Ю.И. Журавлёв, Ю.А. Флёров, М.Н. Вялый - Дискретный анализ. Основы высшей алгебры (1127101)
Текст из файла
Ю. И. Журавлёв, Ю. А. Флёров,М. Н. ВялыйДискретный анализ.Основы высшей алгебрыИздание второе,исправленное и дополненноеРекомендовано Учебно-методическим объединением высшихучебных заведений Российской Федерации по образованию вобласти прикладных математики и физики в качествеучебного пособия по курсу основ высшей алгебрыМЗ ПрессМосква 2007УДК 512.624ББК 22.144Ж91Серия «Естественные науки.
Математика. Информатика»Редакционный совет серии:Велихов Е. П.Иванников В. П.Кингсеп А. С.Леванов Е. И.Лобанов А. И. (ответственный секретарь серии)Ризниченко Г. Ю.Холодов А. С.Шананин А. А.Рецензенты:Докт. физ.-мат. наук, проф. В. К. Леонтьев (ВЦ РАН)Кафедра математики МИООЮ. И. Журавлёв и др.Ж91 Дискретный анализ. Основы высшей алгебры — Изд. 2,испр. и доп.
/ Ю. И. Журавлёв, Ю. А. Флёров,М. Н. Вялый — М.: МЗ Пресс, 2007. — 224 с.Эта книга является учебным пособием по основам высшей алгебры. Она написана на основе материалов курса «Дискретныйанализ», проводимого многие годы для студентов ФУПМ МФТИ.В ней излагаются начала теории групп, теории колец и теории полей. Особое внимание уделено конечным полям. В качестве примераприложений конечных полей приводятся начальные сведения потеории кодов, исправляющих ошибки.Для студентов, специализирующихся на прикладной математике и изучающих высшую алгебру.ISBN 5–94073–101–5УДК 512.624ББК 22.144cЮ.И.
Журавлёв, 2007cМЗ Пресс, 2007c А. Музыченко,В.дизайн обложек серии, 2007ОглавлениеПредисловие5Введение61. Группы1.1. Определение и простейшие свойства . . . . . . .1.2. Примеры групп . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.2.1. Примеры абелевых групп . . . . . . . . .1.2.2. Группы преобразований . . . . . . . .
. .1.2.3. Группы симметрии . . . . . . . . . . . . .1.3. Циклические группы . . . . . . . . . . . . . . . .1.4. Подгруппы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.5. Задание группы порождающими и соотношениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. .1.6. Изоморфизм и гомоморфизм . . . . . . . . . . .1.7. Нормальные подгруппы . . . . . . . . . . . . . .1.8. Сопряженные элементы . . . . . . . . . . . . . .1.9. Действия групп. Лемма Бернсайда . . . . . . . .1.10. Факторгруппы . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .1.11. Ядро гомоморфизма . . . . . . . . . . . . . . . .1.12. Абелевы группы . . . . . . . . . . . . . . . . . .1.13. Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .991616171922242. Кольца2.1. Определение кольца и простейшие свойства2.2. Кольцо многочленов . . . . . . . . . . . . . .2.3. Изоморфизмы и гомоморфизмы колец .
. .2.4. Идеалы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.5. Кольца классов вычетов . . . . . . . . . . . .858588929295..........3134404246515457684Оглавление2.6.2.7.2.8.2.9.2.10.Тела и поля, максимальные идеалыЕвклидовы кольца . . . . . . . . . .Основная теорема арифметики .
. .Китайская теорема об остатках . . .Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................981011091111123. Конечные поля или поля Галуа3.1. Поле вычетов по модулю простого числа3.2. Автоморфизм Фробениуса . . . . . . . . .3.3. Неприводимые многочлены . . . . . . . .3.4. Линейная алгебра над конечным полем .3.5. Корни многочленов над конечным полем3.6. Мультипликативная группа поля . . . . .3.7. Существование поля из pn элементов .
.3.8. Единственность поля из pn элементов . .3.9. Циклические подпространства . . . . . .3.10. Задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .........................................1281281301321381451511541591601644. Коды, исправляющие ошибки4.1. Основная задача теории кодирования4.2. Циклические коды . .
. . . . . . . . .4.3. Коды БЧХ . . . . . . . . . . . . . . . .4.4. Квадратично-вычетные коды . . . . .4.5. Совершенный код Голея . . . . . . . .4.6. Коды Рида – Соломона . . . . . . . .4.7. Коды Рида – Маллера . . . . . . . . .............................169169174175178181183186..............Ответы, указания, решения188Список литературы213Предметный указатель216ПредисловиеЭта книга написана на основе курса лекций, прочитанныхЮ. И.
Журавлёвым для студентов факультета управления иприкладной математики Московского физико-техническогоинститута. Она посвящена введению в высшую алгебру. В нейрассматриваются основные алгебраические структуры: группы, кольца, поля. Курс лекций, который был положен в основукниги, является частью общего трехсеместрового курса «Дискретный анализ». Поэтому центральную роль в этом курсеиграет теория конечных полей, которые являются одним изважнейших инструментов в комбинаторике и теоретическойинформатике.
Одним из классических примеров приложенияконечных полей является теория кодов, исправляющих ошибки. В книге дается краткое введение в эту теорию.Книга содержит много задач. Часть из них — упражненияна понимание материала основной части книги, часть даетпредставление о дальнейших результатах в теории групп, колец и полей.Книга предназначена для изучения основ высшей алгебрыстудентами младших курсов. Наиболее полезной она окажетсядля студентов, специализирующихся на прикладной математике.Авторы благодарят всех, кто способствовал выходу этойкниги. Особая благодарность — С.
Едунову, А. Куракину,А. Мерзакреевой, Н. Пустовойтову и Д. Саянкину, которыевзяли на себя нелегкий труд записи и расшифровки лекций.ВведениеАлгебра изучает множества и определенные на них операции. Она занимает центральное место в современной математике. Велика также роль алгебры в приложениях. Этот курспосвящен краткому введению в теорию основных алгебраических систем: групп, колец, полей. Основной темой является построение конечных полей.
Эти удивительные объекты,возникающие из чисто алгебраического рассмотрения, играютбольшую роль в современной комбинаторике и информатике.Мы приведем лишь один, но очень важный, пример использования конечных полей для решения комбинаторной задачиприкладного характера. Речь идет о теории кодов, исправляющих ошибки.Появились эти коды в середине прошлого века, когда дляпередачи секретных сообщений (скажем, приказов в войска)стала активно использоваться радиосвязь.
Сообщения нужнобыло шифровать, а из-за помех при передаче возможны ошибки, которые могут сделать расшифровку невозможной илибессмысленной (или того хуже: осмысленной, но ошибочной).Чтобы повысить надежность сообщения, можно передать каждый символ несколько раз. Скажем, если при передаче азбукой Морзе передавать каждую точку трижды и каждое тиретрижды, то одна ошибка в передаче символа не мешает восстановлению исходного сообщения.Но при таком способе кодирования передаваемых символов длина сообщения (и время передачи) увеличивается в трираза. Естественно возникает вопрос: как кодировать сообщение, чтобы сохранилась устойчивость к ошибкам и не сильновозрастала длина сообщения.
Это и есть задача о построениикодов, исправляющих ошибки.Введение7Сравнительно легко можно показать, что существуют «хорошие» коды, в которых нужно использовать немного дополнительных символов. Но для практических нужд одной теоремы существования мало: нужны явные конструкции кодов.Кроме того, естественным практическим требованием является простота декодирования передаваемых сообщений.Удивительно, но вся теория построения хороших кодов оказывается тесно связанной с алгеброй. Изучив лишь самые основы этой науки, мы сможем построить только простейшиекоды такого типа. Они, впрочем, оказываются весьма важными с практической точки зрения благодаря эффективнымалгоритмам декодирования.Этот пример использования алгебры является весьма показательным.
Очень часто в комбинаторике встречается именнотакая ситуация: можно сравнительно легко доказать, что объекты с некоторыми свойствами существуют (иногда даже, чтопочти все объекты удовлетворяют нужному свойству), но явно предъявить хотя бы один такой объект намного сложнее.И в очень многих случаях явные конструкции возникают изалгебры.Несколько слов об истории. Алгебра прошла несколько этапов в своем развитии.Сейчас решению линейных и квадратных уравнений обучают в средней школе, поэтому кажется, что решать их совсемпросто. Но пока не появились буквенные обозначения, знаменитые a, b и c, все квадратные уравнения записывались словами.
Представьте, что квадратное уравнение записано так:«возьми известное количество, два раза умноженное на неизвестное количество, добавь к этому второе известное количество, умноженное на неизвестное количество, добавь к этомутретье известное количество, в сумме получишь ничего». Вотвам такая задачка, и будьте любезны найти это неизвестноеколичество. Древние египтяне с этой задачей справились именно в такой формулировке.
Правда, учили этому много лет, нокогда человек научался, он находил ответ точно в таком жевиде, как формулируется задача. Потом на протяжении оченьдолгого времени делались попытки решить уравнения третьейи четвертой степени. В конце концов решения были получены; это весьма длинная и запутанная история (открыл один,8Введениеопубликовал другой, споры о приоритете и т. п.), но в результате мы с вами умеем решать эти уравнения.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
