Ю.И. Журавлёв, Ю.А. Флёров, М.Н. Вялый - Дискретный анализ. Основы высшей алгебры (1127101), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Что же будет ядром гомоморфизма ϕ? Пусть q — минимальное положительное число,для которого aq = e. Тогда Ker ϕ = {lq | l ∈ Z} (доказательство аналогично тому рассуждению, с помощью которого былинайдены все подгруппы циклической группы в теореме 1.27).Пример 1.62. Рассмотрим мультипликативную группу положительных чисел с операцией умножения (R∗+ , ·), а также1.11.Ядро гомоморфизма55(R, +) — аддитивную группу действительных чисел. Отображение ϕ : a 7→ ln a является гомоморфизмом в силу известногосвойства логарифма.
Поскольку Ker ϕ = {1}, этот гомоморфизм является изоморфизмом.Теорема 1.63 (теорема о гомоморфизме групп). Пустьϕ : G → G′ — гомоморфизм с ядром Ker ϕ = K. Тогда K ⊳ G иG/K ∼= ϕ(G).Обратно, если K ⊳ G, то существуют группа G′ , а именноG/K, и гомоморфизм π : G → G′ (π : G → G/K) такие, чтоKer π = K.Т. е. гомоморфный образ группы изоморфен факторгруппепо ядру гомоморфизма. Звучит немного угрожающе, но разобраться с этой теоремой несложно.Доказательство.
Докажем, что ядро гомоморфизма является нормальной подгруппой. Возьмем h ∈ Ker ϕ и проверим, чтоϕ(g −1 hg) = e′ :ϕ(g −1 hg) = ϕ(g −1 ) ◦ ϕ(h) ◦ ϕ(g) = ϕ(g)−1 ◦ ϕ(g) = e′ .Определим отображение ϕ̃ : G/K → G′ так, что образомсмежного класса по K является образ при гомоморфизме ϕлюбого элемента из этого класса, т. е. ϕ̃ : (gK) 7→ ϕ(g).Это определение корректно, так как из g1 = g2 x, x ∈ K,следует ϕ(g1 ) = ϕ(g2 x) = ϕ(g2 ) ◦ ϕ(x) = ϕ(g2 ) ◦ e′ = ϕ(g2 ).Значит, образы представителей смежного класса по K пригомоморфизме ϕ одинаковы.Далее,ϕ̃ (g1 K) · (g2 K) = ϕ̃ (g1 g2 K) == ϕ(g1 g2 ) = ϕ(g1 ) ◦ ϕ(g2 ) = ϕ̃ (g1 K) ◦ ϕ̃ (g2 K) .Мы доказали, что образ произведения равен произведениюобразов. Следовательно, ϕ̃ — гомоморфизм. Докажем, что ϕ̃не только гомоморфизм, но и изоморфизм.
Для этого нужнодоказать, что отображениеϕ̃ взаимно однозначно. Действительно, из ϕ̃ g1 K) = ϕ̃ (g2 K) следует ϕ(g1 ) = ϕ(g2 ), откудаполучаем ϕ(g1−1 g2 ) = e′ . Значит, g1−1 g2 ∈ K, т. е. g1 K = g2 K.56Глава 1.ГруппыОчевидно, что Im ϕ̃ = Im ϕ (образ отображения ϕ̃ совпадает с образом отображения ϕ). Поэтому ϕ̃ — искомый изоморфизм G/K и ϕ(G) = Im ϕ.Обратное утверждение в теореме совершенно тривиально.Пусть K ⊳ G. Построим гомоморфизм π : G → G/K формулойπ : g 7→ (gK). Тогда Ker π = K. Этот гомоморфизм называется естественным (или каноническим) гомоморфизмом.
Еслиу вас возникает задача построить гомоморфизм, ядро которого задано, то нужно просто брать элементы и отображать всмежный класс по той группе, которая объявлена ядром. Следствие 1.64. Если Ker ϕ = {e}, то G ∼= ϕ(G).Следствие 1.64 удобно использовать при доказательстве того, что некоторое отображение ϕ является изоморфизмом: достаточно проверить тривиальность ядра и сюръективностьотображения ϕ.
