Главная » Просмотр файлов » Ю.И. Журавлёв, Ю.А. Флёров, М.Н. Вялый - Дискретный анализ. Основы высшей алгебры

Ю.И. Журавлёв, Ю.А. Флёров, М.Н. Вялый - Дискретный анализ. Основы высшей алгебры (1127101), страница 3

Файл №1127101 Ю.И. Журавлёв, Ю.А. Флёров, М.Н. Вялый - Дискретный анализ. Основы высшей алгебры (Ю.И. Журавлёв, Ю.А. Флёров, М.Н. Вялый - Дискретный анализ. Основы высшей алгебры) 3 страницаЮ.И. Журавлёв, Ю.А. Флёров, М.Н. Вялый - Дискретный анализ. Основы высшей алгебры (1127101) страница 32019-05-11СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Этосовершенно очевидно: если ac = bc, то и acc−1 = bcc−1 , поэтому14Глава 1.Группыa = b. Аналогичное свойство выполняется и для умноженияслева.В качестве еще одного примера использования групповыхаксиом проверим полезное равенство (ab)−1 = b−1 a−1 , котороевыражает обратный к ab элемент группы через обратные к aи b. Имеем(b−1 a−1 )(ab) = b−1 (a−1 a)b = b−1 eb = b−1 b = e.Здесь первое равенство получается после двух примененийаксиомы ассоциативности, второе следует из определения обратного, третье — из аксиомы единицы, последнее — опять изопределения обратного. Равенство (ab)(b−1 a−1 ) = e проверяется аналогично.Свойство сократимости облегчает перечисление небольшихгрупп.

Операцию в конечной группе естественно задавать таблицей, строки которой индексированы первыми операндами1),столбцы — вторыми операндами, а в каждой клетке записанрезультат применения операции. Такая таблица называетсятаблицей Кэли (или таблицей умножения). Свойство сократимости означает, что в каждую строку и в каждый столбецтаблицы Кэли каждый элемент группы входит не более одного раза. А поскольку число строк и число столбцов таблицыравно числу элементов группы, то можно утверждать, чтокаждый элемент группы входит в каждую строку и каждыйстолбец ровно один раз.Для группы из двух элементов таблица будет выглядетьтак:· e ae ? ? .a ? ?Три клетки заполняются по аксиоме единицы:·eae ae a .a ?С учетом свойства сократимости в четвертую клетку можно1) Разумеется, чтобы записать таблицу на бумаге, нужно приписатьвсем элементам группы какие-то имена (символы).1.1.Определение и простейшие свойства15поставить только e.

Можно проверить, что таблица·eaeeaaaeзадает группу. Значит, существует единственная группа издвух элементов. Единственность здесь нельзя понимать буквально. Реализация группы может быть очень сложной: придавая разный смысл элементам e, a и групповой операции,можно получать содержательно разные примеры. Один из самых употребительных примеров группы второго порядка —множество чисел {−1, +1} относительно операции умножения.Аналогичный анализ можно проделать и для групп с тремяэлементами. В этом случае также есть только одна группа.Аксиома единицы оставляет незаполненными четыре клетки в таблице Кэли группы из трех элементов:· ee ea ab baa??bb.??В центральной клетке не может стоять a. Если в ней стоитe, то приходим к противоречию со свойством сократимости: втретьем столбце второй строки должно стоять b, но в третьемстолбце b уже есть.

Получаем единственную возможность·eabeeabaabebb.eaОбратите внимание, что заполненные части первой строкии первого столбца таблицы Кэли совпадают с первой строкойи первым столбцом той части таблицы, которая выделена линиями (единичный элемент стоит первым). В дальнейшем призадании группы таблицей Кэли мы будем придерживаться этого соглашения — единичный элемент стоит первым — и будемопускать ту часть таблицы, которая лежит слева и сверху отлиний.16Глава 1.ГруппыКлассическая реализация группы из двух элементов имеетвид: e = 0, a = 1, групповая операция — сложение по модулю 2(суммируем и берем остаток от деления на 2). Аналогично длягруппы из трех элементов: e = 0, a = 1, b = 2, операция —сложение по модулю 3.

Примеры групп из четырех, пяти и т. д.элементов получаются точно так же.Из этих примеров можно увидеть, что для любого натурального n имеется хотя бы одна группа с n элементами.Сколько есть существенно разных групп с n элементами? Этотрудная задача, которая до сих пор в общем случае не решена.(Точный смысл слов «существенно разных» — неизоморфных,см. ниже раздел 1.6.)1.2. Примеры группРазличных групп существует очень много, и они не обязательно конечные.

Теория групп пронизывает сегодня всю математику: от геометрических доказательств до теории кодов,исправляющих ошибки. В этом разделе мы приводим основные примеры групп.1.2.1. Примеры абелевых группПример 1.4 (числовые группы ). Все обычные числовыесистемы: целые Z, рациональные Q, действительные R, комплексные числа C — образуют абелевы группы относительносложения. Множество отличных от нуля чисел (рациональных Q∗ , действительных R∗ , комплексных C∗ ) также образуетгруппу относительно умножения. Проверка групповых аксиомво всех этих случаях не представляет труда.Пример 1.5. Важный для нас пример абелевой группы —группа бинарных наборов длины n.

