Ю.И. Журавлёв, Ю.А. Флёров, М.Н. Вялый - Дискретный анализ. Основы высшей алгебры (1127101), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Если G коммутативна, то каждый ее элементявляется классом сопряженных элементов: gxg −1 = xgg −1 = x.Искать классы сопряженных элементов, исходя из определения, довольно сложно. Нужно выбрать элемент группы b ивычислять для каждого элемента группы g выражение gbg −1 .Для групп преобразований есть более простой способ, который мы кратко проиллюстрируем на примерах, предоставляячитателю восстановить детали рассуждений самостоятельно.Рассмотрим, например, группу движений. Из геометрических соображений ясно, что движения a и b сопряжены(a = gbg −1 ), когда это одно и то же преобразование, выполненное в двух разных системах координат (преобразованием g −1перешли в старую систему координат, применили b, вернулисьпреобразованием g в новую систему координат и получилипреобразование a, которое в старой системе координат записывается так же, как b в новой).
В частности, движение xax−1 ,сопряженное с поворотом a вокруг прямой ℓ, является поворотом на такой же угол вокруг той прямой ℓx , в которуюпереходит прямая ℓ при движении x (ℓx = x(ℓ)).В силу этих рассуждений повороты на один и тот же уголвокруг двух разных осей сопряжены, если в группе есть преобразование g, переводящее одну ось в другую, как показанона рис.
1.3 а). Если речь идет о поворотах вокруг одной осина одинаковые по абсолютной величине углы ψ, −ψ (но в разные стороны), то преобразований g может быть всего два: осьвторого порядка C2 , перпендикулярная данной оси Cn , илизеркальная плоскость σv , проходящая через ось, рис. 1.3 б).Ось Cn в этих двух случаях называется двусторонней.Пример 1.45. Найдем сопряженные элементы в группе диэдра Dn . Ответ зависит от четности n. Как и в примере 1.30,обозначим поворот на 2π/n вокруг Cn через r, а поворот наугол π вокруг C2 через p.Заметим, что повороты вокруг оси Cn на разные по абсолютной величине углы не сопряжены друг с другом.
А повороты на одинаковые углы, но в противоположных направлениях44Глава 1.ГруппыCnCnC2−g−vа)б)Рис. 1.3.сопряжены, так как есть перпендикулярная оси Cn ось C2 .Повороты на угол π вокруг осей C2 сопряжены тогда и толькотогда, когда эти оси можно совместить симметрией диэдра.В случае нечетного n любые две оси C2 можно совместитьповоротом вокруг Cn . Поэтому все элементы вида prk сопряжены. Итого получаем k + 2 классов сопряженных элементовв D2k+1 :{e}, {r, r−1 }, .
. . , {rk , r−k }, {p, pr, pr2 , . . . , pr2k }.В случае четного n поворотом вокруг Cn можно совместитьлибо те оси, которые проходят через пару противоположныхвершин, либо те, которые проходят через середины противоположных сторон (см. рис. 1.2 а) на с. 21). Поскольку вершиныпереходят в вершины, между собой эти оси совместить нельзя.Поэтому получаем k+3 классов сопряженных элементов в D2k :{e}, {r, r−1 }, .
. . , {rk−1 , r−k+1 }, {rk },{pr, pr3 , . . . , pr2k−1 }, {p, pr2 , . . . , pr2k−2 }.Пример 1.46. Найдем классы сопряженных элементов длягруппы перестановок Sn . Каждой перестановке сопоставимцикловой тип (c1 , c2 , . . . , cn ), где ci — количество циклов длины i в цикловом разложении. Другой способ задать цикловойтип — указать разбиение числа n в (неупорядоченную) суммунатуральных слагаемых.1.8.45Сопряженные элементыАналогично тому, как был рассмотрен случай сопряженияв группах движений, перестановка gag −1 получается применением перестановки g ко всем числам в разложении перестановки на независимые циклы (перенумерации элементов).Действительно, g −1 возвращает исходную нумерацию, далееприменяем a, после чего возвращаемся к новой нумерации спомощью g.Цикловой тип от нумерации, очевидно, не зависит, поэтомусопряженные перестановки имеют одинаковый цикловой тип.Верно и обратное: если две перестановки имеют одинаковыйцикловой тип, то можно найти взаимно однозначное соответствие между элементами их циклов, сохраняющее порядок вциклах.
Это соответствие и есть та перестановка, сопряжение спомощью которой переводит первую перестановку во вторую.Читателю рекомендуется проследить за этим рассуждением на конкретном примере. Скажем, перестановка (12)(34) сопряжена с (13)(24) посредством (1342).Проверим, что если H — подгруппа, то множествоgHg −1 = {ghg −1 | h ∈ H}также является подгруппой. По теореме 1.16 достаточно доказать, что для любых a = gh1 g −1 , b = gh2 g −1 (h1 , h2 ∈ H)выполняется ab−1 ∈ gHg −1 :−1−1ab−1 = gh1 g −1 gh2 g −1= gh1 g −1 gh−1=2 g−1= g(h1 h−1∈ gHg −1 .2 )gПодгруппу gHg −1 называют подгруппой, сопряженной с Hпосредством элемента g.В некоторых случаях gHg −1 = H для любого элемента g ∈G.
Умножая это равенство на g справа, получаем gH = Hg.Тем самым, мы получили новое определение нормальной подгруппы (нормальная подгруппа совпадает со всеми своими сопряженными). Другими словами, условия1) gH = Hg для любого g ∈ G,2) H = gHg −1 для любого g ∈ Gравносильны.46Глава 1.ГруппыЕсли есть отображение ϕ : X → X некоторого множествана себя, то любое подмножество Y ⊆ X, для которого выполнено условие ϕ(Y ) ⊆ Y , называется инвариантным подмножеством (относительно ϕ). Нормальная подгруппа в силувторого ее определения инвариантна относительно всех внутренних автоморфизмов (см. пример 1.36). Отсюда и второеназвание нормальной подгруппы — инвариантная подгруппа.Отметим также, что нормальная подгруппа вместе с каждым элементом содержит весь класс сопряженных с ним элементов.
Верно и обратное: если подгруппа содержит полныеклассы сопряженных элементов, то она является нормальной.1.9. Действия групп. ЛеммаБернсайдаДействием группы G на множестве X называется гомоморфизм ϕ : G → S(X) группы G в группу S(X) биекциймножества X (взаимно однозначных отображений множестваX на себя). Говорят также, что группа G действует на множестве X. Если ясно, о каком действии идет речь, то ϕ(g)(x)записывают как g(x). Элементы множества X будем называтьточками, чтобы отличать их от элементов группы G.Фактически действия групп уже появлялись в предыдущихразделах.
Сейчас мы вернемся к этим примерам.Пример 1.47 (действие левыми сдвигами). Как уже говорилось при доказательстве теоремы Кэли, левый сдвиг наg — это преобразование Lg (h) = gh. При доказательстве теоремы Кэли мы проверили по сути, что L : G → S(G) — гомоморфизм и, более того, L(G) ∼= G. Поэтому любая группадействует на себе самой умножением слева.Конечно, можно определить аналогичное действие правыми сдвигами.Пример 1.48 (действие сопряжениями). Группа действует на себе самой сопряжениями.
По определению,ϕ(g)(x) = gxg −1 .1.9.47Действия групп. Лемма БернсайдаGg1 Hg2 H:::g−1 H:::HgHgg1 Hgg2 H::::::x 7→ gxHGРис. 1.4.Фактически уже было доказано, что это гомоморфизм (формула (1.9) на с. 42).Пример 1.49 (действие на классах смежности ). Посмотрим более внимательно на действие группы левыми сдвигами. Пусть есть подгруппа H группы G.
По теореме 1.20 группа G разбивается на классы смежности по подгруппе H, какпоказано на рис. 1.4. Там же можно увидеть, что происходитпри умножении на некоторый элемент g группы G. Из ассоциативности умножения следует, что умножение на g сохраняетклассы смежности по H: образ g(g1 H) класса смежности g1 Hявляется классом смежности с представителем gg1 . Более того,образы различных смежных классов различны. Действительно, если g(g1 H) = g(g2 H), то gg1 h1 = gg2 h2 , h1 , h2 ∈ H, т.
е.g1 = g2 h, h = h2 h−11 ∈ H, а значит g1 H = g2 H.Таким образом мы получаем действие группы на множестве классов смежности (см. рис. 1.5).Действия из примера 1.49 в некотором смысле исчерпывают все возможные действия групп.Зафиксируем некоторое действие и будем писать g(x) дляобозначения образа точки x при действии элемента g. Длялюбого x ∈ X определим множество элементов группы G,оставляющих точку x неподвижной: Gx = {g ∈ G | g(x) = x}.Множество Gx называется стабилизатором точки x.Утверждение 1.50.
Стабилизатор Gx — подгруппа G.48Глава 1.G=Hg1 Hg2 H:::HgHgg1 Hgg2 Hx 7→ gxHG=HГруппыg−1 H:::::::::Рис. 1.5.Доказательство. Проверим свойства подгруппы. Во-первых,e ∈ Gx , так как e(x) = x (при гомоморфизме единичныйэлемент переходит в единичный, а единичный элемент в группе S(X) — тождественное отображение). Во-вторых, так какg(g −1 (x)) = x, то из g ∈ Gx следует g −1 ∈ Gx . В-третьих, еслиg, h ∈ Gx , то и gh ∈ Gx , поскольку g(h(x)) = g(x) = x.Орбитой действия называется множество образов некоторой точки x: Ox = {x′ ∈ X | x′ = g(x), g ∈ G}.Утверждение 1.51. Орбиты действия разбивают точкимножества X на классы эквивалентности.Доказательство.
Проверим свойства отношения эквивалентности.Рефлексивность: e(x) = x, так как при гомоморфизме единичный элемент переходит в единичный.Симметричность: если y ∈ Ox , то x ∈ Oy , так как из y == g(x) следует x = g −1 (y).Транзитивность: если y ∈ Ox , z ∈ Oy , то z ∈ Ox , так как изy = g1 (x), z = g2 (y) следует z = (g1 g2 )(x).Между смежными классами по стабилизатору Gx и точками орбиты x существует естественное взаимно однозначноесоответствие (мы уже его фактически использовали при подсчете порядка группы многогранника в примере 1.28, с. 30).Утверждение 1.52. Отображение ϕ : y → {g ∈ G | g(x) == y} сопоставляет каждой точке орбиты Ox класс смежности по стабилизатору Gx .
Это соответствие взаимнооднозначно.1.9.Действия групп. Лемма Бернсайда49Доказательство. Вначале докажем, что образом любой точки при отображении ϕ является класс смежности. Условиеg(x) = h(x) равносильно условию h−1 (g(x)) = x, которое означает, что h−1 g ∈ Gx и потому g ∈ hGx .Из определения ϕ ясно, что прообраз класса gGx при отображении ϕ определен однозначно: это y = g(x).Осталось доказать, что образ орбиты при отображении ϕ —всё множество смежных классов по Gx . Это очевидно: класссмежности gGx является образом точки g(x) при отображении ϕ.Следствие 1.53. Число элементов в орбите равно индексустабилизатора: |Ox | = (G : Gx ).Действие называется транзитивным, если у него ровноодна орбита (любую точку можно перевести в любую действием элемента группы). Доказанные выше утверждения означают, что все транзитивные действия являются, в сущности,действиями группы на смежных классах по некоторой ее подгруппе (стабилизатору точки).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