Отображение ϕ : G → H называется сюръективным, если оно является отображением на H. Напомним,что это в точности означает, что у каждого элемента h ∈H есть хотя бы один прообраз (такой элемент g ∈ G, чтоϕ(g) = h).Пример 1.65. Пусть Z[x] — аддитивная группа полиномовот x с целыми коэффициентами. Теперь возьмем множествоH = {(x − 3)f (x) | f (x) ∈ Z[x]} — множество полиномов, укоторых есть множитель x − 3. Очевидно, H ⊳ Z[x] (любаяподгруппа коммутативной группы нормальна). Как построитьфакторгруппу?Рассмотрим гомоморфизм ϕ : f (x) 7→ f (3), который каждому многочлену ставит в соответствие его значение в точке 3.В ноль отобразятся только элементы из H. Таким образом,Z[x]/H ∼= Z.Пример 1.66 (продолжение примера 1.38).
В ядро гомоморфизма det : GL(R, n) → R∗ входят матрицы с определителем 1. Группа таких матриц обозначается SL(R, n). Онаявляется нормальной подгруппой GL(R, n).Пример 1.67 (продолжение примера 1.39). В ядро гомоморфизма sgn : Sn → {±1} входят четные перестановки. Группа четных перестановок называется знакопеременной группой1.12.Абелевы группы57(или альтернирующей группой) и обозначается An . Она является нормальной подгруппой в Sn .Замечание 1.68. Если H ⊳ G, то |G| = |H| · |G/H| (считаемгруппы конечными). Поэтому между элементами G и множеством пар (h, f ), где h ∈ H, f ∈ G/H, существует взаимнооднозначное соответствие.
Однако было бы ошибкой думать,что G ∼= H ×(G/H). Простейший пример, когда такого изоморфизма нет, — группа S3 . Как мы видели в примере 1.40, группаH = h(123)i является нормальной подгруппой S3 . ПодгруппаH — циклическая группа C3 порядка 3. Факторгруппа S3 /Hсостоит из двух элементов, а потому изоморфна циклическойгруппе C2 . Но S3 6∼= C3 × C2 (группа C3 × C2 коммутативная,а S3 — нет).1.12.
Абелевы группыВ этом разделе мы полностью опишем структуру конечнопорожденных абелевых групп. Группа A называется конечнопорожденной, если она порождается конечным множествомсвоих элементов: A = hBi, |B| < ∞.При работе с абелевыми группами удобнее использоватьаддитивную запись. Поэтому (а также по более важным причинам) прямые произведения абелевых групп называются прямыми суммами.Дадим определение прямой суммы абелевых групп, переписав с необходимыми изменениями в обозначениях определениепрямого произведения из примера 1.35.Прямой суммой абелевых групп A1 , A2 называется группа A1 ⊕ A2 , элементами которой являются все пары (x1 , x2 ),где x1 ∈ A1 , x2 ∈ A2 . Групповая операция в A1 ⊕ A2 — этопокомпонентное выполнение операций в A1 и A2 : (x1 , x2 ) ++ (y1 , y2 ) = (x1 + y1 , x2 + y2 ).Аналогично определяется прямая сумма нескольких группA1 , A2 , . .
. , An , которая обозначается A1 ⊕ A2 ⊕ . . . ⊕ An .Это множество наборов (x1 , . . . , xn ), где xi ∈ Ai , а групповаяоперация на нём — покомпонентное сложение(x1 , . . . , xn ) + (y1 , . . . , yn ) = (x1 + y1 , . . . , xn + yn ).58Глава 1.ГруппыПроверка групповых аксиом не составляет труда: нулевым элементов группы A1 ⊕ A2 ⊕ . . . ⊕ An является набор (01 , . . . , 0n );ассоциативность непосредственно вытекает из ассоциативности операций в компонентах; элемент, противоположный элементу (x1 , .
. . , xn ), записывается как (−x1 , . . . , −xn ).Прямая сумма n экземпляров одной и той же группы Aобозначается An . Мы уже встречали прямые суммы абелевыхгрупп в примерах: группа из примера 1.5 есть не что иное, какC2n , а группа из примера 1.21 и была обозначена как R2 .Основные примеры абелевых групп — циклическая группа Cn порядка n и циклическая группа Z бесконечного порядка, которая есть просто аддитивная группа целых чисел.Теорема 1.69. Любая конечно порожденная абелева группаизоморфна прямой сумме циклических групп.Замечание 1.70.