Бинарные наборы — этопоследовательности из 0 и 1. Операция над ними — покомпонентное сложение по модулю 2. Суммой двух бинарных наборов α̃ = (α1 , . . . , αn ), β̃ = (β1 , . . . , βn ), αi , βi ∈ {0, 1} называетсяα̃ ⊕ β̃ = ((α1 + β1 ) mod 2, . . .

, (αn + βn ) mod 2)1.2.Примеры групп17(используем аддитивную запись групповой операции). Нулемэтой группы является 0̃ = (0, 0, . . . , 0). Каждый ненулевой элемент совпадает со своим противоположным (напомним, чтопротивоположный — это обратный элемент, когда используется аддитивная запись операции). Ассоциативность очевидна.1.2.2. Группы преобразованийПример 1.6.

У отображения множества X в себя может небыть обратного относительно операции композиции отображений. Но если рассмотреть множество взаимно однозначныхотображений множества X на себя (биекций), то оно относительно операции композиции отображений образует группу,которая обозначается S(X). Отображение ϕ : X → X называется взаимно однозначным, если для любого элемента x1 ∈ Xсуществует ровно один x2 ∈ X такой, что ϕ : x2 7→ x1 .

Отображение ϕ−1 : X → X, задаваемое правилом ϕ−1 : x1 7→ x2 , будетобратным к ϕ в группе S(X).Многие важные примеры групп — это группы биекций с дополнительными условиями. Их мы будем называть группамипреобразований.Пример 1.7. Движения пространства (преобразования, сохраняющие расстояние между точками), образуют группу относительно операции композиции отображений. Ясно, что композиция движений — движение, и обратное к движению —также движение.Пример 1.8 (матричные группы).

Матрицы с ненулевымопределителем образуют группу относительно операции матричного умножения. Эта группа обозначается GL(n) (n — размер матриц). Она имеет прямое отношение к группам преобразований, поскольку матрицами размера n × n записываются линейные преобразования n-мерного пространства, а матричное умножение соответствует композиции преобразований.Выделяя матрицы специального вида, получаем новые примеры матричных групп.

В частности, если ограничиться ортогональными матрицами, удовлетворяющими условию X T == X −1 (транспонированная матрица совпадает с обратной),18Глава 1.Группыто получим группу O(n), которая соответствует движениямn-мерного пространства, оставляющим на месте начало координат (ортогональная группа).Мы ничего не сказали об элементах матриц.

Это еще одна степень свободы при выборе матричных групп. От элементов матриц требуется немногое — их нужно складывать иумножать по обычным законам арифметики. Например, можно рассматривать группы матриц с рациональными, действительными или комплексными коэффициентами (важно понимать, что это совершенно разные группы!). Позже мы рассмотрим другие примеры алгебраических систем, допускающих такие операции. Пока будем считать (если не оговоренопротивное), что элементы матриц — действительные числа.Пример 1.9 (группа перестановок или симметрическая группа).

Это важный частный случай группы преобразований. По определению, Sn = S(X), где X = {1, 2, . . . , n}.Таким образом, перестановки — это взаимно однозначные отображения множества {1, 2, . . . , n} на себя.Перестановки можно записывать в виде таблицы1 2 3 ... i ... n,t1 t2 t3 . . . ti . . . tnпорядок столбцов которой несущественен.В таких обозначениях легко написать произведение перестановок (композицию отображений): t1 t2 t3 .

. . ti . . . tn1 2 3 ... i ... n◦=v1 v2 v3 . . . vi . . . vnt1 t2 t3 . . . ti . . . tn1 2 3 ... i ... n=.v1 v2 v3 . . . vi . . . vnЗаметьте, что произведение π ◦ σ — это перестановка, котораяполучается применением перестановки σ, а затем перестановки π. Такой порядок соответствует принятому порядку записикомпозиции функций: (π ◦ σ)(i) = π(σ(i)) = π(ti ) = vi .Единица группы перестановок соответствует тождественному отображению1 2 3 ... i ... n.1 2 3 ... i ... n1.2.19Примеры группОбратная перестановка−1 1 2 3 ...

i ... nt1 t2 t3 . . . ti . . . tn=.t1 t2 t3 . . . ti . . . tn1 2 3 ... i ... nГруппа перестановок Sn некоммутативна при n > 3. Вотпростой пример, когда произведение перестановок трех элементов зависит от порядка множителей: 1 2 31 2 31 2 3◦=6=2 3 11 3 22 1 3 1 2 31 2 31 2 36==◦. (1.1)3 2 11 3 22 3 1Перестановку также можно задать, указав ее цикловое разложение:c(π) c(π)c(π)i2 . . . ikc(π) ).π = (i11 i12 . . . i1k1 )(i21 i22 .

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
1,2 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6384
Авторов
на СтудИзбе
308
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее