Ю.И. Журавлёв, Ю.А. Флёров, М.Н. Вялый - Дискретный анализ. Основы высшей алгебры (1127101), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Возьмем пересечение всех подгрупп группы G, содержащих подмножество S. Это наименьшая подгруппа группы G, содержащаямножество S. Она называется подгруппой, порожденной S(обозначается hSi). По определению подгруппы, в hSi входитединица, элементы S, обратные к ним, все возможные произведения элементов S и их обратных по 2, 3, 4, и т. д. сомножителей.Говорят, что группа G порождается множеством M своих элементов, если G = hM i. Множество M в таком случаеназывается множеством порождающих . Например, из формулы (1.2) на с. 19 следует, что группа перестановок Sn порождается множеством циклов (i1 i2 . .

. ik ) всех возможных длин.Основная идея задания группы порождающими и соотношениями состоит в том, чтобы указать (небольшое, обычноконечное) количество элементов группы, которое порождаетгруппу (). Все остальные элементы группы записываются какпроизведения степеней порождающих. Конечно, не все такиевыражения дают различные элементы. Часть равенств следует непосредственно из групповых аксиом (например, всегда(ab)−1 = b−1 a−1 ). Помимо этого могут выполняться дополнительные равенства.

Их можно задать, указав такое множество соотношений между порождающими (равенств), чтовсе другие равенства следуют из соотношений и групповыхаксиом.Мы не будем давать формального определения заданиягруппы порождающими и соотношениями. Ограничимся тем,что приведем два примера.Пример 1.29 (циклическая группа). Один порождающийэлемент a и одно соотношение an = 1.

Ясно, что любое выражение, составленное из a, с учетом соотношения an = 1 равноak , 0 6 k 6 n − 1. С другой стороны, все ak , 0 6 k 6 n − 1, различны. Иначе выполнялось бы соотношение as = 1, 1 6 s < n,1.5.Задание группы порождающими и соотношениями33что невозможно. Строгое доказательство последнего утверждения уже требует введения дополнительного формализма,поэтому ограничимся нестрогим объяснением: поскольку существует циклическая группа Cn порядка n, в которой as 6= 1при 1 6 s < n, то соотношение as = 1 не следует из соотношения an = 1.

Последнее рассуждение называется построениеммодели.Пример 1.30 (диэдральная группа). Группа Dn (n > 3)имеет ось n-го порядка Cn и перпендикулярную ей ось второгопорядка C2 . Обозначим поворот на 2π/n вокруг Cn через r, аповорот на угол π вокруг C2 через p. Очевидно, чтоrn = 1,p2 = 1.(1.6)Заметим, что если повернуть n-угольник на угол 2π/n, осьвторого порядка перейдет в другую ось второго порядка.

Этоозначает, что(pr)2 = 1.(1.7)Три соотношения (1.6), (1.7) порождают группу диэдра.Действительно, из (1.7) следует, что prp = r−1 . Значит,prk p = prk−1 pprp = prk−1 pr−1 = . . . = r−k ,поэтому любое произведение элементов p и r равно такомупроизведению, в котором p встречается не более одного раза.С учетом (1.6) таких выражений 1 + 3(n− 1) штук: 1 = p0 = r0 ,rk , prk , rk p, где 1 6 k 6 n−1. Но из (1.7) следует, что rp = pr−1 ,поэтомуrk p = rk−1 pr−1 = . . .

= pr−k = prn−k .Итак в группе, порожденной соотношениями (1.6), (1.7), неболее 2n элементов. Поэтому она совпадает с Dn (опять используем рассуждение с моделью).Уже из этих примеров видно, что анализ группы, заданнойпорождающими и соотношениями, труден. Более того, оказывается, что не существует алгоритма, который бы проверялпо системе порождающих и соотношений, что заданная имигруппа нетривиальна (отлична от единичной группы).34Глава 1.Группы1.6.

Изоморфизм и гомоморфизмУ этих слов есть общая часть: «морфизм». В математикеесть общее понятие морфизма, однако нам понадобятся толькоизоморфизмы и гомоморфизмы.Много информации о группе можно получить из таблицыКэли (таблицы умножения) группыeg1...gn−1g1g12gn−1 g1. . . gn−1. . . g1 gn−1....2gn−1Как уже объяснялось выше, в каждой строке таблицы умножения элементы попарно различны, и в каждом столбце элементы также попарно различны (любая строка и любой столбец образуют перестановку элементов группы).Алгебраические свойства группы отражаются в таблице Кэли.

Скажем, если группа коммутативна, то таблица Кэли симметрична; если все элементы имеют порядок 2, то на диагонали стоят единичные элементы группы, и т. д.Пусть для сравнительно большой группы, скажем, порядка 20, выписана таблица умножения.

Занумеруем теперь элементы этой группы в другом порядке и напишем еще однутаблицу умножения. Глядя на эти таблицы, трудно понять,задают ли они одинаковую группу. И как вообще пониматьутверждение «две группы одинаковы»?С алгебраической точки зрения группы «одинаковы», еслиони изоморфны.Пусть есть отображение ϕ : G → G′ группы hG, ∗i в группу′hG , ◦i.Отображение ϕ называется изоморфизмом, если1) отображение ϕ взаимно однозначно;2) отображение ϕ сохраняет операцию, т. е.