Не все абелевы группы конечно порождены. Например, группа рациональных чисел Q относительносложения не является конечно порожденной. Рассмотрим подгруппу ha1 , a2 , . . . , an i, порожденную конечным набором рациональных чисел a1 , a2 , . . . , an . Любой элемент этой группывыражается как линейная комбинация чисел ai с целыми коэффициентами:x = x1 a1 + · · · + xn an .(1.11)Поэтому знаменатель несократимой записи x не превосходитпроизведения знаменателей ai , которое мы обозначим N . Поэтому число (N + 1)−1 не принадлежит группе ha1 , a2 , .
. . , an i.Для построения изоморфизма из теоремы 1.69 удобно выделить структуру прямой суммы «внутри» группы A. Дляэтого введем новые понятия суммы подгрупп и прямой суммыподгрупп.Абелева группа A = A1 + A2 + · · · + An , порожденная подгруппами A1 , A2 , . . . , An называется суммой подгрупп (илиразложением группы на подгруппы). Если при этом для любого элемента a ∈ A существует единственный набор такихai ∈ Ai , что a = a1 + a2 + · · · + an , то группа A1 + A2 + · · · + Anназывается прямым разложением группы на подгруппы (илипрямой суммой).1.12.59Абелевы группыУтверждение 1.71.
Если A = A1 + A2 + · · · + An — прямоеразложение абелевой группы, то A ∼= A1 ⊕ A2 ⊕ . . . ⊕ An .Доказательство. Искомый изоморфизм имеет видϕ : a 7→ (a1 , a2 , . . . , an ),где a = a1 + a2 + · · · + an .В силу определения прямого разложения отображение ϕ корректно определено и взаимно однозначно. Проверим, что ϕсохраняет операцию: если a = a1 + a2 + · · · + an , где ai ∈ Ai ,а b = b1 + b2 + · · · + bn , где bi ∈ Ai , то a + b = (a1 + b1 )++(a2 + b2 ) + · · · + (an + bn ) (здесь использована коммутативность), т. е. ϕ(a + b) = (a1 + b1 , a2 + b2 , .
. . ) = (a1 , . . . , an ) ++ (b1 , . . . , bn ) = ϕ(a) + ϕ(b).Замечание 1.72. В случае неабелевых групп существованиеразложения в произведение подгрупп не гарантирует, чтогруппа изоморфна прямому произведению подгрупп. ПустьH ⊳ G, K < G, H ∩ K = {e} и HK = G. В этом случае говорят,что группа разлагается в полупрямое произведение подгруппH и K (обозначение G = H ⋋ K). Для полупрямых произведений не выполняется аналог утверждения 1.71. Например,∼S3 = h(123)i ⋋ h(12)i =6 C3 × C2 .(сравни с замечанием 1.68).Теперь разберемся, какие соотношения могут быть междупорождающими конечно порожденной абелевой группы A == ha1 , a2 , . . .
, an i. Поскольку группа коммутативна, любое соотношение можно записать в видеc1 a1 + c2 a2 + · · · + cn an = 0,c1 , . . . , cn ∈ Z,(1.12)объединяя все слагаемые вида ai . Соотношение (1.12) будемзадавать набором c = (c1 , . . . , cn ) его коэффициентов. Еслиc1 , . . . , ck — соотношения, то x1 c1 + · · · + xk ck , xi ∈ Z, — такжесоотношение, которое мы будем называть следствием соотношений c1 , .
. . , ck (здесь + обозначает покомпонентную суммуцелочисленных наборов). Поэтому множество всех соотношений между порождающими группы A является подгруппойR группы Zn . Поскольку каждый элемент группы A можнозаписать в виде целочисленной комбинации порождающих, тонеудивительно следующее утверждение.60Глава 1.ГруппыУтверждение 1.73. Во введенных выше обозначениях A ∼=Zn /R.Пример 1.74.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
