Ю.И. Журавлёв, Ю.А. Флёров, М.Н. Вялый - Дискретный анализ. Основы высшей алгебры (1127101), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Пусть G = hai — циклическая группа порядка n. Доказать, что:1.13.73Задачиа) если n и k взаимно просты, то в G существует корень√ka, т. е. a является k-й степенью некоторого элемента из G иобратно;б) в группе нечетного порядка все элементы являются квадратами.1.25. Пусть порядок элемента x группы G есть число pq, гдеp и q — взаимно просты. Доказать, что в группе G найдутсятакие элементы u и v, что выполняются равенстваuv = vu,up = e,v q = e.1.26*. Доказать, что если в конечной группе G порядка nдля каждого делителя d числа n уравнение xd = e имеет неболее d решений, то группа G — циклическая.1.27*. Показателем группы назовем наименьшее общеекратное порядков ее элементов. Доказать, что группа циклическая тогда и только тогда, когда показатель равен порядкугруппы.1.28.
Какие из групп задачи 1.5 являются подгруппами других из этих групп?1.29. Доказать, что любая бесконечная группа имеет бесконечное число подгрупп.1.30. Найти с точностью до изоморфизма все группы, которые изоморфны любой своей неединичной подгруппе.1.31. Найти все подгруппы:а) циклической группы порядка 6;б) циклической группы порядка 24;в) четверной группы (задача 1.11);г) симметрической группы S3 .д) Какие из подгрупп группы S3 являются нормальнымиделителями?е) Доказать, что знакопеременная группа четвертой степени A4 не имеет подгруппы шестого порядка.
Таким образом,группа G порядка n для некоторых k, делящих n, может неиметь подгрупп порядка k.1.32. Найти все подгруппы группы G порядка 8, все элементы которой, кроме единицы e, имеют порядок 2.1.33. Найти все подгруппы циклической группы порядкаpn , где p — простое число.74Глава 1.Группы1.34. Найти смежные классыа) аддитивной группы целых чисел по подгруппе чисел,кратных данному натуральному числу d;б) аддитивной группы действительных чисел по подгруппецелых чисел;в) аддитивной группы комплексных чисел по подгруппецелых гауссовых чисел, т. е.
чисел вида m + ni, m, n ∈ Z;г) аддитивной группы векторов плоскости (выходящих изначала координат) по подгруппе векторов, лежащих на оси Ox;д) мультипликативной группы комплексных чисел, отличных от нуля, по подгруппе чисел, равных по модулю единице;е) мультипликативной группы комплексных чисел, отличных от нуля, по подгруппе положительных действительныхчисел;ж) мультипликативной группы комплексных чисел, отличных от нуля, по подгруппе действительных чисел;з) симметрической группы Sn по подгруппе перестановок,оставляющих число n на месте.1.35. Доказать, чтоа) если H — конечное множество элементов группы G ипроизведение двух любых элементов из H снова лежит в H,то H < G;б) если все элементы множества H группы G имеют конечные порядки и произведение двух любых элементов из Hснова лежит в H, то H будет подгруппой группы G.1.36. Найти центр у группы обратимых действительныхматриц размера n × n.1.37.
Сколько подгрупп второго порядка имеет группа S5 ?1.38. Есть ли подгруппа индекса 2 в An ?1.39. Периодической частью группы G называется множество всех ее элементов конечного порядка. Доказать, что периодическая часть коммутативной группы является подгруппой.1.40. Доказать, что если в коммутативной группе G естьэлементы бесконечного порядка, и все они содержатся в подгруппе H, то H = G.1.41*. Доказать, что подгруппа H индекса два любой группыG содержит квадраты всех элементов группы G.1.42*.
Доказать, что при n > 1 знакопеременная группа Anявляется единственной подгруппой индекса два в симметриче-1.13.Задачи75ской группе Sn . Привести пример конечной группы, содержащей несколько подгрупп индекса два.1.43. Доказать, что:а) группа положительных действительных чисел по умножению изоморфна группе всех действительных чисел по сложению;б) группа положительных рациональных чисел по умножению не изоморфна группе всех рациональных чисел по сложению.1.44. Доказать, что в коммутативной группе множество элементов, порядки которых делят фиксированное число, является подгруппой.
Верно ли это утверждение для некоммутативной группы?1.45. Доказать, что группа G′ является гомоморфным образом конечной циклической группы G тогда и только тогда,когда G′ также циклическая и ее порядок делит порядок группы G.1.46. Доказать, что если группа G гомоморфно отображенана группу G′ , причем a 7→ a′ , тоа) порядок a делится на порядок a′ ;б) порядок G делится на порядок G′ .1.47. Доказать, что порядок любой нечетной перестановкив Sn четен.1.48. Найти все гомоморфные отображения а) циклическойгруппы Cn в себя; б) C6 в C18 ; в) C18 в C6 ; г) C12 в C15 ; д) C6в C25 .1.49. Доказать, что аддитивную группу рациональных чисел нельзя гомоморфно отобразить на аддитивную группу целых чисел.1.50.
