плоская фотопластинка размещается за нитью перпендикулярно к падаюгцезгу пучку.
Начерыыь схематично вид дифракцнонной карзнны на пластинке. в) Единичная плоскость атомов образует квадратную решетку с постоянной решетки а. Плоскость перпендикулярна к падающему рентгеновскому пучку. Начертить схематично внд дифракцнонной картины нз фотопластинке (см. (19)).
Указанне: О днфракцин от плоскости атомов можно сделать ззключсние по картинам от двух взаимно перпендикулярных линий атомов. г] На рис. 2.38 показана картина дифракцни электронов в обратном направлении от плоскости (110) атомов никеля в кристалле никеля. Объяснить ориентировку днфракцнонной картины и связать ее с позициньш атомов на поверхности, показанной на модели. Предполагаем, что только атомы, распо. ложенные на новсрхяостн, являются эффективными в отношении отражения электронов с ннзкимн значенияьш энергии. уравнением плоскости; таким образом, обратван решетка предсгавляет собой систему пзраллел ных плоскостей, перпендикулярных к линни атомов. Какова обратная решетка для отдельной атомной плоскости? (В данном случае имеются дза уравнении Лауэ.) При рассмотрении одномерных и двумерных структур понятием узлов обратной решетки нужно пользоваться осторожно, поскольку узел обратной решетки превращаелся в л~шию узлов обратной решетки для плоских структур и становится плоскостью обратной решетки для линейных струитур.
') Дифракционная картина, полученная от спирали, обсуждается в работах (16, 17). Простое описание дано в (18). 109 2,7 дэухатсмная одчомерная цепочка. рассмотреть цепочку атомов АВАВ... АВ, у которой длина связи Л вЂ” В раааа а/2. Форм-факторы равны н гз для атомов А и В соответственно. Падавший пучок рентгеновских лучей перпендикулярен к линни атомов.
а) Показать, что условном ннтерференпин является соогношение лл = а сон б, где 6 — угол между дифрагировгпным пучком и цепочкой а гомон. б) Показать, что интенсивность днфрагированього пучка пропорциональна ~)в — Гз~з для и нечетных н )1з+ Гз(з для и четных. в) Обьяснить что произойдет, если )4 = г'э 28. Обрати н решетка и разрешенные отражения.
а) Объяснить, почему, если элементарная яч йкэ кристаллической решетки является примитивной, то в дчнном объеме фурье-пространства содержится меньше узлов обратной решетки б, чем в случае непримитивной ячейки б) С учетом Га) отве.нть иа вопрос, каким образом разрешенные отражения для данной структуры могут быть независимы от выбора элементарной ячейки кристалл:гческой решетки. Г л а в а 3.
ТИПЫ СВЯЗЕЙ В КРИСТАЛЛАХ 115 Кристаллы инертных газов свлы Ввн-аер-Вавльсв — лондона ((ы). Взвнмяоз оззвлкнвавмз атомов (120) Равновесные постоянные решетке (125). Энергия свяэк (124) Сжкэ!асмосгь н обьем. яый модуль >пругосги (125). Ионные кристаллы 126 Эзектросгатвыскзя энергия, нлк энергия Мвделукга (1281. Вызяслснке постоянвой Мвделунгв (131). Объемный модуль упругости (1Зм. Ковалентиые кристаллы . Металлические кристаллы .
Кристаллы с Водородными связнззи Атомные радиусы тезрвэдрнческяе коввленгные рвдзусы [115) Радиусы конов в крвствллех (14м. Резюме Эадачи . Литература 77рпложсние, относящееся к данной главе: В Вывод взаимодействия Ваи-дер-Вавльса, , . . .. . ., ... ,,, 721 Замечание! Все формулы записаны в системе СГС. Переход к системе СИ пе оговаривается, — за искл)оченисм формул (3 !) и (324), — поскольку он достаточно прост !47 147 772 Окружающий нас мир содержит множество различных типов твердых тел.
Сюда относятся и биологические вещества (дезоксирибонуклеиновая кислота и ферменты), и геологические материалы (гранит и слюда), тысячи металлических сплавов и миллионы органических соединений. Все этн материалы построены из атомов менее ста химических элементов. Однако физика твердого тела к настоящему времени достаточно основательно и глубоко изучила главным образом только моиокрпсталлы элементов и простых соединений. Исследования, проведенные на монокристаллах, всегда намного более ценны и несут в себе намного ббльшую информацию, чем исследования, проведенные на поликристаллических образцах. Огромное и все возрастающее практическое значение имеют, однако, и аморфные материалы.
Наблюдаемые различия между тинами твердых тел обусловливаются различиями в характере распределения электронов и 1!1 ядер в атомах и молекулах и,-в особенности, в характере распределения наиболее удаленных от ядра (валентных) электронов и ионных остовов атомов. Прн изучении того нли иного кристалла необходимо выяснить, прежде всего, пространственное располож нне ядер и электронов. Определение структуры твердого тела часто может быть осуществлено с помощью днфракционных методов, описанных в гл. 2.
В этой главе мы рассмотрим вопрос о том, чтб удерживает вместе атомы в кристалле. Связь между ними почти полностью обеспечивается силами электростатического притяжения между отрицательно заряженными электронахш и положите.гоно заряженными ядрами, Роль спл магнитного пронсхо>кдения весьма незначительна, а гравитационными силами вообще можно пренеоречь. Задав пространственное распределение электронов и ядер в кристаллах н распределение их скоростей (оба этн распределения в принципе могут быть определены методами квантовой механики), мы можем рассчитать энергию связи в кристалле.
Такие специальные понятия, как энергия обменного взаимодействия (обменная энергия), силы Ван-дер-Ваальса, резонансная энергия стабилизации и ковалентные связи, используются только для обозначения резко различных ситуаций. Для того чтобы с помощшо сил электростатического прнтя>кения между валентными электронами и ионными остовами образовать нз атомов твердые тела, необходимо выполнить следующие четыре условия, которые не всегда можно совместить друг с другом: 1. Положительно заряженные ионные остовы должны находиться на таком расстоянии друг от друга, чтобы при этом было сведено до минимума электростатическое (кулоновское) отталкивание между ними. 2. Валентные электроны также должны находиться на определенных расстояниях друг от друга, отвечающих тому же требованшо. 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