образ произведения равняется произведению образов: ϕ(a ∗ b) = ϕ(a) ◦ ϕ(b).Рассмотрим некоторые свойства изоморфизма.1) Изоморфизм сохраняет единицу: ϕ(e) = e′ . Доказательство: для любого a ∈ G имеем a∗e = e∗a = a. Тогда по второмусвойству изоморфизма ϕ(a) ◦ ϕ(e) = ϕ(e) ◦ ϕ(a) = ϕ(a).1.6.Изоморфизм и гомоморфизм35Заметим, что в этом рассуждении мы использовали обасвойства из определения изоморфизма. Применяя второе свойство, мы можем раскрыть равенство ϕ(a ∗ e) = ϕ(e ∗ a) = ϕ(a).Согласно первому свойству ϕ(a) пробегает всю группу G′ , еслиa пробегает всю группу G.2) Образ обратного элемента — обратный элемент к образу:ϕ(a−1 ) = ϕ(a)−1 .Этот факт следует из равенстваϕ(a) ◦ ϕ(a−1 ) = ϕ(a ∗ a−1 ) = ϕ(e) = e′ ,которое и означает, что обратный к образу a элемент естьобраз обратного: ϕ(a)−1 = ϕ(a−1 ).3) Обратное отображение ϕ−1 является изоморфизмом.Взаимная однозначность обратного отображения очевидна, асохранение операции получается так:ϕ−1 (a ◦ b) = ϕ−1 ϕ(ϕ−1 (a)) ◦ ϕ(ϕ−1 (b)) == ϕ−1 ϕ(ϕ−1 (a) ∗ ϕ−1 (b)) = ϕ−1 (a) ∗ ϕ−1 (b).4) Композиция изоморфизмов является изоморфизмом:ψ(ϕ(a · b)) = ψ(ϕ(a) · ϕ(b)) = ψ(ϕ(a)) · ψ(ϕ(b)).Здесь для простоты записи операции во всех трех группахобозначены одинаково.Пример 1.31.

У бесконечной циклической группы hai естьдва порождающих элемента: a и a−1 . Никаких других порождающих нет. Степени любого элемента, отличного от a и a−1 ,не перечислят все элементы группы. Поэтому любая бесконечная циклическая группа изоморфна Z. Для установленияизоморфизма достаточно перевести a 7→ 1, тогда an 7→ n.Тем самым утверждение, которое мы сделали в теореме оциклических группах, полностью обосновано.Пример 1.32. Рассмотрим теперь две циклические группыA, B с одинаковым количеством элементов, скажем, n. Порождающий элемент группы A обозначим a, порождающийэлемент группы B обозначим b. Как уже говорилось выше,любой элемент A представляется в виде ak , 0 6 k < n. То жеверно и для группы B.

Рассмотрим отображение ϕ : A → B,36Глава 1.Группыкоторое задается правилом ϕ : ak →7bk . Это взаимно однозначное отображение. Более того, это изоморфизм, так какоперация сохраняется:ϕ(as · ar ) = ϕ(as+r ) = bs+r = bs · br = ϕ(as ) · ϕ(ar ).Итак, любые две циклические группы с одинаковым числом элементов изоморфны. Поэтому нет нужды различать их,когда используются только свойства групповой операции.Пример 1.33. Рассмотрим пример изоморфизма неабелевыхгрупп. Докажем, что D3 ∼= S3 .

Каждый элемент группы симметрий треугольника переводит треугольник в себя. Значит,вершины треугольника переходят в вершины. Пронумеруемвершины треугольника числами 1, 2, 3 и сопоставим элементуg ∈ D3 перестановку v(g) ∈ S3 чисел, которая задается перестановкой соответствующих вершин треугольника. Например,v(e) = () — каждая вершина остается на месте. Из построенияясно, что композиции элементов D3 соответствует композиция соответствующих перестановок.

С другой стороны, образы трех точек однозначно определяют движение плоскости.Поэтому разным элементам D3 соответствуют разные перестановки. Поскольку |D3 | = |S3 | = 6, указанное выше отображение v : D3 → S3 — изоморфизм.Пример 1.34. Среди правильных многогранников есть двойственные: куб двойственен октаэдру, а додекаэдр — икосаэдру.В частности, центры граней куба являются вершинами октаэдра, а центры граней додекаэдра — вершинами икосаэдра(это можно проверить и непосредственно).

Поскольку центрыграней при вращении переходят в центры граней, получаем изэтого наблюдения изоморфизм группы куба и группы октаэдра, а также группы додекаэдра и группы икосаэдра.Пример 1.35. По двум группам G, H можно построить группу, которая называется прямым произведением групп G и Hи обозначается G × H.

Элементами G × H являются все пары(g, h), где g ∈ G, h ∈ H. Операция в G × H — это покомпонентное выполнение операций в G и H:(g1 , h1 ) · (g2 , h2 ) = (g1 · g2 , h1 · h2 ).1.6.Изоморфизм и гомоморфизм37Относительно такой операции G × H является группой: ассоциативность очевидна, единицей G × H является пара (eG , eH )(здесь eG — единица группы G, а eH — единица группы H),обратным к (g, h) — элемент (g −1 , h−1 ).Порядок сомножителей в прямом произведении не важен,потому что G × H ∼= H × G.

Изоморфизм задается отображением, меняющим компоненты местами: ϕ : (g, h) 7→ (h, g). Взаимная однозначность и сохранение групповой операции очевидны.Пример 1.36. Изоморфизм группы с самой собой называетсяавтоморфизмом. Тривиальный пример автоморфизма — тождественное отображение.

Автоморфизмы группы G образуютотносительно композиции группу, которая называется группойавтоморфизмов. Важным примером автоморфизмов являютсявнутренние автоморфизмы, которые имеют видx 7→ gxg −1 ,где g — некоторый фиксированный элемент группы. Автоморфизмы, не являющиеся внутренними, называются внешними.Внутренние автоморфизмы также образуют группу относительно композиции. Если группа G коммутативна, то единственный ее внутренний автоморфизм — тождественное отображение.

Характеристики

Список файлов книги