Пусть p — простое число. Изоморфны ли группы Cp2и Cp × Cp ?1.51. Изоморфны ли группы а) C18 × C20 и C12 × C30 ; б)C18 × C20 и C36 × C10 ?1.52. Сколько подгрупп, изоморфных C4 , содержится вC12 × C18 ?1.53*. Доказать, что:а) группа тетраэдра изоморфна группе четных перестановок четырех элементов;76Глава 1.Группыб) группы куба и октаэдра изоморфны группе всех перестановок четырех элементов;в) группы додекаэдра и икосаэдра изоморфны группе четных перестановок пяти элементов.1.54. Пусть в конечной группе G выполняется тождествоa · a = e. Доказать, что эта группа изоморфна группе подмножеств конечного множества относительно операции симметрической разности: A ⊕ B = (A \ B) ∪ (B \ A).1.55.
Сколько есть разных ожерелий из 2 красных, 2 зеленых и 2 желтых бусин? (Определение разных ожерелий см. впримере 1.55.)1.56. Является ли нормальной подгруппа симметрическойгруппы Sn , которая содержит все перестановки, оставляющиечисло n на месте?1.57. Является ли нормальной подгруппой в S10 группа перестановок, которые каждое четное число оставляют на месте?1.58. Доказать, что в любой группе перестановок, содержащей хотя бы одну нечетную перестановку:а) число четных перестановок равно числу нечетных;б) четные перестановки образуют нормальный делитель;в) все простые группы перестановок n элементов (где n >2) содержатся в знакопеременной группе An (простой называется группа, не имеющая нормальных делителей, кроме себясамой и единичной подгруппы).1.59.
Доказать, что центр группы G (пример 1.18 на с. 25)является нормальным делителем.1.60. Элемент aba−1 b−1 называется коммутатором элементов a и b группы G. Доказать, что группа K, порожденная коммутаторами всех пар элементов группы, является нормальнойподгруппой K группы G. Эта подгруппа называется коммутантом G.1.61. Доказать, что любая четная перестановка являетсякоммутатором некоторых перестановок. Найти коммутант симметрической группы Sn .1.62. Привести пример группы, в которой коммутант не совпадает с множеством коммутаторов.1.63. Пусть G — группа всех собственных движений трехмерного пространства, H — подгруппа параллельных переносов, K — подгруппа вращений, оставляющих неподвижной1.13.77Задачиточку O. Доказать, чтоа) H является нормальным делителем G, а K — нет;б) факторгруппа G/H изоморфна K.1.64.
Доказать, что нормальный делитель группы G, имеющий конечный индекс k, содержит все элементы группы G,порядки которых взаимно просты с k. Показать на примере,что для подгруппы H, не являющейся нормальным делителем,утверждение может быть неверным.1.65. Доказать, что факторгруппа G/H тогда и только тогда коммутативна, когда H содержит коммутант K группыG.1.66. Доказать, что во всякой группе элементы x и yxy −1имеют один и тот же порядок.1.67.
Доказать, что для любых элементов a, b и c группы G:а) элементы ab и ba имеют одинаковый порядок;б) элементы abc, bca и cab имеют одинаковый порядок.1.68. Построить пример группы, в которой есть такие элементы a, b, c, что abc и cba имеют разный порядок.1.69*. Доказать, что:а) четверная группа V (задача 1.11) является нормальнымделителем симметрической группы S4 ;б) факторгруппа S4 /V изоморфна симметрической группе S3 .1.70*. Найти число перестановок симметрической группы Sn ,коммутирующих с данной перестановкой σ.1.71*.
Доказать, что если пересечение двух нормальных делителей H1 и H2 группы G содержит лишь единицу e, тоh1 h2 = h2 h1 для всех элементов h1 ∈ H1 , h2 ∈ H2 .1.72. Пусть в группе G подгруппа N (a) является нормализатором элемента a. Показать, что для любого x ∈ G нормализатором элемента xax−1 будет xN (a)x−1 .1.73. Пусть N = N (H) — нормализатор подгруппы H вгруппе G. Дано правое разложение G по N (H):G = N x1 ∪˙ N x2 ∪˙ . .
. ∪˙ N xi ∪˙ . . .Доказать, что все множества−1−1x1 Hx−11 , x2 Hx2 , . . . , xi Hxi , . . .78Глава 1.Группыразличны и что всякое множество, сопряженное с H, совпадаетс одним из xi Hx−1(i = 1, 2, . . . ).i1.74. Доказать, чтоа) нормализатор N (a) содержит подгруппу hai в качественормального делителя;б) число элементов группы G, сопряженных с a, равно индексу нормализатора N (a) в G.1.75. Доказать, чтоа) нормализатор N (H) подгруппы H в группе G содержитподгруппу H в качестве нормального делителя;б) число подгрупп группы G, сопряженных с H, равно индексу нормализатора N (H) в G.1.76.
Доказать, что:а) число элементов группы G, сопряженных с данным элементом, делит порядок группы G;б) число подгрупп группы G, сопряженных с данной подгруппой, делит порядок группы G.1.77. Пусть x — элемент конечной группы G и k — числоэлементов, сопряженных с x в G; пусть k ′ — число элементов,сопряженных с xn в G. Доказать, что k ′ — делитель числа k.1.78.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
