Главная » Просмотр файлов » Ю.И. Журавлёв, Ю.А. Флёров, М.Н. Вялый - Дискретный анализ. Основы высшей алгебры

Ю.И. Журавлёв, Ю.А. Флёров, М.Н. Вялый - Дискретный анализ. Основы высшей алгебры (1127101), страница 11

Файл №1127101 Ю.И. Журавлёв, Ю.А. Флёров, М.Н. Вялый - Дискретный анализ. Основы высшей алгебры (Ю.И. Журавлёв, Ю.А. Флёров, М.Н. Вялый - Дискретный анализ. Основы высшей алгебры) 11 страницаЮ.И. Журавлёв, Ю.А. Флёров, М.Н. Вялый - Дискретный анализ. Основы высшей алгебры (1127101) страница 112019-05-11СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

Пусть A = Cn1 ⊕ Cn2 ⊕ . . . ⊕ Cnr . Обозначимчерез ai порождающий элемент группы Cni . Множество {ai }порождает A. По определению прямой суммыc1 a 1 + c2 a 2 + · · · + cn a n = 0тогда и только тогда, когда ci = yi ni , yi ∈ Z. Значит, соотношения образуют подгруппу D в Zn , содержащую те наборы изn целых чисел, в которых i-й элемент набора делится на ni .Смежный класс по подгруппе D состоит из множества наборов, имеющих заданный набор остатков от деления на ni ,поэтому факторгруппа Zn /D изоморфна Cn1 ⊕ Cn2 ⊕ . . . ⊕ Cnr .Доказательство утверждения 1.73. Пусть элемент a ∈ Aдвумя способами выражен через порождающие:a = c1 a1 + c2 a2 + · · · + cn an = c′1 a1 + c′2 a2 + · · · + c′n an .Тогда(c1 − c′1 )a1 + (c2 − c′2 )a2 + · · · + (cn − c′n )an = 0,т. е. c−c′ ∈ R.

Разумеется, верно и обратное. Поэтому каждомуa ∈ A можно сопоставить класс смежности ρ(a) группы Znпо подгруппе R, который состоит из тех c = (c1 , . . . , cn ), длякоторыхa = c1 a 1 + c2 a 2 + · · · + cn a n .(1.13)Отображение ρ является искомым изоморфизмом. Складывая соотношения (1.13), убеждаемся, что ρ сохраняет операции. Единственным прообразом класса c + R являетсяc1 a 1 + · · · + cn a n .Следующий шаг — описание подгрупп группы Zn .Лемма 1.75.

Пусть R < Zn . Тогда R ∼= Zm , 0 6 m 6 n.Подгруппой Z0 будем по определению считать подгруппу,состоящую из одного нуля.Доказательство. Индукция по n. Основание индукции n = 1было уже разобрано выше (см. вывод формулы (1.5) на с. 30).1.12.Абелевы группы61Теперь предположим, что утверждение леммы доказанопри всех n′ < n.

В подгруппе R < Zn выделим подгруппуR0 = {x ∈ R : xn = 0}.Поскольку R0 изоморфна подгруппе Zn−1 (равные нулю последние компоненты можно опустить), то по предположениюиндукции R ∼= Zk , 0 6 k 6 n − 1.Если R0 = R, утверждение леммы доказано.В противном случае рассмотрим подмножество R̃n целыхчисел, состоящее из последних компонент элементов r ∈ R.Это множество является подгруппой Z, поэтому имеет видhdi (формула (1.5)). Выберем r = (r1 , r2 , .

. . , rn−1 , d) ∈ R, укоторого последняя компонента равна d.Докажем, что R = R0 + hri — прямое разложение. Длялюбого r′ ∈ R найдется не более одного целого числа t, длякоторого r′ − tr ∈ R0 . Поскольку последние компоненты всехэлементов R кратны d, такое число t обязательно найдется.Тогда r′ − tr ∈ R0 , поэтому r′ представляется в виде суммыэлемента R0 и элемента из подгруппы hri, и это представлениеоднозначно определено.Итак, по утверждению 1.71,R∼= R0 ⊕ hr′ i ∼= Zk ⊕ Z ∼= Zm ,где 0 6 m 6 n.Отметим очевидное следствие из доказанной леммы.Следствие 1.76. Для любой конечно порожденной абелевойгруппы существует такой конечный набор соотношенийc1 , .

