Ю.И. Журавлёв, Ю.А. Флёров, М.Н. Вялый - Дискретный анализ. Основы высшей алгебры (1127101), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Ее можноразложить в прямую сумму примарных компонент:kk1s1k12rsrkr1A∼= Cpk111 ⊕C(p2 ⊕· · ·⊕C(p )s1 ⊕· · ·⊕Cpr ⊕· · ·⊕C(p )sr . (1.16)1)1rВыберем одно из чисел pi и докажем, что числа kij не зависят от выбора разложения (1.16). Повторяя это рассуждениедля всех простых делителей порядка группы, получим отсюдаутверждение теоремы. Для простоты обозначений полагаемpi = p, kij = kj , si = s.Возведение в степень ϕn : x 7→ nx является гомоморфизмомабелевой группы, так как n(x + y) = nx + ny.
Обозначим черезA(n) образ A при гомоморфизме возведения в n-ю степень.Порядок группы |A| = pa0 q, где p ∤ q. Из основной теоремы арифметики следует, что число a0 определено однозначно.tОбозначим at = |A(p q) |, 1 6 t < a0 . В определении чисел atне использовалось никакого разложения вида (1.16). Поэтому,если мы выразим kj через at , то тем самым докажем, что числаkj также не зависят от выбора разложения.Докажем, что(n)(n)(A1 ⊕ A2 )(n) ∼= A1 ⊕ A2 .(n)(1.17)Каждый элемент x ∈ (A1 ⊕ A2 )имеет вид (nx1 , nx2 ), гдеx1 ∈ A1 , x2 ∈ A2 .
Отображение α : x 7→ (nx1 , nx2 ) задаетискомый изоморфизм. Прежде всего нужно проверить корректность. Если nx = ny, где x = x1 + x2 , y = y1 + y2 ,x1 , y1 ∈ A1 , x2 , y2 ∈ A2 , то по определению прямой суммы1.12.67Абелевы группыnx1 = nx2 , ny1 = ny2 . Таким образом, отображение α корректно определено (не зависит от выбора представителя классасмежности). Проверим, что α сохраняет операцию:α (nx1 , nx2 ) + (ny1 , ny2 ) = α(nx1 + ny1 , nx2 + ny2 ) == (nx1 + ny1 , nx2 + ny2 ) = (nx1 , nx2 ) + (ny1 , ny2 ) == α(nx1 , nx2 ) + α(ny1 , ny2 ).Из определения ясно, что α является взаимно однозначнымотображением.По индукции можно доказать, что соотношение (1.17) выполняется и для прямой суммы нескольких слагаемых.Чтобы выразить at через kj , найдем образы циклическихгрупп при гомоморфизмах возведения в степень.Если n делится на m, то для любого x ∈ Cm выполненоnx = 0 (порядок элемента делит порядок группы).
Значит,(n)в этом случае Cm — единичная группа. С другой стороны,если n взаимно просто с m, то для любого x ∈ Cm выполненоnx 6= 0. Это означает, что ядро гомоморфизма возведения в(n)степень в этом случае нулевое и Cm = Cm .(n)Пусть n = pt , m = pk . Если t < k, то Cm = Cpk−t (кратныеpt имеют вид pt ua, 0 6 u < pk−t − 1, a — порождающий Cm ).(n)Если t > k, то Cm — единичная, так как n делит порядокгруппы.Из разложения (1.16) и изоморфизма (1.17) получаемtA(pq)ks∼.= Cpkt+1 ⊕ Cp2t+2 ⊕ · · · ⊕ Cpks−tПорядок группы равен произведению порядков прямых слагаемых.
Поэтому получаем систему уравненийk1 + 2k2 + 3k3 + · · · + iki + (i + 1)ki+1 + · · · + sks =a0 ,k2 + 2k3 + · · · + (i − 1)ki + iki+1 + · · · + (s − 1)ks =a1 ,...ki + 2ki+1 + · · · + (s − i + 1)ks =ai ,...ks =as−1 ,из которой kj однозначно выражаются через at .68Глава 1.Группы1.13. ЗадачиНекоторые из предлагаемых ниже задач очень просты иполучаются немедленным применением приведенных в основном тексте рассуждений. Но есть и сложные задачи, которыетребуют привлечения новых идей.1.1. Является ли ассоциативной операция ∗ на множествеположительных действительных чисел, задаваемая формулойxy?x∗y =x+y1.2.
Построить пример неассоциативной бинарной операции, для которой выполняются аксиома единицы и аксиомаобратного элемента.1.3. Доказать, что конечное множество G, в котором определена ассоциативная алгебраическая операция и каждое изуравнений ax = b, ya = b для любых a и b из G имеет в Gединственное решение, будет группой.1.4. Пусть в полугруппе G есть правая единица e (длялюбого x ∈ G выполнено xe = x) и для любого x ∈ G естьправый обратный x−1 (x · x−1 = e). Доказать, что тогда G —группа (в частности, единица в ней единственна и для каждогоэлемента обратный тоже единственен).1.5.
Выяснить, образуют ли группы следующие множествапри указанной операции над элементами:1) целые числа относительно сложения;2) четные числа относительно сложения;3) целые числа, кратные данному натуральному числу n,относительно сложения;4) степени данного действительного числа a, a 6= 0, ±1, сцелыми показателями относительно умножения;5) неотрицательные целые числа относительно сложения;6) нечетные целые числа относительно сложения;7) целые числа относительно вычитания;8) рациональные числа относительно сложения;9) рациональные числа относительно умножения;10) рациональные числа, отличные от нуля, относительноумножения;1.13.Задачи6911) положительные рациональные числа относительноумножения;12) положительные рациональные числа относительно деления;13) двоично-рациональные числа, т.
е. рациональные числа,знаменатели которых, — степени числа 2 с целыми неотрицательными показателями, относительно сложения;14) все рациональные числа, знаменатели которых равныпроизведениям простых чисел из данного множества M (конечного или бесконечного) с целыми неотрицательными показателями (лишь конечное число которых может быть отличноот нуля), относительно сложения;15) корни n-й степени из единицы (как действительные, таки комплексные) относительно умножения;16) корни всех целых положительных степеней из единицыотносительно умножения;17) матрицы порядка n с действительными элементами относительно умножения;18) невырожденные матрицы порядка n с действительнымиэлементами относительно умножения;19) матрицы порядка n с целыми элементами относительноумножения;20) матрицы порядка n с целыми элементами и определителем, равным 1 относительно умножения;21) матрицы порядка n с целыми элементами и определителем, равным ±1 относительно умножения;22) матрицы порядка n с действительными элементами относительно сложения;23) перестановки чисел 1, 2, .
. . , n относительно композицииперестановок;24) четные перестановки чисел 1, 2, . . . , n относительно композиции перестановок;25) нечетные перестановки чисел 1, 2, . . . , n относительнокомпозиции перестановок;26) взаимно однозначные отображения множества натуральных чисел на себя, каждое из которых перемещает (отображает не в себя) лишь конечное число чисел, если за произведение отображений s и t принята композиция s◦t отображений(последовательное выполнение отображений t, затем s);70Глава 1.Группы27) преобразования множества M , т. е. взаимно однозначные отображения этого множества на себя, относительно композиции отображений;28) векторы n-мерного линейного пространства Rn относительно сложения;29) параллельные переносы трехмерного пространства R3относительно композиции движений;30) повороты трехмерного пространства R3 вокруг прямых,проходящих через данную точку O относительно композициидвижений;31) все движения трехмерного пространства R3 относительно композиции движений;32) положительные действительные числа относительнооперации a ∗ b = ab ;33) положительные действительные числа относительнооперации a ∗ b = a2 b2 ;34) действительные многочлены степени не выше n от неизвестного x и нулевой многочлен относительно сложения;35) действительные многочлены степени n от переменнойx относительно сложения;36) действительные многочлены любых степеней (включая 0) от переменной x относительно сложения;37) отрезок [0, 1] c операцией ⊕, где α ⊕ β — дробная частьα + β;38) множество функций видаy=ax + b,cx + dгде a, b, c, d ∈ R и ad − bc 6= 0.1.6.
Доказать, что множество A1 (R) так называемых аффинных преобразований ϕa,b : x 7→ ax + b (a, b ∈ R; a 6= 0)вещественной прямой R образует группу с законом умножения ϕa,b ϕc,d = ϕac,ad+b . В группе A1 (R) содержится подгруппаGL(1, R), оставляющая точку x = 0 на месте, и подгруппа«чистых сдвигов» x 7→ x + b.1.7. В любой ли группе выполняются тождестваа) (ab)−1 (ab−1 a−1 )−1 a = e,б) (aba−1 b−1 )(bab−1 a−1 )−1 = e?1.13.71Задачи1.8.
Для любых трех элементов a, b, c группы G выполняется равенствоabc = cba.Верно ли, что группа коммутативная?1.9. Пусть в группе G выполняется тождество a · a = e.Доказать, что G — коммутативная.1.10*. Доказать, что группа корней n-й степени из единицыявляется единственной мультипликативной группой n-го порядка с комплексными элементами.1.11*. Найти все (с точностью до изоморфизма) группы порядка а) 3; б) 4; в) 6. Выписать таблицы умножения этих группи представить эти группы в виде групп перестановок.1.12. Доказать, что группы 1) – 4) задачи 1.5 изоморфнымежду собой.1.13*.
Доказать, что:а) симметрическая группа Sn при n > 1 порождается транспозициями (1 2), (1 3), . . . , (1 n);б) знакопеременная группа An при n > 2 порождается множеством всех тройных циклов (i j k);в) знакопеременная группа An при n > 2 порождаетсятройными циклами: (1 2 3), (1 2 4), (1 2 n).1.14. Найти минимальное количество перестановок n элементов, порождающих группу Sn , n > 3.1.15. Найти порядок элемента1 2 3 4 51 2 3 4 5 6∈ S5 ,∈ S6 .2 3 1 5 42 3 4 5 1 61.16.
Существует ли в S6 элемент порядка 8?1.17. Циклична ли группа C2 × C5 ?1.18. В циклической группе hai порядка n найти все элементы g, удовлетворяющие условию g k = e, и все элементыпорядка k приа) n = 24, k = 6;б) n = 100, k = 20;в) n = 100, k = 5;г) n = 360, k = 30;д) n = 360, k = 12;е) n = 360, k = 7.72Глава 1.Группы1.19. Пусть G = hai — конечная циклическая группа порядка n.
Доказать утверждения:а) для любого делителя d числа n существует единственнаяподгруппа H группы G, имеющая порядок d;б) порождающими подгруппы H порядка d являются всеэлементы порядка d группы G. В частности, H = han/d i.1.20. Доказать, что если элемент x группы G имеет бесконечный порядок, то xk = xm тогда и только тогда, когдаk = m.1.21.
Доказать, что если e — единица и a — элемент порядкаn группы G, то ak = e тогда и только тогда, когда k делитсяна n.1.22. Найти порядок элемента xk , если порядок элемента xравен n.1.23. Доказать утверждения:а) если элементы a и b группы G перестановочны (коммутируют), т. е.ab = ba(1◦ )и имеют конечные взаимно простые порядки r и s, то их произведение ab имеет порядок rs;б) если элементы a и b группы G перестановочны, имеютконечные порядки r и s и пересечение порожденных ими циклических подгрупп содержит лишь единицу e, т. е.hai ∩ hbi = hei,(2◦ )то порядок произведения ab равен наименьшему общему кратному r и s. Показать на примерах, что для справедливости последнего утверждения каждого из условий (1◦ ) и (2◦ ) в отдельности недостаточно и что условие (1◦ ) не является следствиемусловия (2◦ ), даже для взаимно простых порядков элементовa и b;в) если порядки r и s элементов a и b взаимно просты, тоусловие (2◦ ) выполняется;г) показать на примере, что без условия (2◦ ) порядок произведения ab не определяется однозначно порядками сомножителей a и b.1.24.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
