Ю.И. Журавлёв, Ю.А. Флёров, М.Н. Вялый - Дискретный анализ. Основы высшей алгебры (1127101), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Пусть A, B — подмножества элементов группы G. Тогда «умножение» подмножества A на подмножество B дает подмножество AB элементовгруппы, состоящее из всех попарных произведений ab, a ∈ A,b ∈ B. При умножении одноэлементного подмножества {x}фигурные скобки для краткости записи опускаются.Пример 1.19. Нормализатором N (S) подмножества S ⊂ Gэлементов группы G называется множество таких ее элементов g, что выполнено равенство Sg = gS. Нормализатор N (S)всегда не пуст (e ∈ N (S)). Если группа коммутативна, тоN (S) = G.Доказательство того, что нормализатор любого подмножества является подгруппой, аналогично предыдущему примеру.А теперь перейдем к некоторой конструкции, которая валгебре и в огромном букете математических направлений,вырастающих из алгебры, играет огромную роль. Рассмотрим как происходит принятие решений в некоторых сложныхситуациях.
Скажем, министр хочет знать как обстоят делав министерстве. Вся информация может представлять собойстопку бумаги в десятки тысяч листов. Никакой человек несможет оперативно обрабатывать такие объемы информации.Поэтому по запросу министра вся информация не предоставляется ему в чистом виде, а обобщается (агрегируется).По-научному это называется «принцип агрегирования информации». Весь огромный объем информации представляется ввиде отдельных сообщений, которые объединяются в группы,и этим группам присваиваются новые названия. И в результате получается уже другая информация. Мы рассмотримпростейший пример такого рода на основе групп: будем агрегировать или обобщать по отношению к данной подгруппе.1.4.27ПодгруппыДалеко не сразу можно понять, что приводимая ниже теорема имеет отношение к описанной выше ситуации.Рассмотрим некоторую подгруппу H группы G, а такженекоторый элемент группы x ∈ G. Множество xH в соответствии со введенным выше обозначением является множествомтех элементов группы G, которые получаются из элементовподгруппы H умножением на x слева:xH = {xh | h ∈ H}.Множество xH называется смежным классом по подгруппе Hс представителем (смежного класса) x.
Поскольку умножениена x произошло слева, то говорят, что это левый смежныйкласс. Если же умножать на x справа, то получится правыйсмежный класс. Если операция некоммутативна, эти классымогут различаться. Для коммутативной группы всегда выполнено равенство xH = Hx. В этом случае можно просто говорить о смежном классе. Имеет место очень важная теорема.Теорема 1.20 (теорема о смежных классах). Смежныеклассы xH и yH либо не пересекаются, либо совпадают.Доказательство.
Предположим, что у двух смежных классов нашелся общий элемент z. Тогда z = xhi = yhj . Отсюда−1получаем x = y(hj h−1i ) ∈ yH, y = x(hi hj ) ∈ xH, т. е. представитель одного класса принадлежит другому.Дальше всё просто. Пусть w ∈ xH, т. е. w = xh′ . Ноx = yhx , значит, w = y(hx h′ ) ∈ yH. Таким образом,xH ⊆ yH. Совершенно аналогично доказывается включениев противоположную сторону.
Значит, xH = yH. Мы доказали,что смежные классы совпадают, если у них есть хотя бы одинобщий элемент.Пример 1.21. Рассмотрим группу R2 , которая состоит из пардействительных чисел с операцией покомпонентного сложения:(x1 , x2 ) + (y1 , y2 ) = (x1 + y1 , x2 + y2 )(используем здесь аддитивную запись). В этой группе естьподгруппа R, состоящая из пар (x, 0), x ∈ R (проверку свойствподгруппы оставляем читателю в качестве полезного упражнения).28Глава 1.ГруппыСмежными классами будут множества Ra = {(x, y) | y == a, x ∈ R}. Это очевидно, так как пары с совпадающей второйкомпонентой отличаются на элемент из R:(x1 , a) = (x2 , a) + (x1 − x2 , 0).Пример 1.22.
Рассмотрим некоммутативную группу S3 и вней подгруппу H = h(12)i (используем сокращенную цикловую запись перестановок). Запишем смежные классы по этойподгруппеH:(23)H :()(23)(12)(132)(13)H :(13)(123)Поскольку элемент g группы G принадлежит смежномуклассу gH по подгруппе H, то вся группа G разбивается наобъединение смежных классов по H (в данном случае левых,хотя то же самое верно и для правых смежных классов):[˙G=gi H.iКоличество смежных классов группы G по подгруппе H называется индексом подгруппы и обозначается через (G : H).(Если смежных классов по H бесконечно много, то H называется подгруппой бесконечного индекса.)Докажем, что если H конечна, то количество элементов вовсех смежных классах одинаково, т.
е. |gi H| = |gj H| для любыхgj , gj ∈ G.Рассмотрим отображение La : h 7→ ah, которое каждомуэлементу h подгруппы H ставит в соответствие элемент ahсмежного класса aH. Это взаимно однозначное отображение(по свойству сократимости из ah1 = ah2 следует h1 = h2 ),поэтому |H| = |aH| (т. е. количество элементов H совпадаетс количеством элементов aH). Поскольку вся группа представлена в виде объединения смежных классов, то количествоэлементов в группе будет равно количеству элементов в каждом смежном классе, умноженному на количество смежныхклассов по подгруппе (индекс H в группе G).
