Ю.И. Журавлёв, Ю.А. Флёров, М.Н. Вялый - Дискретный анализ. Основы высшей алгебры (1127101), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Далее возниклазадача решения уравнения 5-й степени. И вот здесь началисьсложности. Долгие безуспешные попытки найти формулу длярешения уравнения 5-й степени закончились тем, что Абельдоказал невозможность решения этой задачи в радикалах.Потом появляется Галуа. Он погиб в возрасте 20 лет, нозато оставил после себя работу, которая предопределила развитие алгебры на много лет вперед.
Созданные Галуа теориипродолжают использоваться в современной математике.Галуа предложил рассуждение, которое до сих пор является одним из основных средств рассуждений в алгебре. Представьте, что вам надо решить некоторую задачу. Задача сложная и никак не решается. Можно идти двумя путями: можносесть и решать, решать, решать, . . . , а можно пойти по другому пути. Например, пока не придумали мнимые числа, некоторые квадратные уравнения было нельзя решить, а вот когдаввели эту мнимую единичку, все сразу стало просто. Значит,второй способ состоит в том, чтобы расширить множество (чисел) так, чтобы у задачи появилось решение.
Галуа предложилочень общий метод решения уравнений. Если они не решаются,надо расширить множество возможных решений, точно также, как и в случае уравнения второй степени. И он предложил такие расширения, которые позволяют решать уравнениялюбой степени. Это так называемые расширения Галуа. Этаидея до настоящего времени является одной из основных всовременной математике. Если что-то не решается, то, бытьможет, нужно не биться лбом в стенку, а рассмотреть возможные расширения.Глава 1Группы1.1. Определение и простейшиесвойстваАбстрактная современная алгебра отличается от школьнойтем, что в ней рассматриваются произвольные операции, удовлетворяющие заданным свойствам (аксиомам).Мы будем рассматривать только бинарные операции, когда операция применяется к двум элементам.
Говорят, чтона множестве M определена бинарная алгебраическая операция ∗, если для всяких двух его элементов a и b однозначноопределен элемент c = a ∗ b, называемый произведением элементов a и b (порядок операндов важен!). Примерами такихопераций могут служить обычные операции сложения, вычитания или умножения на множестве действительных (иликомплексных) чисел, операция умножения на множестве квадратных матриц данного порядка, операция композиции намножестве перестановок из n элементов, операция векторного умножения на множестве векторов трехмерного пространства.Сам термин «произведение» подсказывает, что результатбинарной операции, примененной к элементам a и b, обозначается обычно a·b или даже ab. Это мультипликативная запись.Иногда используется аддитивная запись a + b, особенно в техслучаях, когда на одном множестве рассматриваются сразудве операции.
Когда используется аддитивная запись, результат операции обычно называется суммой.10Глава 1.ГруппыВ общем случае операция применяется к упорядоченному набору из n элементов множества M (и называется тогдаn-арной). Но нас такой общий случай интересовать не будет.По определению алгебраическая операция отличается тем,что ее результат не выводит из множества M (говорят также,что M замкнуто относительно определенной на нём алгебраической операции).
Этим алгебра принципиально отличаетсяот математического анализа. В математическом анализе естьоперации, которые выводят из множества. Например, операция нахождения производной непрерывной функции вовсе необязательно дает непрерывную функцию. В алгебре такое исключено.Рассмотрим несколько примеров алгебраических аксиом изадаваемых ими алгебраических структур.Полугруппы.
Имеется единственная аксиома a · (b · c) == (a · b) · c. Такое свойство называется ассоциативностью.Множество с одной операцией, от которой требуется только ассоциативность и ничего больше, называется полугруппой. Мыими заниматься не будем. Полугруппы встречаются довольно часто. Например, они важны для одной из современныхматематических теорий — так называемой теории автоматов.Пример 1.1. Пусть A — конечное множество.
Словом в алфавите A называется конечная последовательность элементов A. Множество слов в алфавите A обозначается A∗ . Дляслов определена операция конкатенации: дописывание одногослова вслед за другим. Например, конкатенация aa и bb даетaabb. Множество слов с операцией конкатенации образует полугруппу. Действительно, результат конкатенации слов u, v,w в каждом из двух случаев (uv)w и u(vw) — это слово, которое получается последовательным выписыванием символовслова u, за которыми следуют символы слова v, за которымиследуют символы слова w.Пример 1.2. Отображение множества X в множество Y ставит в соответствие каждому элементу множества X некоторыйэлемент множества Y (можно считать слова «отображение»и «функция» синонимами).
Обычно отображение f множества X в множество Y обозначается как f : X → Y , а записи1.1.Определение и простейшие свойства11f : x 7→ y и f (x) = y означают, что отображение f ставит всоответствие элементу x элемент y (y называется образом x).Если для каждого элемента y из множества Y существует хотя бы один элемент x из множества X такой, что f : x 7→ y(x в этом случае называется прообразом y), то отображение fназывается отображением на множество Y .На отображениях множества X в себя определена операциякомпозиции (последовательного выполнения).
Если f , g — дваотображения, то их композиция F = f ◦ g задается формулойF (x) = f (g(x)). Отображения множества в себя с операциейкомпозиции также образуют полугруппу:(f ◦ g)(h(x)) = f (g(h(x))) = f ((g ◦ h)(x)).Обратите внимание, что в обоих примерах порядок операндов существенен.Моноиды. Следующая алгебраическая структура — этомножество с такой операцией, для которой кроме ассоциативности требуется еще наличие единицы, т. е. такого элемента,произведение с которым слева и справа оставляет любой другой элемент неизменным.
Дополнительно мы потребуем, чтобы единичный элемент был единственным. Итак, имеем двеаксиомы:M1: x · (y · z) = (x · y) · z (ассоциативность);M2: (аксиома единицы) существует единственный единичныйэлемент e такой, что для любого x выполняется e · x == x · e = x.Множество с ассоциативной и обладающей единицей операцией называется моноидом.Рассмотренные выше примеры являются не только полугруппами, но и моноидами.
В множестве слов единичным элементом относительно конкатенации является пустое слово(последовательность длины 0). В множестве отображений единичным элементом относительно композиции является тождественное отображение: id : x 7→ x.Замечание 1.3. Поскольку результат операции, вообще говоря, зависит от порядка операндов, иногда бывают нужны12Глава 1.Группылевые и правые единицы. Элемент e называется левой единицей, если для любого x выполнено ex = x.
Аналогично, дляправой единицы выполняется тождество xe = x.Группы. Группа G = hM, ∗i — это такая пара из множества M и бинарной операции ∗ на этом множестве, чтовыполняются следующие свойства (аксиомы группы):G1: (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z) (ассоциативность);G2: (аксиома единицы) существует единственный единичныйэлемент e такой, что для любого x выполняется e ∗ x == x ∗ e = x;G3: для любого элемента x существует ровно один обратныйэлемент, т.
е. такой элемент y, для которого y∗x = x∗y == e (обратный элемент обозначается x−1 ).Группы с добавленным свойством коммутативности операции a ∗ b = b ∗ a называются коммутативными или абелевыми(по имени норвежского математика Абеля, который их изучал).При использовании мультипликативной записи x · y или xyединичный элемент группы традиционно называется единицейи обозначается e или 1. При аддитивной записи единичныйэлемент называется нулем и обозначается 0. Вместо термина «обратный» при аддитивной записи используется термин«противоположный».
Противоположный к элементу y обозначается −y. Аддитивная запись обычно (но далеко не всегда)используется для обозначения коммутативных операций.Группа называется конечной, если в ней (а точнее — вомножестве M ) конечное число элементов, которое называетсяпорядком группы.Посмотрим на простейшие формальные следствия из групповых аксиом.Первая аксиома группы означает независимость результатаприменения нескольких операций от расстановки скобок. Поиндукции можно распространить ее на сколь угодно длинные1.1.13Определение и простейшие свойствавыражения. Другими словами, если есть конечная последовательность элементов группы a1 , a2 , .
. . , an , то имеется однозначно определенный элемент группыa 1 a 2 . . . an ,который не зависит от того, в каком порядке расставлены скобки в этом выражении. Докажем это утверждение формально.Будем доказывать индукцией по числу сомножителей n,что при любой расстановке скобок произведение элементовa1 , . . . , an равно a1 (a2 (. .
. an ) . . . ). Основание индукции n == 3 — это аксиома ассоциативности. Пусть утверждение доказано для произведений n элементов. Рассмотрим произведение(n + 1)-го элемента. Оно имеет вид L · R, где в L и R элементовне больше n. Поэтому по предположению индукции L = a1 ·L′ ,а L · R = (a1 · L′ ) · R = a1 · (L′ · R).
В L′ · R всего n элементов,так что можно еще раз применить предположение индукции ивывести справедливость доказываемого утверждения для произведений (n + 1)-го элемента.Вторая и третья групповые аксиомы очень важны, потомучто позволяют решать уравнения простейшего вида ax = b иxa = b:ax = b ⇔ a−1 ax = a−1 b ⇔ x = a−1 b,xa = b⇔xaa−1 = ba−1⇔x = ba−1(знаком ⇔ обозначается равносильность утверждений).Решения уравнений указанного вида в числах проходят вмладших классах школы и дальнейшая школьная алгебра наних опирается. Если выполнены групповые аксиомы в какойнибудь более сложной ситуации (скажем, для движений пространства), то некоторые привычные равенства останутсясправедливыми. Обычно проверять групповые аксиомы проще, чем проверять разрешимость линейных уравнений (чтобыэто почувствовать, попробуйте решить уравнение ax = b, гдеa — поворот вокруг оси z на 90◦ против часовой стрелки, b —поворот вокруг оси x на 90◦ по часовой стрелке).Очень важно свойство сократимости: если взять два неравных элемента группы a 6= b и умножить их на один и тот жеэлемент c, то снова получатся неравные элементы: ac 6= bc.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