. . , ck , что всякое соотношение c между порождающимиявляется следствием c1 , . . . , ck .Итак, из утверждения 1.73 и леммы 1.75 вытекает, чтолюбую конечно порожденную абелеву группу с n порождающими элементами можно задать целочисленной матрицейразмера m × n, m 6 n,  c1c11 c12 . .

. c1n c2   c21 c22 . . . c2n  M = . . .  = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .cmcm1 cm2 . . . cmn62Глава 1.ГруппыЛюбой матрице M указанного вида соответствует группаA(M ) = Zn /hc1 , c2 , . . . , cm i.Некоторым матрицам соответствует одна и та же группа.Чтобы описать матрицы, которые задают изоморфные группы, введем понятие элементарного преобразования матрицы.Элементарное преобразование целочисленной матрицы —это одно из следующих преобразований:• прибавление к элементам одной строки соответствующихэлементов другой строки, умноженных на одно и то жецелое число;• прибавление к элементам одного столбца соответствующих элементов другого столбца, умноженных на одно ито же целое число;• перестановка строк;• перестановка столбцов;• умножение элементов некоторой строки или столбца на−1.Лемма 1.77.

Пусть M ′ получена из M последовательностьюэлементарных преобразований. Тогда A(M ) ∼= A(M ′ ).Доказательство. Так как отношение изоморфизма транзитивно, лемму достаточно проверить для матриц, связанныходним элементарным преобразованием. Очевидно, что перестановка строк не влияет на A(M ), равно как и умножениена −1.Перестановка столбцов приводит к перестановке порождающих, что дает изоморфную группу (изоморфизм переставляет компоненты, см. пример 1.35).Рассмотрим прибавление кратного строки. Пусть  ′c1c1 c2  c2 ′M =  , M =  , c′1 = c1 + tc2 , t ∈ Z..... . .cmcmТогда c1 = c′1 − tc2 , поэтому hc1 , c2 , . .

. , cm i = hc′1 , c2 , . . . , cm i.1.12.63Абелевы группыТеперь рассмотрим прибавление кратного столбца. Пусть ′c11 c12 . . . c1nc11 c12 . . . c1n c21 c22 . . . c2n  c′21 c22 . . . c2n ′M =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , M = . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . ,cm1 cm2 . . . cmnc′m1 cm2 . . . cmnгде c′i1 = ci1 + tci2 , t ∈ Z. Обозначим порождающие группыA(M ) через a1 , a2 , . . . , an , а порождающие группы A(M ′ ) черезa′1 , a′2 , . . . , a′n . Построим такой изоморфизм ϕ : A(M ) → A(M ′ ),чтоϕ(a1 ) = a′1 , ϕ(a2 ) = ta′1 + a′2 , ϕ(a3 ) = a′3 , . . . , ϕ(an ) = a′n .(1.14)Поскольку ϕ должен сохранять операции, образ любого элемента A(M ) определен условиями (1.14):ϕ(x1 a1 + x2 a2 + · · · + xn an ) = x1 ϕ(a1 ) + x2 ϕ(a2 ) + · · · + xn ϕ(an ).(1.15)Проверим, что формула (1.15) корректно задает отображениеиз A(M ) в A(M ′ ).

ПустьmX(x1 − y1 , . . . , xn − yn ) =λj cj , λj ∈ Z,j=1т. е. x = x1 a1 + x2 a2 + · · · + xn an = y1 a1 + y2 a2 + · · · + yn an = yв группе A. ТогдаmXj=1λj c′j = ((x1 − y1 ) + t(x2 − y2 ), x2 − y2 , . . . , xn − yn ),поэтому(x1 − y1 )a′1 + t(x2 − y2 )a′1 + (x2 − y2 )a′2 + · · · + (xn − yn )a′n == (x1 − y1 )ϕ(a1 ) + (x2 − y2 )ϕ(a2 ) + · · · + (xn − yn )ϕ(an ) = 0,так что ϕ(x) = ϕ(y).Обратное отображение задается формуламиϕ−1 (a′1 ) = a1 , ϕ−1 (a′2 ) = −ta1 + a2 , ϕ−1 (a′3 ) = a3 , . .

.. . . , ϕ−1 (a′n ) = an ,корректность которых доказывается аналогично.64Глава 1.ГруппыДля доказательства теоремы 1.69 мы применим следующую теорему.Теорема 1.78 (нормальная форма Смита). Целочисленную матрицу M размера m × n, m 6 n, можно привестиэлементарными преобразованиями к такому виду, что всеэлементы вне главной диагонали равны 0, а для диагональныхэлементов mii выполняется условие: mii делит m(i+1)(i+1) .Доказательство. Если матрица состоит из одних нулей, тоутверждение теоремы справедливо.Пусть в M есть ненулевые элементы. Будем применять к Mэлементарные преобразования до тех пор, пока можно уменьшить минимальную абсолютную величину ненулевого элемента матрицы. Затем перестановками строк и столбцов (и умножением строк на −1) добьемся, чтобы m11 стал положительным элементом с минимальной абсолютной величиной средиэлементов матрицы.Докажем, что все ненулевые элементы матрицы делятсяна m11 .

Пусть mi1 не делится на m11 . Разделим mi1 на m11с остатком: mi1 = qm11 + r. Если вычесть из i-й строкипервую строку, умноженную на q, то m′i1 = r, т. е. мы уменьшили минимальную абсолютную величину ненулевых элементов матрицы. Аналогично рассуждаем для элементов первойстроки.Пусть теперь mij не делится на m11 , т. е. mij = qm11 + r,0 < r < m11 . Как уже доказано, mi1 = am11 , m1j = bm11 .И в этом случае элементарными преобразованиями матрицыможно уменьшить минимальную абсолютную величину ненулевых элементов матрицы.

Вычтем из i-й строки первую строку, умноженную на (a − 1), а затем из j-го столбца вычтемпервый столбец, умноженный на q − (a − 1)b. После этихпреобразований (i, j)-й элемент матрицы будет равен r, какпоказывают вычисления (приводим только минор матрицы,образованный первой и i-й строкой и первым и j-м столбцом):m11bm11m11bm11→→am11 qm11 + rm11 (q − (a − 1)b)m11 + rm11 (b − q + (a − 1)b)m11→.m11r1.12.Абелевы группы65Поскольку все ненулевые элементы матрицы делятся наm11 , можно элементарными преобразованиями сделать равными нулю все элементы первого столбца и первой строки, заисключением m11 (вычитая подходящие кратные первой строки или первого столбца).

После этого матрица приобретаетвидm11 0M=,0M′где все ненулевые элементы матрицы M ′ делятся на m11 , аразмер M ′ меньше, чем у исходной матрицы.К матрице M ′ можно применить такие же преобразования,какие были применены к M и т. д. В конце концов получимтребуемую форму матрицы.Доказательство теоремы 1.69.

Пусть A — конечно порожденная абелева группа. Представим ее в виде A ∼= A(M ). В силу леммы 1.77 и теоремы 1.78 можно считать, что матрица Mдиагональная. Если M = 0, то A ∼= Zn . В противном случаеобозначим ненулевые диагональные элементы матрицы M через ni , 1 6 i 6 k, соответствующие столбцам M порождающиеPэлементы обозначим через ai . Соотношение видаi xi ai == 0 является следствием соотношений из диагональной матрицы M тогда и только тогда, когда ni | xi . Последнее означает,что xi ai = 0. Это означает, что разложение любого элементагруппы в сумму порождающих однозначно.

Поэтому, пользуясь утверждением 1.71, получаем, что группа A изоморфнапрямой сумме циклических групп hai i.Анализ структуры конечных абелевых групп можно продолжить. Для этого необходимы некоторые факты из элементарной теории чисел. В главе 2 эти факты будут выведеныиз более общей теории. Заметим, что доказательства этихфактов не используют утверждений из данного раздела, такчто порочного круга в рассуждениях можно не опасаться.Из следствия 2.43 вытекает, что если p, q — взаимно простые числа, то Cpq ∼= Cp ⊕ Cq . Поэтому можно построить такоеразложение конечно порожденной абелевой группы в прямуюсумму циклических, в котором все слагаемые — группы порядка pk , где p — простое число (примарные компоненты).66Глава 1.ГруппыОказывается, что набор порядков примарных компонент определен однозначно.Теорема 1.79.

Любая конечная абелева группа изоморфнапрямой сумме циклических групп порядков pk , p — простое,причем количество примарных компонент порядка pk одинаково для любого разложения в прямую сумму.Доказательство. Первая часть теоремы, как уже сказано,вытекает из теоремы 1.69 и следствия 2.43. Осталось доказатьвторую часть. В этом доказательстве мы используем основную теорему арифметики об однозначности разложения целого числа на простые множители (следствие из теоремы 2.39,доказываемой в следующей главе).Итак, пусть имеется конечная абелева группа A.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
1,2 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6390
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее