Главная » Просмотр файлов » Ю.И. Журавлёв, Ю.А. Флёров, М.Н. Вялый - Дискретный анализ. Основы высшей алгебры

Ю.И. Журавлёв, Ю.А. Флёров, М.Н. Вялый - Дискретный анализ. Основы высшей алгебры (1127101), страница 10

Файл №1127101 Ю.И. Журавлёв, Ю.А. Флёров, М.Н. Вялый - Дискретный анализ. Основы высшей алгебры (Ю.И. Журавлёв, Ю.А. Флёров, М.Н. Вялый - Дискретный анализ. Основы высшей алгебры) 10 страницаЮ.И. Журавлёв, Ю.А. Флёров, М.Н. Вялый - Дискретный анализ. Основы высшей алгебры (1127101) страница 102019-05-11СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

Что же будет ядром гомоморфизма ϕ? Пусть q — минимальное положительное число,для которого aq = e. Тогда Ker ϕ = {lq | l ∈ Z} (доказательство аналогично тому рассуждению, с помощью которого былинайдены все подгруппы циклической группы в теореме 1.27).Пример 1.62. Рассмотрим мультипликативную группу положительных чисел с операцией умножения (R∗+ , ·), а также1.11.Ядро гомоморфизма55(R, +) — аддитивную группу действительных чисел. Отображение ϕ : a 7→ ln a является гомоморфизмом в силу известногосвойства логарифма.

Поскольку Ker ϕ = {1}, этот гомоморфизм является изоморфизмом.Теорема 1.63 (теорема о гомоморфизме групп). Пустьϕ : G → G′ — гомоморфизм с ядром Ker ϕ = K. Тогда K ⊳ G иG/K ∼= ϕ(G).Обратно, если K ⊳ G, то существуют группа G′ , а именноG/K, и гомоморфизм π : G → G′ (π : G → G/K) такие, чтоKer π = K.Т. е. гомоморфный образ группы изоморфен факторгруппепо ядру гомоморфизма. Звучит немного угрожающе, но разобраться с этой теоремой несложно.Доказательство.

Докажем, что ядро гомоморфизма является нормальной подгруппой. Возьмем h ∈ Ker ϕ и проверим, чтоϕ(g −1 hg) = e′ :ϕ(g −1 hg) = ϕ(g −1 ) ◦ ϕ(h) ◦ ϕ(g) = ϕ(g)−1 ◦ ϕ(g) = e′ .Определим отображение ϕ̃ : G/K → G′ так, что образомсмежного класса по K является образ при гомоморфизме ϕлюбого элемента из этого класса, т. е. ϕ̃ : (gK) 7→ ϕ(g).Это определение корректно, так как из g1 = g2 x, x ∈ K,следует ϕ(g1 ) = ϕ(g2 x) = ϕ(g2 ) ◦ ϕ(x) = ϕ(g2 ) ◦ e′ = ϕ(g2 ).Значит, образы представителей смежного класса по K пригомоморфизме ϕ одинаковы.Далее,ϕ̃ (g1 K) · (g2 K) = ϕ̃ (g1 g2 K) == ϕ(g1 g2 ) = ϕ(g1 ) ◦ ϕ(g2 ) = ϕ̃ (g1 K) ◦ ϕ̃ (g2 K) .Мы доказали, что образ произведения равен произведениюобразов. Следовательно, ϕ̃ — гомоморфизм. Докажем, что ϕ̃не только гомоморфизм, но и изоморфизм.

Для этого нужнодоказать, что отображениеϕ̃ взаимно однозначно. Действительно, из ϕ̃ g1 K) = ϕ̃ (g2 K) следует ϕ(g1 ) = ϕ(g2 ), откудаполучаем ϕ(g1−1 g2 ) = e′ . Значит, g1−1 g2 ∈ K, т. е. g1 K = g2 K.56Глава 1.ГруппыОчевидно, что Im ϕ̃ = Im ϕ (образ отображения ϕ̃ совпадает с образом отображения ϕ). Поэтому ϕ̃ — искомый изоморфизм G/K и ϕ(G) = Im ϕ.Обратное утверждение в теореме совершенно тривиально.Пусть K ⊳ G. Построим гомоморфизм π : G → G/K формулойπ : g 7→ (gK). Тогда Ker π = K. Этот гомоморфизм называется естественным (или каноническим) гомоморфизмом.

Еслиу вас возникает задача построить гомоморфизм, ядро которого задано, то нужно просто брать элементы и отображать всмежный класс по той группе, которая объявлена ядром. Следствие 1.64. Если Ker ϕ = {e}, то G ∼= ϕ(G).Следствие 1.64 удобно использовать при доказательстве того, что некоторое отображение ϕ является изоморфизмом: достаточно проверить тривиальность ядра и сюръективностьотображения ϕ.

Отображение ϕ : G → H называется сюръективным, если оно является отображением на H. Напомним,что это в точности означает, что у каждого элемента h ∈H есть хотя бы один прообраз (такой элемент g ∈ G, чтоϕ(g) = h).Пример 1.65. Пусть Z[x] — аддитивная группа полиномовот x с целыми коэффициентами. Теперь возьмем множествоH = {(x − 3)f (x) | f (x) ∈ Z[x]} — множество полиномов, укоторых есть множитель x − 3. Очевидно, H ⊳ Z[x] (любаяподгруппа коммутативной группы нормальна). Как построитьфакторгруппу?Рассмотрим гомоморфизм ϕ : f (x) 7→ f (3), который каждому многочлену ставит в соответствие его значение в точке 3.В ноль отобразятся только элементы из H. Таким образом,Z[x]/H ∼= Z.Пример 1.66 (продолжение примера 1.38).

В ядро гомоморфизма det : GL(R, n) → R∗ входят матрицы с определителем 1. Группа таких матриц обозначается SL(R, n). Онаявляется нормальной подгруппой GL(R, n).Пример 1.67 (продолжение примера 1.39). В ядро гомоморфизма sgn : Sn → {±1} входят четные перестановки. Группа четных перестановок называется знакопеременной группой1.12.Абелевы группы57(или альтернирующей группой) и обозначается An . Она является нормальной подгруппой в Sn .Замечание 1.68. Если H ⊳ G, то |G| = |H| · |G/H| (считаемгруппы конечными). Поэтому между элементами G и множеством пар (h, f ), где h ∈ H, f ∈ G/H, существует взаимнооднозначное соответствие.

Однако было бы ошибкой думать,что G ∼= H ×(G/H). Простейший пример, когда такого изоморфизма нет, — группа S3 . Как мы видели в примере 1.40, группаH = h(123)i является нормальной подгруппой S3 . ПодгруппаH — циклическая группа C3 порядка 3. Факторгруппа S3 /Hсостоит из двух элементов, а потому изоморфна циклическойгруппе C2 . Но S3 6∼= C3 × C2 (группа C3 × C2 коммутативная,а S3 — нет).1.12.

Абелевы группыВ этом разделе мы полностью опишем структуру конечнопорожденных абелевых групп. Группа A называется конечнопорожденной, если она порождается конечным множествомсвоих элементов: A = hBi, |B| < ∞.При работе с абелевыми группами удобнее использоватьаддитивную запись. Поэтому (а также по более важным причинам) прямые произведения абелевых групп называются прямыми суммами.Дадим определение прямой суммы абелевых групп, переписав с необходимыми изменениями в обозначениях определениепрямого произведения из примера 1.35.Прямой суммой абелевых групп A1 , A2 называется группа A1 ⊕ A2 , элементами которой являются все пары (x1 , x2 ),где x1 ∈ A1 , x2 ∈ A2 . Групповая операция в A1 ⊕ A2 — этопокомпонентное выполнение операций в A1 и A2 : (x1 , x2 ) ++ (y1 , y2 ) = (x1 + y1 , x2 + y2 ).Аналогично определяется прямая сумма нескольких группA1 , A2 , . .

. , An , которая обозначается A1 ⊕ A2 ⊕ . . . ⊕ An .Это множество наборов (x1 , . . . , xn ), где xi ∈ Ai , а групповаяоперация на нём — покомпонентное сложение(x1 , . . . , xn ) + (y1 , . . . , yn ) = (x1 + y1 , . . . , xn + yn ).58Глава 1.ГруппыПроверка групповых аксиом не составляет труда: нулевым элементов группы A1 ⊕ A2 ⊕ . . . ⊕ An является набор (01 , . . . , 0n );ассоциативность непосредственно вытекает из ассоциативности операций в компонентах; элемент, противоположный элементу (x1 , .

. . , xn ), записывается как (−x1 , . . . , −xn ).Прямая сумма n экземпляров одной и той же группы Aобозначается An . Мы уже встречали прямые суммы абелевыхгрупп в примерах: группа из примера 1.5 есть не что иное, какC2n , а группа из примера 1.21 и была обозначена как R2 .Основные примеры абелевых групп — циклическая группа Cn порядка n и циклическая группа Z бесконечного порядка, которая есть просто аддитивная группа целых чисел.Теорема 1.69. Любая конечно порожденная абелева группаизоморфна прямой сумме циклических групп.Замечание 1.70.

Не все абелевы группы конечно порождены. Например, группа рациональных чисел Q относительносложения не является конечно порожденной. Рассмотрим подгруппу ha1 , a2 , . . . , an i, порожденную конечным набором рациональных чисел a1 , a2 , . . . , an . Любой элемент этой группывыражается как линейная комбинация чисел ai с целыми коэффициентами:x = x1 a1 + · · · + xn an .(1.11)Поэтому знаменатель несократимой записи x не превосходитпроизведения знаменателей ai , которое мы обозначим N . Поэтому число (N + 1)−1 не принадлежит группе ha1 , a2 , .

. . , an i.Для построения изоморфизма из теоремы 1.69 удобно выделить структуру прямой суммы «внутри» группы A. Дляэтого введем новые понятия суммы подгрупп и прямой суммыподгрупп.Абелева группа A = A1 + A2 + · · · + An , порожденная подгруппами A1 , A2 , . . . , An называется суммой подгрупп (илиразложением группы на подгруппы). Если при этом для любого элемента a ∈ A существует единственный набор такихai ∈ Ai , что a = a1 + a2 + · · · + an , то группа A1 + A2 + · · · + Anназывается прямым разложением группы на подгруппы (илипрямой суммой).1.12.59Абелевы группыУтверждение 1.71.

Если A = A1 + A2 + · · · + An — прямоеразложение абелевой группы, то A ∼= A1 ⊕ A2 ⊕ . . . ⊕ An .Доказательство. Искомый изоморфизм имеет видϕ : a 7→ (a1 , a2 , . . . , an ),где a = a1 + a2 + · · · + an .В силу определения прямого разложения отображение ϕ корректно определено и взаимно однозначно. Проверим, что ϕсохраняет операцию: если a = a1 + a2 + · · · + an , где ai ∈ Ai ,а b = b1 + b2 + · · · + bn , где bi ∈ Ai , то a + b = (a1 + b1 )++(a2 + b2 ) + · · · + (an + bn ) (здесь использована коммутативность), т. е. ϕ(a + b) = (a1 + b1 , a2 + b2 , .

. . ) = (a1 , . . . , an ) ++ (b1 , . . . , bn ) = ϕ(a) + ϕ(b).Замечание 1.72. В случае неабелевых групп существованиеразложения в произведение подгрупп не гарантирует, чтогруппа изоморфна прямому произведению подгрупп. ПустьH ⊳ G, K < G, H ∩ K = {e} и HK = G. В этом случае говорят,что группа разлагается в полупрямое произведение подгруппH и K (обозначение G = H ⋋ K). Для полупрямых произведений не выполняется аналог утверждения 1.71. Например,∼S3 = h(123)i ⋋ h(12)i =6 C3 × C2 .(сравни с замечанием 1.68).Теперь разберемся, какие соотношения могут быть междупорождающими конечно порожденной абелевой группы A == ha1 , a2 , . . .

, an i. Поскольку группа коммутативна, любое соотношение можно записать в видеc1 a1 + c2 a2 + · · · + cn an = 0,c1 , . . . , cn ∈ Z,(1.12)объединяя все слагаемые вида ai . Соотношение (1.12) будемзадавать набором c = (c1 , . . . , cn ) его коэффициентов. Еслиc1 , . . . , ck — соотношения, то x1 c1 + · · · + xk ck , xi ∈ Z, — такжесоотношение, которое мы будем называть следствием соотношений c1 , .

. . , ck (здесь + обозначает покомпонентную суммуцелочисленных наборов). Поэтому множество всех соотношений между порождающими группы A является подгруппойR группы Zn . Поскольку каждый элемент группы A можнозаписать в виде целочисленной комбинации порождающих, тонеудивительно следующее утверждение.60Глава 1.ГруппыУтверждение 1.73. Во введенных выше обозначениях A ∼=Zn /R.Пример 1.74.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
1,2 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6390
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее