Ю.И. Журавлёв, Ю.А. Флёров, М.Н. Вялый - Дискретный анализ. Основы высшей алгебры (1127101), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Этосовершенно очевидно: если ac = bc, то и acc−1 = bcc−1 , поэтому14Глава 1.Группыa = b. Аналогичное свойство выполняется и для умноженияслева.В качестве еще одного примера использования групповыхаксиом проверим полезное равенство (ab)−1 = b−1 a−1 , котороевыражает обратный к ab элемент группы через обратные к aи b. Имеем(b−1 a−1 )(ab) = b−1 (a−1 a)b = b−1 eb = b−1 b = e.Здесь первое равенство получается после двух примененийаксиомы ассоциативности, второе следует из определения обратного, третье — из аксиомы единицы, последнее — опять изопределения обратного. Равенство (ab)(b−1 a−1 ) = e проверяется аналогично.Свойство сократимости облегчает перечисление небольшихгрупп.
Операцию в конечной группе естественно задавать таблицей, строки которой индексированы первыми операндами1),столбцы — вторыми операндами, а в каждой клетке записанрезультат применения операции. Такая таблица называетсятаблицей Кэли (или таблицей умножения). Свойство сократимости означает, что в каждую строку и в каждый столбецтаблицы Кэли каждый элемент группы входит не более одного раза. А поскольку число строк и число столбцов таблицыравно числу элементов группы, то можно утверждать, чтокаждый элемент группы входит в каждую строку и каждыйстолбец ровно один раз.Для группы из двух элементов таблица будет выглядетьтак:· e ae ? ? .a ? ?Три клетки заполняются по аксиоме единицы:·eae ae a .a ?С учетом свойства сократимости в четвертую клетку можно1) Разумеется, чтобы записать таблицу на бумаге, нужно приписатьвсем элементам группы какие-то имена (символы).1.1.Определение и простейшие свойства15поставить только e.
Можно проверить, что таблица·eaeeaaaeзадает группу. Значит, существует единственная группа издвух элементов. Единственность здесь нельзя понимать буквально. Реализация группы может быть очень сложной: придавая разный смысл элементам e, a и групповой операции,можно получать содержательно разные примеры. Один из самых употребительных примеров группы второго порядка —множество чисел {−1, +1} относительно операции умножения.Аналогичный анализ можно проделать и для групп с тремяэлементами. В этом случае также есть только одна группа.Аксиома единицы оставляет незаполненными четыре клетки в таблице Кэли группы из трех элементов:· ee ea ab baa??bb.??В центральной клетке не может стоять a. Если в ней стоитe, то приходим к противоречию со свойством сократимости: втретьем столбце второй строки должно стоять b, но в третьемстолбце b уже есть.
Получаем единственную возможность·eabeeabaabebb.eaОбратите внимание, что заполненные части первой строкии первого столбца таблицы Кэли совпадают с первой строкойи первым столбцом той части таблицы, которая выделена линиями (единичный элемент стоит первым). В дальнейшем призадании группы таблицей Кэли мы будем придерживаться этого соглашения — единичный элемент стоит первым — и будемопускать ту часть таблицы, которая лежит слева и сверху отлиний.16Глава 1.ГруппыКлассическая реализация группы из двух элементов имеетвид: e = 0, a = 1, групповая операция — сложение по модулю 2(суммируем и берем остаток от деления на 2). Аналогично длягруппы из трех элементов: e = 0, a = 1, b = 2, операция —сложение по модулю 3.
Примеры групп из четырех, пяти и т. д.элементов получаются точно так же.Из этих примеров можно увидеть, что для любого натурального n имеется хотя бы одна группа с n элементами.Сколько есть существенно разных групп с n элементами? Этотрудная задача, которая до сих пор в общем случае не решена.(Точный смысл слов «существенно разных» — неизоморфных,см. ниже раздел 1.6.)1.2. Примеры группРазличных групп существует очень много, и они не обязательно конечные.
Теория групп пронизывает сегодня всю математику: от геометрических доказательств до теории кодов,исправляющих ошибки. В этом разделе мы приводим основные примеры групп.1.2.1. Примеры абелевых группПример 1.4 (числовые группы ). Все обычные числовыесистемы: целые Z, рациональные Q, действительные R, комплексные числа C — образуют абелевы группы относительносложения. Множество отличных от нуля чисел (рациональных Q∗ , действительных R∗ , комплексных C∗ ) также образуетгруппу относительно умножения. Проверка групповых аксиомво всех этих случаях не представляет труда.Пример 1.5. Важный для нас пример абелевой группы —группа бинарных наборов длины n.
Бинарные наборы — этопоследовательности из 0 и 1. Операция над ними — покомпонентное сложение по модулю 2. Суммой двух бинарных наборов α̃ = (α1 , . . . , αn ), β̃ = (β1 , . . . , βn ), αi , βi ∈ {0, 1} называетсяα̃ ⊕ β̃ = ((α1 + β1 ) mod 2, . . .
, (αn + βn ) mod 2)1.2.Примеры групп17(используем аддитивную запись групповой операции). Нулемэтой группы является 0̃ = (0, 0, . . . , 0). Каждый ненулевой элемент совпадает со своим противоположным (напомним, чтопротивоположный — это обратный элемент, когда используется аддитивная запись операции). Ассоциативность очевидна.1.2.2. Группы преобразованийПример 1.6.
У отображения множества X в себя может небыть обратного относительно операции композиции отображений. Но если рассмотреть множество взаимно однозначныхотображений множества X на себя (биекций), то оно относительно операции композиции отображений образует группу,которая обозначается S(X). Отображение ϕ : X → X называется взаимно однозначным, если для любого элемента x1 ∈ Xсуществует ровно один x2 ∈ X такой, что ϕ : x2 7→ x1 .
Отображение ϕ−1 : X → X, задаваемое правилом ϕ−1 : x1 7→ x2 , будетобратным к ϕ в группе S(X).Многие важные примеры групп — это группы биекций с дополнительными условиями. Их мы будем называть группамипреобразований.Пример 1.7. Движения пространства (преобразования, сохраняющие расстояние между точками), образуют группу относительно операции композиции отображений. Ясно, что композиция движений — движение, и обратное к движению —также движение.Пример 1.8 (матричные группы).
Матрицы с ненулевымопределителем образуют группу относительно операции матричного умножения. Эта группа обозначается GL(n) (n — размер матриц). Она имеет прямое отношение к группам преобразований, поскольку матрицами размера n × n записываются линейные преобразования n-мерного пространства, а матричное умножение соответствует композиции преобразований.Выделяя матрицы специального вида, получаем новые примеры матричных групп.
В частности, если ограничиться ортогональными матрицами, удовлетворяющими условию X T == X −1 (транспонированная матрица совпадает с обратной),18Глава 1.Группыто получим группу O(n), которая соответствует движениямn-мерного пространства, оставляющим на месте начало координат (ортогональная группа).Мы ничего не сказали об элементах матриц.
Это еще одна степень свободы при выборе матричных групп. От элементов матриц требуется немногое — их нужно складывать иумножать по обычным законам арифметики. Например, можно рассматривать группы матриц с рациональными, действительными или комплексными коэффициентами (важно понимать, что это совершенно разные группы!). Позже мы рассмотрим другие примеры алгебраических систем, допускающих такие операции. Пока будем считать (если не оговоренопротивное), что элементы матриц — действительные числа.Пример 1.9 (группа перестановок или симметрическая группа).
Это важный частный случай группы преобразований. По определению, Sn = S(X), где X = {1, 2, . . . , n}.Таким образом, перестановки — это взаимно однозначные отображения множества {1, 2, . . . , n} на себя.Перестановки можно записывать в виде таблицы1 2 3 ... i ... n,t1 t2 t3 . . . ti . . . tnпорядок столбцов которой несущественен.В таких обозначениях легко написать произведение перестановок (композицию отображений): t1 t2 t3 .
. . ti . . . tn1 2 3 ... i ... n◦=v1 v2 v3 . . . vi . . . vnt1 t2 t3 . . . ti . . . tn1 2 3 ... i ... n=.v1 v2 v3 . . . vi . . . vnЗаметьте, что произведение π ◦ σ — это перестановка, котораяполучается применением перестановки σ, а затем перестановки π. Такой порядок соответствует принятому порядку записикомпозиции функций: (π ◦ σ)(i) = π(σ(i)) = π(ti ) = vi .Единица группы перестановок соответствует тождественному отображению1 2 3 ... i ... n.1 2 3 ... i ... n1.2.19Примеры группОбратная перестановка−1 1 2 3 ...
i ... nt1 t2 t3 . . . ti . . . tn=.t1 t2 t3 . . . ti . . . tn1 2 3 ... i ... nГруппа перестановок Sn некоммутативна при n > 3. Вотпростой пример, когда произведение перестановок трех элементов зависит от порядка множителей: 1 2 31 2 31 2 3◦=6=2 3 11 3 22 1 3 1 2 31 2 31 2 36==◦. (1.1)3 2 11 3 22 3 1Перестановку также можно задать, указав ее цикловое разложение:c(π) c(π)c(π)i2 . . . ikc(π) ).π = (i11 i12 . . . i1k1 )(i21 i22 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