Итак, мы доказали важную теорему.1.4.29ПодгруппыТеорема 1.23 (теорема Лагранжа). Пусть H — подгруппагруппы G. Тогда порядок H является делителем порядка G:|G| = (G : H) · |H|.В каком смысле нужно понимать это равенство? Для бесконечных групп его трактовка требует дополнительных уточнений2) . Мы будем понимать его в следующем смысле: если любые два сомножителя в равенстве конечны, то конечени третий множитель, и выполняется указанное соотношение.В чем прелесть доказанного утверждения? Если у вас спросят, сколько различных подгрупп у группы порядка 17, томожно мгновенно ответить: две.
Единичная подгруппа, состоящая только из единичного элемента, и сама группа. Эти тривиальные или несобственные группы являются подгруппами. Анетривиальных подгрупп у группы порядка 17 быть не может,поскольку число 17 — простое.Следствие 1.24. Группа простого порядка не имеет нетривиальных подгрупп.Теорема 1.25. Порядок любого элемента есть делитель порядка группы.Почему так получается? По теореме Лагранжа порядоклюбой подгруппы делит порядок группы. Осталось вспомнить,что степени любого элемента образуют группу.Отсюда следует, что если порядок группы G — простоечисло n, то G — циклическая группа, и любой элемент G,отличный от единицы, является порождающим для G. Действительно, возьмем любой элемент g ∈ G, не равный единице.Порядок g должен быть делителем порядка группы, поэтомуон равен n.
Таким образом, все степени любого элемента исчерпывают всю группу.Замечание 1.26. Обращение теоремы Лагранжа неверно: существуют такие группы порядка n, что в них нет подгрупппорядка k, где k | n. Простейший пример приведен в задаче 1.31 е).2) Равенство будет выполняться для кардинальных чисел, которые задаются соответствующими множествами.30Глава 1.ГруппыТеперь посмотрим, какие подгруппы есть у циклическихгрупп. Обозначим через Z аддитивную группу целых чисел(группу целых чисел относительно сложения) — единственную бесконечную циклическую группу.
В следующем далеерассуждении мы используем аддитивную запись групповойоперации. Пусть H — нетривиальная подгруппа группы Z,а d — наименьшее положительное число, принадлежащее H.Докажем, что H имеет видH = {nd | n ∈ Z} = dZ.(1.5)Действительно пусть y ∈ H.
Разделим y на d с остатком: y == nd+r, 0 6 r < d. Так как y ∈ H, nd ∈ H, то и r = y −nd ∈ H.Значит, r = 0. Итак, любой элемент нашей подгруппы имеетвид nd.Отметим еще один фактТеорема 1.27. Всякая подгруппа циклической группы — циклическая.В доказательстве мы чуть-чуть забежим вперед.Доказательство. Если G — бесконечная циклическая группа, то она изоморфна Z (об изоморфизме см. следующий раздел), а мы уже нашли все подгруппы Z и доказали, что онициклические. Если G — конечная циклическая группа с порождающим элементом a и H < G, то пусть n — наименьшееположительное число, такое что an ∈ H.
Легко проверяетсячто b = an порождает H, аналогично тому, что мы раньшесделали с Z — все степени b будут принадлежать H, а некратных n степеней в H опять не будет в силу выбора n. Используя теорему Лагранжа, можно определять порядокгруппы по порядку подгруппы и числу классов смежности.Пример 1.28.
Найдем порядок групп правильных многогранников. Из геометрических соображений ясно, что вращениемногогранника должно быть поворотом вокруг оси, проходящей через его центр. Вершины многогранника переходят привращении в вершины, причем пара вершин, соединенных ребром (соседние вершины), переходит в пару соседних вершин.Если вращение многогранника g оставляет на месте вершину A, то ось поворота проходит через центр многогранника1.5.Задание группы порождающими и соотношениями31и вершину A. Угол поворота определяется из того, что соседние с A вершины должны переходить в себя.
Такие поворотыобразуют циклическую подгруппу HA , порядок которой равенчислу соседей у вершины многогранника.Элементы g1 , g2 принадлежат одному смежному классупо подгруппе HA тогда и только тогда, когда g1−1 g2 принадлежит HA . Если g1 (A) = g2 (A), то (g1−1 g2 )(A) = A. Вернои обратное. Поэтому сопряженный класс по подгруппе HAобразуют те вращения многогранника, которые переводят вершину A в некоторую вершину B.Можно проверить, что любая пара вершин любого правильного многогранника совмещается вращением. Поэтому, если обозначить через G группу вращений многогранника, черезn — число вершин, а через k — число ребер, выходящих из одной вершины, то |HA | = k, (G : HA ) = n.
По теореме Лагранжа|G| = (G : HA )|HA | = nk.Приведем порядки групп для правильных многогранников,сосчитанные указанным способом:многогранниктетраэдркубоктаэдрдодекаэдрикосаэдрn4862012k33435|G|12242460601.5. Задание группы порождающимии соотношениямиМы уже привели много примеров групп. Определялись этигруппы в основном путем явного описания множества и операции на нём (в случае конечных групп это можно сделать, скажем, с помощью таблицы Кэли). Далее мы рассмотрим другие способы задания группы.
Например, ниже будет доказанатеорема Кэли (теорема 1.37, с. 37), которая утверждает, чтовсякую конечную группу можно задать как подгруппу группы перестановок. Можно также строить группы из уже имеющихся. Например, в предыдущем разделе были приведены32Глава 1.Группыпримеры центра и нормализатора, см. также ниже конструкцию прямого произведения групп в примере 1.35.В этом разделе мы рассмотрим задание группы порождающими и соотношениями.Пусть есть подмножество S группы G. Пересечение подгрупп является подгруппой (утверждение 1.17).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
