Ю.И. Журавлёв, Ю.А. Флёров, М.Н. Вялый - Дискретный анализ. Основы высшей алгебры (1127101), страница 4
Текст из файла (страница 4)
. . i2k2 ) . . . (i1(1.2)Внутри каждой пары скобок числа переставляются циклически: π(i1 ) = i2 , π(i2 ) = i3 , . . . , π(ik ) = i1 . Цикловое разложение определено с точностью до циклических сдвигов чиселвнутри скобок. Часто используется сокращенная цикловая запись перестановки, при которой циклы длины 1 пропускаются.Тождественная перестановка при такой сокращенной записивыглядит как пара скобок: (). Цикловая запись более компактна. Вот, скажем, как выглядит формула (1.1) в цикловойзаписи:(123) ◦ (23) = (12) 6= (13) = (23) ◦ (123).1.2.3. Группы симметрииСовокупность преобразований, совмещающих объект с самим собой, называется группой симметрии объекта.Объекты могут быть разной природы: геометрические тела, молекулы, дифференциальные уравнения, функции и т.
п.Главное, чтобы они не менялись при каких-либо преобразованиях. Преобразования бывают дискретными или непрерывными. Если преобразования дискретные и их конечное число,группа, естественно, оказывается конечной.20Глава 1.C3C2CnC2C2а)CnvГруппыCnhб)в)Рис. 1.1. а) Группа вращений правильного треугольника включает в себя ось третьего порядка C3 и три оси второгопорядка C2 .б) Вертикальная зеркальная плоскость σv и горизонтальная σh .в) «Молекула», имеющая зеркально-поворотную ось четвертого порядка S4 .Группа симметрии молекулы состоит из конечного числадвижений, под действием которых молекула переходит сама всебя.
Все такие преобразования (элементы симметрии) оставляют на месте по крайней мере одну точку, поэтому такиегруппы называют точечными.Пример 1.10 (группа треугольника). Примером точечной группы является группа треугольника D3 (рис. 1.1 a).В данной группе два существенно разных элемента симметрии:ось третьего порядка C3 и перпендикулярная ей ось второгопорядка C2 . Из-за наличия оси третьего порядка появляетсятри оси второго порядка.Всего в группе треугольника 6 элементов: тождественноепреобразование, два поворота вокруг оси C3 и три поворотавокруг осей C2 .В общем случае в точечной группе могут быть только тривида элементов:1: Поворот Cn на угол 2π/n вокруг оси n-го порядка.2: Отражение σv в плоскости, проходящей через ось, или вплоскости σh , перпендикулярной оси.
Индексы v, h ука-1.2.21Примеры группзывают на вертикальную или горизонтальную плоскостьв предположении, что ось n-го порядка является вертикальной, рис. 1.1 б).3: Зеркальный поворот S2n = σh C2n , т. е. поворот с отражением в горизонтальной плоскости. Чтобы после поворотана 2π молекула возвратилась в исходное состояние, порядок зеркально-поворотной оси должен быть четным,рис. 1.1 в).В пространственных группах, описывающих симметриюбесконечных пространственных кристаллов, к поворотам и отражениям добавляются трансляции (переносы) на постояннуюрешетки и их композиции с поворотами или отражениями.Пространственные группы могут быть как конечными, так ибесконечными.Пример 1.11 (группа диэдра или диэдральная группа).Это группа симметрий правильной призмы (или правильногоn-угольника).
Она обозначается Dn . Легко понять, что в этойгруппе есть ось n-го порядка Cn и n перпендикулярных ей осейвторого порядка C2 (на рис. 1.2 изображены отдельно случайчетного n и случай нечетного n).CnC2C2C2C2C2C2C2CnC2C2C2C2Рис. 1.2. Группы D6 и D5В группе Dn всего 2n элементов: тождественное преобразование, n − 1 поворот вокруг оси Cn и n поворотов вокругосей C2 .Пример 1.12. Обыкновенное дифференциальное уравнение dyx=fdxy22Глава 1.Группыинвариантно относительно преобразований растяженияx 7→ λx, y 7→ λy,λ 6= 0.Такое уравнение называется однородным и решается с помощью перехода к новой переменной z = y/x. Все растяженияс разными λ образуют группу R, которая, очевидно, бесконечная и непрерывная. Чтобы задать преобразование из этойгруппы, требуется задать параметр λ. Количество параметров, необходимое для однозначного задания преобразованияиз непрерывной группы симметрии, называется размерностьюи обозначается dim.
В нашем примере dim R = 1.Пример 1.13 (группы правильных многогранников).Группа (правильного) многогранника состоит из вращенийэтого многогранника, совмещающих многогранник с самим собой. Вращения — это не все симметрии многогранника (среди которых могут быть, например, зеркальные отражения), атолько повороты.1.3. Циклические группыЭти группы наиболее просто устроены. В циклическойгруппе есть такой элемент (он называется порождающим элементом группы), что каждый элемент группы может бытьполучен (многократным) применением групповой операции кпорождающему.Чтобы разобраться с циклическими группами, введем несколько простых обозначений, которые понадобятся и в дальнейшем. Единицу мы будем обозначать как нулевую степеньпроизвольного элемента: e = a0 .
(Это просто полезное условное обозначение. Его можно считать определением a0 .) Далее,результат n-кратного применения операции к элементу a будем обозначать an :an = |a · a ·{z. . . · a} .n разВ аддитивной записи та же самая степень обозначается na.Проверим, что(an )−1 = (a−1 )n(1.3)1.3.23Циклические группыпрямым вычислением (в нём мы используем, что a и a−1 коммутируют):−1−1−1a| · a ·{z. . .
· a} · a| · a {z· . . . · a } =n разn раз= (a · a−1 ) · . . . · (a · a−1 ) = e.|{z}n разРавенство (1.3) позволяет однозначно понимать выражениеa−n (−na в аддитивной записи) и дает определение отрицательной степени.Все остальные свойства степени, к которым мы привыклив обычной арифметике, здесь тоже сохраняются. Например:n+man ·am = a.| · a ·{z. . . · a} · a| · a ·{z.
. . · a} = a| · a ·{z. . . · a} = an разm разn + m раз(1.4)Так же легко получить еще одно привычное равенствоman= anm .Теперь посмотрим на то, как устроены циклические группы. Есть два случая.1. Все степени порождающего элемента различны. Группасостоит из элементов. .
. , a−2 , a−1 , a0 , a1 , a2 , . . . ,а операция однозначно определена равенствами (1.3) – (1.4).По существу, это группа целых чисел по сложению. Это становится очевидным, если переписать предыдущую строчку ваддитивной записи. . . , −3a, −2a, −a, 0, a, 2a, 3a, . . . .2. Две различные степени порождающего элемента совпадают:an+m = an ,Но тогдаn, m — целые, m 6= 0.an+m = an am = an , т. е. am = e.Обозначим через q наименьшее натуральное m, для которогоam = e (это число называется порядком элемента a).24Глава 1.ГруппыДокажем, что элементы циклической группы в этом случае — это e = a0 , a1 , .
. . , aq−1 , причем все перечисленныеэлементы различны. Действительно, если at = al , 1 6 l < t 66 q − 1, то at−l = e и приходим к противоречию с выбором q(так как t − l < q). Рассмотрим какой-нибудь элемент группы,он имеет вид an . Разделим n на q с остатком: n = sq + m,0 6 m < q. Тогдаsan = asq+m = asq am = aq am = eam = am .Циклическая группа из n элементов обозначается Cn .Пример 1.14 (корни из единицы). Комплексное число zназывается корнем из единицы порядка n, если z n = 1. Можнопроверить, что относительно умножения корни из единицыобразуют группу, и эта группа циклическая.Пример 1.15. Степени любого элемента a в любой группе образуют циклическую группу.
Свойство ассоциативности в данном случае выполняется тривиально, единица — та же самая,что и в исходной группе. Согласно проделанным выше вычислениям, произведение степеней является степенью, обратныйэлемент также является степенью. Элемент a является порождающим. Обратите внимание, что каждый элемент исходнойгруппы может породить свою группу. Группу, порожденнуюэлементом a, мы будем обозначать hai.1.4. ПодгруппыПредположим, что имеется некоторая группа G, и для какого-то подмножества элементов H ⊂ G выполнены свойства1: e ∈ H;2: если a, b ∈ H, то a · b ∈ H;3: если a ∈ H, то a−1 ∈ H.Такое множество H является группой относительно той жеоперации, что и в исходной группе. Ассоциативность проверять не надо, поскольку ассоциативна G, остальные групповые1.4.25Подгруппыаксиомы сразу следуют из приведенных выше свойств.
Подмножество H, удовлетворяющее перечисленным выше свойствам, называется подгруппой G. Для указания на то, что Hявляется подгруппой G мы будем использовать обозначениеH < G.Выше уже был приведен пример подгруппы — подгруппа,порожденная элементом группы.Нам понадобится очень просто доказываемая теорема.Теорема 1.16. H — подгруппа группы G тогда и только тогда, когда для любых a, b ∈ H выполнено ab−1 ∈ H. Формальноэто можно записать какH < G ⇔ ab−1 ∈ H для всех a, b ∈ H.Доказательство. Если H — подгруппа, то для любых a, b ∈H из свойств 3 и 2 подгруппы следует, что ab−1 ∈ H.Теперь докажем необходимость.
Пусть для любых a, b ∈ Hвыполнено ab−1 ∈ H. Возьмем любой элемент a ∈ H. Тогда e == a · a−1 ∈ H (свойство 1). Выбрав пару e, a ∈ H, убеждаемся,что ea−1 = a−1 ∈ H (свойство 3). Поскольку (b−1 )−1 = b, тоab = a(b−1 )−1 и свойство 2 также выполнено.Вот пример использования теоремы 1.16.Утверждение 1.17.
Пересечение подгрупп — подгруппа.Доказательство. Пусть a, b ∈ H1 ∩ H2 , где H1 < G, H2 < G.Тогда ab−1 ∈ H1 , ab−1 ∈ H2 . Значит, ab−1 ∈ H1 ∩ H2 . Изтеоремы 1.16 следует, что H1 ∩ H2 — подгруппа.Рассмотрим еще несколько конструкций подгрупп.Пример 1.18. Центром группы G называется множествоC(G) тех ее элементов, которые коммутируют со всеми элементами группы:C(G) = {x ∈ G | ∀ g ∈ G gx = xg}.Центр группы всегда не пуст (e ∈ C(G)). Если группа коммутативна, то C(G) = G. Докажем, что центр является подгруппой.
Проверим выполнение свойств подгруппы для центра.Очевидно, что для любого g ∈ Gge = eg.(свойство 1)26Глава 1.ГруппыЕсли x1 , x2 ∈ C(G), то из ассоциативности умножения получаемg(x1 x2 ) = x1 gx2 = (x1 x2 )g.(свойство 2)Наконец, если x ∈ C(G), то умножим равенство gx = xg слевана x−1 , получим x−1 gx = x−1 xg = g. Умножая полученноеравенство на x−1 справа, получим x−1 g = gx−1 , значит, x−1 ∈C(G). Это свойство 3 из определения подгруппы.Введем одно полезное обозначение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
