Ю.И. Журавлёв, Ю.А. Флёров, М.Н. Вялый - Дискретный анализ. Основы высшей алгебры (1127101), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Пусть A = Cn1 ⊕ Cn2 ⊕ . . . ⊕ Cnr . Обозначимчерез ai порождающий элемент группы Cni . Множество {ai }порождает A. По определению прямой суммыc1 a 1 + c2 a 2 + · · · + cn a n = 0тогда и только тогда, когда ci = yi ni , yi ∈ Z. Значит, соотношения образуют подгруппу D в Zn , содержащую те наборы изn целых чисел, в которых i-й элемент набора делится на ni .Смежный класс по подгруппе D состоит из множества наборов, имеющих заданный набор остатков от деления на ni ,поэтому факторгруппа Zn /D изоморфна Cn1 ⊕ Cn2 ⊕ . . . ⊕ Cnr .Доказательство утверждения 1.73. Пусть элемент a ∈ Aдвумя способами выражен через порождающие:a = c1 a1 + c2 a2 + · · · + cn an = c′1 a1 + c′2 a2 + · · · + c′n an .Тогда(c1 − c′1 )a1 + (c2 − c′2 )a2 + · · · + (cn − c′n )an = 0,т. е. c−c′ ∈ R.
Разумеется, верно и обратное. Поэтому каждомуa ∈ A можно сопоставить класс смежности ρ(a) группы Znпо подгруппе R, который состоит из тех c = (c1 , . . . , cn ), длякоторыхa = c1 a 1 + c2 a 2 + · · · + cn a n .(1.13)Отображение ρ является искомым изоморфизмом. Складывая соотношения (1.13), убеждаемся, что ρ сохраняет операции. Единственным прообразом класса c + R являетсяc1 a 1 + · · · + cn a n .Следующий шаг — описание подгрупп группы Zn .Лемма 1.75.
Пусть R < Zn . Тогда R ∼= Zm , 0 6 m 6 n.Подгруппой Z0 будем по определению считать подгруппу,состоящую из одного нуля.Доказательство. Индукция по n. Основание индукции n = 1было уже разобрано выше (см. вывод формулы (1.5) на с. 30).1.12.Абелевы группы61Теперь предположим, что утверждение леммы доказанопри всех n′ < n.
В подгруппе R < Zn выделим подгруппуR0 = {x ∈ R : xn = 0}.Поскольку R0 изоморфна подгруппе Zn−1 (равные нулю последние компоненты можно опустить), то по предположениюиндукции R ∼= Zk , 0 6 k 6 n − 1.Если R0 = R, утверждение леммы доказано.В противном случае рассмотрим подмножество R̃n целыхчисел, состоящее из последних компонент элементов r ∈ R.Это множество является подгруппой Z, поэтому имеет видhdi (формула (1.5)). Выберем r = (r1 , r2 , .
. . , rn−1 , d) ∈ R, укоторого последняя компонента равна d.Докажем, что R = R0 + hri — прямое разложение. Длялюбого r′ ∈ R найдется не более одного целого числа t, длякоторого r′ − tr ∈ R0 . Поскольку последние компоненты всехэлементов R кратны d, такое число t обязательно найдется.Тогда r′ − tr ∈ R0 , поэтому r′ представляется в виде суммыэлемента R0 и элемента из подгруппы hri, и это представлениеоднозначно определено.Итак, по утверждению 1.71,R∼= R0 ⊕ hr′ i ∼= Zk ⊕ Z ∼= Zm ,где 0 6 m 6 n.Отметим очевидное следствие из доказанной леммы.Следствие 1.76. Для любой конечно порожденной абелевойгруппы существует такой конечный набор соотношенийc1 , .
. . , ck , что всякое соотношение c между порождающимиявляется следствием c1 , . . . , ck .Итак, из утверждения 1.73 и леммы 1.75 вытекает, чтолюбую конечно порожденную абелеву группу с n порождающими элементами можно задать целочисленной матрицейразмера m × n, m 6 n, c1c11 c12 . .
. c1n c2 c21 c22 . . . c2n M = . . . = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .cmcm1 cm2 . . . cmn62Глава 1.ГруппыЛюбой матрице M указанного вида соответствует группаA(M ) = Zn /hc1 , c2 , . . . , cm i.Некоторым матрицам соответствует одна и та же группа.Чтобы описать матрицы, которые задают изоморфные группы, введем понятие элементарного преобразования матрицы.Элементарное преобразование целочисленной матрицы —это одно из следующих преобразований:• прибавление к элементам одной строки соответствующихэлементов другой строки, умноженных на одно и то жецелое число;• прибавление к элементам одного столбца соответствующих элементов другого столбца, умноженных на одно ито же целое число;• перестановка строк;• перестановка столбцов;• умножение элементов некоторой строки или столбца на−1.Лемма 1.77.
Пусть M ′ получена из M последовательностьюэлементарных преобразований. Тогда A(M ) ∼= A(M ′ ).Доказательство. Так как отношение изоморфизма транзитивно, лемму достаточно проверить для матриц, связанныходним элементарным преобразованием. Очевидно, что перестановка строк не влияет на A(M ), равно как и умножениена −1.Перестановка столбцов приводит к перестановке порождающих, что дает изоморфную группу (изоморфизм переставляет компоненты, см. пример 1.35).Рассмотрим прибавление кратного строки. Пусть ′c1c1 c2 c2 ′M = , M = , c′1 = c1 + tc2 , t ∈ Z..... . .cmcmТогда c1 = c′1 − tc2 , поэтому hc1 , c2 , . .
. , cm i = hc′1 , c2 , . . . , cm i.1.12.63Абелевы группыТеперь рассмотрим прибавление кратного столбца. Пусть ′c11 c12 . . . c1nc11 c12 . . . c1n c21 c22 . . . c2n c′21 c22 . . . c2n ′M =. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , M = . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . ,cm1 cm2 . . . cmnc′m1 cm2 . . . cmnгде c′i1 = ci1 + tci2 , t ∈ Z. Обозначим порождающие группыA(M ) через a1 , a2 , . . . , an , а порождающие группы A(M ′ ) черезa′1 , a′2 , . . . , a′n . Построим такой изоморфизм ϕ : A(M ) → A(M ′ ),чтоϕ(a1 ) = a′1 , ϕ(a2 ) = ta′1 + a′2 , ϕ(a3 ) = a′3 , . . . , ϕ(an ) = a′n .(1.14)Поскольку ϕ должен сохранять операции, образ любого элемента A(M ) определен условиями (1.14):ϕ(x1 a1 + x2 a2 + · · · + xn an ) = x1 ϕ(a1 ) + x2 ϕ(a2 ) + · · · + xn ϕ(an ).(1.15)Проверим, что формула (1.15) корректно задает отображениеиз A(M ) в A(M ′ ).
ПустьmX(x1 − y1 , . . . , xn − yn ) =λj cj , λj ∈ Z,j=1т. е. x = x1 a1 + x2 a2 + · · · + xn an = y1 a1 + y2 a2 + · · · + yn an = yв группе A. ТогдаmXj=1λj c′j = ((x1 − y1 ) + t(x2 − y2 ), x2 − y2 , . . . , xn − yn ),поэтому(x1 − y1 )a′1 + t(x2 − y2 )a′1 + (x2 − y2 )a′2 + · · · + (xn − yn )a′n == (x1 − y1 )ϕ(a1 ) + (x2 − y2 )ϕ(a2 ) + · · · + (xn − yn )ϕ(an ) = 0,так что ϕ(x) = ϕ(y).Обратное отображение задается формуламиϕ−1 (a′1 ) = a1 , ϕ−1 (a′2 ) = −ta1 + a2 , ϕ−1 (a′3 ) = a3 , . .
.. . . , ϕ−1 (a′n ) = an ,корректность которых доказывается аналогично.64Глава 1.ГруппыДля доказательства теоремы 1.69 мы применим следующую теорему.Теорема 1.78 (нормальная форма Смита). Целочисленную матрицу M размера m × n, m 6 n, можно привестиэлементарными преобразованиями к такому виду, что всеэлементы вне главной диагонали равны 0, а для диагональныхэлементов mii выполняется условие: mii делит m(i+1)(i+1) .Доказательство. Если матрица состоит из одних нулей, тоутверждение теоремы справедливо.Пусть в M есть ненулевые элементы. Будем применять к Mэлементарные преобразования до тех пор, пока можно уменьшить минимальную абсолютную величину ненулевого элемента матрицы. Затем перестановками строк и столбцов (и умножением строк на −1) добьемся, чтобы m11 стал положительным элементом с минимальной абсолютной величиной средиэлементов матрицы.Докажем, что все ненулевые элементы матрицы делятсяна m11 .
Пусть mi1 не делится на m11 . Разделим mi1 на m11с остатком: mi1 = qm11 + r. Если вычесть из i-й строкипервую строку, умноженную на q, то m′i1 = r, т. е. мы уменьшили минимальную абсолютную величину ненулевых элементов матрицы. Аналогично рассуждаем для элементов первойстроки.Пусть теперь mij не делится на m11 , т. е. mij = qm11 + r,0 < r < m11 . Как уже доказано, mi1 = am11 , m1j = bm11 .И в этом случае элементарными преобразованиями матрицыможно уменьшить минимальную абсолютную величину ненулевых элементов матрицы.
Вычтем из i-й строки первую строку, умноженную на (a − 1), а затем из j-го столбца вычтемпервый столбец, умноженный на q − (a − 1)b. После этихпреобразований (i, j)-й элемент матрицы будет равен r, какпоказывают вычисления (приводим только минор матрицы,образованный первой и i-й строкой и первым и j-м столбцом):m11bm11m11bm11→→am11 qm11 + rm11 (q − (a − 1)b)m11 + rm11 (b − q + (a − 1)b)m11→.m11r1.12.Абелевы группы65Поскольку все ненулевые элементы матрицы делятся наm11 , можно элементарными преобразованиями сделать равными нулю все элементы первого столбца и первой строки, заисключением m11 (вычитая подходящие кратные первой строки или первого столбца).
После этого матрица приобретаетвидm11 0M=,0M′где все ненулевые элементы матрицы M ′ делятся на m11 , аразмер M ′ меньше, чем у исходной матрицы.К матрице M ′ можно применить такие же преобразования,какие были применены к M и т. д. В конце концов получимтребуемую форму матрицы.Доказательство теоремы 1.69.
Пусть A — конечно порожденная абелева группа. Представим ее в виде A ∼= A(M ). В силу леммы 1.77 и теоремы 1.78 можно считать, что матрица Mдиагональная. Если M = 0, то A ∼= Zn . В противном случаеобозначим ненулевые диагональные элементы матрицы M через ni , 1 6 i 6 k, соответствующие столбцам M порождающиеPэлементы обозначим через ai . Соотношение видаi xi ai == 0 является следствием соотношений из диагональной матрицы M тогда и только тогда, когда ni | xi . Последнее означает,что xi ai = 0. Это означает, что разложение любого элементагруппы в сумму порождающих однозначно.
Поэтому, пользуясь утверждением 1.71, получаем, что группа A изоморфнапрямой сумме циклических групп hai i.Анализ структуры конечных абелевых групп можно продолжить. Для этого необходимы некоторые факты из элементарной теории чисел. В главе 2 эти факты будут выведеныиз более общей теории. Заметим, что доказательства этихфактов не используют утверждений из данного раздела, такчто порочного круга в рассуждениях можно не опасаться.Из следствия 2.43 вытекает, что если p, q — взаимно простые числа, то Cpq ∼= Cp ⊕ Cq . Поэтому можно построить такоеразложение конечно порожденной абелевой группы в прямуюсумму циклических, в котором все слагаемые — группы порядка pk , где p — простое число (примарные компоненты).66Глава 1.ГруппыОказывается, что набор порядков примарных компонент определен однозначно.Теорема 1.79.
Любая конечная абелева группа изоморфнапрямой сумме циклических групп порядков pk , p — простое,причем количество примарных компонент порядка pk одинаково для любого разложения в прямую сумму.Доказательство. Первая часть теоремы, как уже сказано,вытекает из теоремы 1.69 и следствия 2.43. Осталось доказатьвторую часть. В этом доказательстве мы используем основную теорему арифметики об однозначности разложения целого числа на простые множители (следствие из теоремы 2.39,доказываемой в следующей главе).Итак, пусть имеется конечная абелева группа A.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
