Ю.И. Журавлёв, Ю.А. Флёров, М.Н. Вялый - Дискретный анализ. Основы высшей алгебры (1127101), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Для некоммутативных групп существуют нетривиальные внутренние автоморфизмы.Проверим, что ϕ : x 7→ gxg −1 действительно является автоморфизмом. Взаимная однозначность: пусть ϕ(x) = ϕ(y), т. е.gxg −1 = gyg −1 . Умножая это равенство слева на g −1 , а справана g, получаем x = y. Сохранение операции также проверяетсяпрямым вычислением:ϕ(xy) = gxyg −1 = gxg −1 gyg −1 = ϕ(x)ϕ(y).Теорема 1.37 (теорема Кэли). Любая конечная группапорядка n изоморфна некоторой подгруппе симметрическойгруппы Sn .Доказательство. Пусть n = |G| — порядок группы G.
Дляэлемента a группы G рассмотрим отображение La : G → G,определяемое формулой La : g 7→ ag. Мы «сдвигаем» каждыйэлемент на a, поэтому отображение La называется сдвигом38Глава 1.Группына a. Как уже говорилось, La — взаимно однозначное отображение G на себя. Перенумеровав элементы G числами от 1до n, можно считать La перестановкой из Sn .Если {e = g1 , g2 , . . . gn } — все элементы группы G, то множество перестановок {Lg1 , Lg2 , . .
. Lgn } образует подгруппу Sn .Действительно,Lg1 (Lg2 (g)) = g1 g2 g = Lg1 g2 (g),(1.8)Lg−1аналогично= Lg−1 .Отображение L : a 7→ La является изоморфизмом. Оно взаимно однозначно по построению, а второе свойство изоморфизма получается из (1.8).Итак, построен изоморфизм G и подгруппы группы перестановок Sn .Группа всех перестановок устроена достаточно сложно, такчто большой пользы от теоремы Кэли нет. Скорее ее нужновоспринимать как утверждение о сложности структуры подгрупп группы перестановок.Теперь перейдем к гомоморфизмам.Отображение ϕ : G → G′ , где hG, ∗i, hG′ , ◦i — две группы,называется гомоморфизмом, если ϕ(a ∗ b) = ϕ(a) ◦ ϕ(b).Гомоморфизм не обязательно взаимно однозначен.
ГруппаG′ не обязательно является полным образом группы G, можеттак быть, что Im(G) = ϕ(G) ⊂ G′ , т. е. образ будет собственным подмножеством G′ .Свойства гомоморфизма:1) ϕ(e) = e′ .2) ϕ(a−1 ) = ϕ(a)−1 .3) Композиция гомоморфизмов — гомоморфизм.Доказательства аналогичны доказательствам для изоморфизма.4) ϕ(G) = H ′ < G′ , т. е. гомоморфный образ группы естьгруппа.Докажем это свойство, проверив групповые аксиомы. Единица e′ принадлежит H ′ . Пусть ϕ(x), ϕ(y) ∈ H ′ . Тогдаϕ(x ∗ y) = ϕ(x) ◦ ϕ(y) ∈ H ′ .
Наконец, ϕ(x−1 ) = ϕ(x)−1 , поэтомуϕ(x)−1 ∈ H ′ .1.6.39Изоморфизм и гомоморфизмСледовательно, H ′ — группа, а раз она группа, то она подгруппа G′ .Пример 1.38. Из линейной алгебры известно, что определитель произведения матриц равен произведению определителей: det(AB) = det(A) det(B). Поэтому отображениеdet : GL(R, n) → R∗ ,det : A 7→ det(A)является гомоморфизмом группы GL(R, n) невырожденныхматриц порядка n с действительными элементами в мультипликативную группу действительных чисел, отличных от 0.Пример 1.39. Транспозицией называется перестановка, которая меняет местами ровно два элемента.
Всякая перестановка является произведением транспозиций. Для доказательстваэтого утверждения нужно разложить перестановку на циклыи выразить каждый цикл в виде произведения транспозиций:(i1 i2 i3 . . . ik ) = (i1 ik ) ◦ (i1 ik−1 ) ◦ · · · ◦ (i1 i4 ) ◦ (i1 i3 ) ◦ (i1 i2 ).Знаком sgn(π) перестановки π назовем число (−1)n+k , гдеn — число элементов в перестановке, k — число циклов в цикловом разложении перестановки, включая циклы длины 1.Перестановка называется четной, если ее знак равен +1, впротивном случае она называется нечетной.
Легко видеть,что тождественная перестановка () — четная, ее знак(−1)n+n = +1.Перестановку можно разложить в произведение транспозиций разными способами. Но оказывается, что четность числатранспозиций в любом разложении перестановки π не зависитот выбора разложения: четные перестановки разлагаются вчетное число транспозиций; нечетные — в нечетное. Доказатьэто можно индукцией по длине записи перестановки в видепроизведения транспозиций. Основание индукции — тождественная перестановка (произведение 0 транспозиций). Дляиндуктивного перехода осталось проверить, что умножениеперестановки на транспозицию (jk) меняет количество цикловна 1: увеличивает, если j и k входят в один цикл; уменьшает,если j и k входят в разные циклы. Действительно, запишем40Глава 1.Группыпроизведения в обоих случаях (используем цикловую запись):(jk) ◦ (AjBkC) = (AkC)(Bj),(jk) ◦ (jA)(kB) = (jAkB)(на месте заглавных букв могут стоять любые последовательности чисел, отличных от j, k).Рассмотрим отображение sgn : π 7→ sgn(π).
Это гомоморфизм группы Sn в группу {±1}, которая есть просто-напростоциклическая группа порядка 2 в мультипликативной записи.В самом деле, раз четность числа транспозиций, произведением которых записывается перестановка, не зависит от выборапроизведения, то при перемножении перестановок четностичисла транспозиций складываются по модулю 2, а знаки перестановок перемножаются.1.7.
Нормальные подгруппыОсобенно важную роль в теории групп играют те подгруппы, для которых левые и правые смежные классы совпадают.Такие подгруппы называются нормальными; их также называют нормальными делителями или инвариантными подгруппами.Более формально, подгруппа H группы G называется нормальной, если для любого элемента g ∈ G выполняется равенство gH = Hg. Для отношения «быть нормальной подгруппой» используется специальное обозначение H ⊳ G.Очевидно, что подгруппа, состоящая из одного-единственного элемента e, — нормальная подгруппа, e ⊳ G, что самагруппа также является нормальной подгруппой: G ⊳ G, а также, что у коммутативной группы все подгруппы нормальны.Теперь рассмотрим менее тривиальный пример.Пусть G — группа и H — ее подгруппа индекса 2 (напомним, что индекс подгруппы (G : H) — это количество смежныхклассов по этой подгруппе).
Вся группа разбивается на двасмежных класса по H. Поскольку один из них — это самаподгруппа H, то в другой смежный класс входят все остальныеэлементы группы G. Обозначим этот класс H ′ . По определению смежного класса H ′ = g ′ H, где g ′ ∈/ H. Аналогично1.7.41Нормальные подгруппыдля правых смежных классов: один из классов это снова H, авторой это H ′′ = Hg ′′ , где g ′′ ∈/ H.
Конечно, H ′ = H ′′ = G\H —ведь и в тот, и в другой класс входят в точности те элементыгруппы, которые не принадлежат H.Следовательно, любая подгруппа индекса 2 будет нормальной. Отсюда получим нетривиальный пример нормальной подгруппы.Пример 1.40. Рассмотрим группу S3 и ее подгруппу H == h(123)i < G. Легко видеть, что H — циклическая подгруппапорядка 3 группы S3 . Следовательно, ее индекс равен 2 иH ⊳ G.Пример 1.41. Рассмотрим прямое произведение G1 ×G2 группG1 и G2 . Легко видеть, что множества G1 × {e2 } = {(g, e2 ) |g ∈ G1 } и {e1 } × G2 = {(e1 , g) | g ∈ G2 } являются подгруппамиG1 × G2 . Эти подгруппы нормальны, как показывает следующее вычисление:(g1 , g2 ) · (G1 × {e2 }) = {(g, g2 ) | g ∈ G1 } = (G1 × {e2 }) · (g1 , g2 )(аналогично для {e1 } × G2 ).Утверждение 1.42.
Пересечение нормальных подгрупп —нормальная подгруппа.Доказательство. Пусть N1 ⊳ G, N2 ⊳ G, N = N1 ∩ N2 . Длялюбого g ∈ G имеем gN ⊆ gN1 = N1 g, gN ⊆ gN2 = N2 g.Если x ∈ N1 g ∩ N2 g, то xg −1 ∈ N1 ∩ N2 = N . Таким образом,gN ⊆ N g. Аналогично доказывается, что N g ⊆ gN . ПоэтомуgN = N g.Выше было показано, что гомоморфный образ подгруппыявляется подгруппой. Следует иметь в виду, что гомоморфизмне сохраняет, вообще говоря, свойство «быть нормальной подгруппой».Пример 1.43. Рассмотрим циклическую группу C4 = hai иее подгруппу C2 = ha2 i индекса 2. Поскольку C4 абелева, тоC2 ⊳ C4 (все подгруппы абелевой группы нормальны).
Теперьрассмотрим гомоморфизмϕ : C4 → S4 ,ϕ : a 7→ (1234).42Глава 1.ГруппыЛегко видеть, что ϕ(ha2 i) = h(13)(24)i. Эта подгруппа не является нормальной в S4 , что видно из вычисления(12) ◦ (13)(24) = (1324) 6= (1423) = (13)(24) ◦ (12).Тут использовано, что подгруппа порядка 2 нормальна тогда итолько тогда, когда она лежит в центре группы, т. е. ее неединичный элемент перестановочен со всеми элементами группы.Чтобы взглянуть на нормальные подгруппы по-другому,рассмотрим сопряженные элементы.1.8. Сопряженные элементыБудем называть элемент b группы G сопряженным с элементом a посредством элемента g, если b = gag −1 .Выбирая различные элементы g, будем получать различные, вообще говоря, элементы, сопряженные с элементом a.Отношение сопряженности будем обозначать ∼.Перечислим свойства отношения сопряженности.1) a ∼ a.
Каждый элемент сопряжен сам с собой (посредством элемента e).2) Из a ∼ b следует b ∼ a. Если b получается из a сопряжением посредством элемента g, то a получается из b сопряжением посредством g −1 .3) Из a ∼ b, b ∼ c следует a ∼ c. Проверяется прямымвычислением: из b = gag −1 , c = hbh−1 следуетc = hbh−1 = hgag −1 h−1 = (hg)a(hg)−1 .(1.9)Что можно сказать об отношениях, для которых выполнены свойства 1) – 3)? Каждое такое отношение разбивает множество на классы, внутри которых отношение выполняетсямежду любыми двумя элементами, а на парах элементов, принадлежащих разным классам, отношение не выполняется.Такие отношения называются отношениями эквивалентности. Свойство 1) называется рефлексивностью отношения,свойство 2) — симметричностью, свойство 3) — транзитивностью.Отношение сопряженности разбивает группу на классы сопряженных элементов (все элементы внутри одного класса1.8.Сопряженные элементы43сопряжены друг с другом, а элементы из разных классов несопряжены).Пример 1.44.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
