Ю.И. Журавлёв, Ю.А. Флёров, М.Н. Вялый - Дискретный анализ. Основы высшей алгебры (1127101), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Совокупность классов вычетов с операциями, определенными равенствами (2.5), (2.6), образуеткольцо.Это кольцо и называется кольцом классов вычетов (обозначение R/I).Доказательство. Для доказательства мы построим гомоморфизм исходного кольца на совокупность классов вычетов ивоспользуемся доказанным ранее утверждением, что образкольца при гомоморфизме является кольцом.Возьмем исходное кольцо R и разложим его по идеалу I,получим множество классов вычетов R/I. Строим отображение ϕ : R → R/I следующим образом ϕ : r 7→ r̄ = r + I.
Проверим, что это — гомоморфизм:ϕ(r1 + r2 ) = r1 + r2 + I = r1 + r2 = r1 + r2 = ϕ(r1 ) + ϕ(r2 ),ϕ(r1 r2 ) = r1 r2 + I = r1 r2 = r1 · r2 = ϕ(r1 )ϕ(r2 ),т. е. операции сохраняются. Сюръективность очевидна: классвычетов r + I является образом элемента r.Теорема 2.20 (теорема о гомоморфизме колец). Пустьϕ : R1 → R2 — гомоморфизм колец.
Тогда кольцо классов вычетов по модулю ядра гомоморфизма изоморфно гомоморфномуобразу кольца: R1 / Ker ϕ ∼= ϕ(R1 ).98Глава 2.КольцаДоказательство. Изоморфизм устанавливается естественным образом:α : {r} 7→ ϕ(r).(2.7)Здесь r ∈ R1 , {r} — класс вычетов по модулю I = Ker ϕ.Отображение (2.7) определено корректно, так как еслиr1 ≡ r2 (mod I), то ϕ(r1 −r2 ) = 0, т. е.
ϕ(r1 ) = ϕ(r2 ). Очевидно,что α сюръективно (оно переводит в ϕ(r) класс вычетов {r}).Проверим свойства гомоморфизма:α({r1 } + {r2 }) = α({r1 + r2 }) = ϕ(r1 + r2 ) = ϕ(r1 ) + ϕ(r2 ) == α({r1 }) + α({r2 }),α({r1 } · {r2 }) = α({r1 · r2 }) = ϕ(r1 · r2 ) = ϕ(r1 ) · ϕ(r2 ) == α({r1 }) · α({r2 }).Ядро этого гомоморфизма нулевое, так как ϕ(r) = 0 означаетr ∈ I, т. е. {r} = 0. Значит, α — изоморфизм.Теперь мы подходим к самому главному для нашего дальнейшего изложения вопросу: можно ли так выбрать идеал,чтобы кольцо классов вычетов было «совсем хорошим»? Например, хотелось бы иметь возможность решать в кольце классов вычетов линейные уравнения.
Для этого кольцо классоввычетов должно обладать некоторыми дополнительными свойствами, которые мы укажем в следующем разделе.2.6. Тела и поля, максимальныеидеалыВведем еще два алгебраических понятия: тело и поле.Тело — это такое кольцо, ненулевые элементы которогообразуют группу относительно умножения, т. е.
выполняютсядополнительные свойства:1) существует единичный элемент относительно умножения 1, для любого другого элемента a выполнено a·1 = 1·a = a;2) для a 6= 0 существует обратный элемент a−1 , для которого a−1 · a = a · a−1 = 1.Отсюда следует разрешимость уравнения a·x = b при a 6= 0.2.6.Тела и поля, максимальные идеалы99Утверждение 2.21. В теле нет делителей нуля: из ab = 0следует a = 0 или b = 0.Доказательство. В любом кольце a·0 = 0 (утверждение 2.4).Значит, у 0 нет обратного. Но если a 6= 0, b 6= 0, то у ab естьобратный b−1 a−1 .Поле — это коммутативное тело. Другими словами, ненулевые элементы поля образуют относительно умножения абелеву группу. Более подробное определение поля таково: полем называется множество F с двумя бинарными операциями(сложение и умножение), которые удовлетворяют следующимсвойствам:F1: Относительно сложения F является абелевой группой.F2: Относительно умножения F ∗ = F \{0} является абелевойгруппой.
(Здесь 0 обозначает нулевой элемент относительно сложения.)F3: Аксиома дистрибутивности: a(b + c) = ab + ac.Обратите внимание, что аксиомы поля позволяют выполнять арифметические операции аналогично тому, как это делается с числами. И неудивительно: рациональные, действительные и комплексные числа дают самые простые и самыеважные примеры полей.
Но этими примерами возможные полядалеко не исчерпываются. Один из важных способов построения полей состоит в переходе от коммутативного кольца ккольцу классов вычетов по модулю некоторого идеала.Как же выбрать идеал так, чтобы кольцо классов вычетовпо этому идеалу было полем?Для этого нам потребуется еще одно понятие — максимальный идеал. Идеал I называется максимальным в кольце R,если не существует такого идеала I ′ 6= R, что I ⊂ I ′ ⊂ R.Теорема 2.22. Кольцо классов вычетов R/I коммутативного кольца с единицей есть поле тогда и только тогда, когдаI — максимальный идеал.Доказательство. Коммутативное кольцо является полем тогда и только тогда в нём разрешимы уравнения ax = b, a 6= 0.100Глава 2.КольцаПусть I — максимальный идеал.
Рассмотрим уравнениеā · x̄ = b̄,ā 6= 0̄,(2.8)а b̄ — произвольный элемент из кольца R/I, т. е. класс вычетовb + I, b ∈ R. Докажем, что такое уравнение разрешимо.Проверим, что множество I ′ = {(r · a) + i | r ∈ R, i ∈ I} является идеалом. Для этого достаточно доказать, что разностьдвух элементов остается в этом множестве и произведениялюбого элемента этого множества на произвольные элементыкольца остаются в этом множестве:(r1 · a + i1 ) − (r2 · a + i2 ) = (r1 − r2 ) · a + (i1 − i2 ) ∈ I ′ ,r · (r′ · a + i) = (rr′ )a + (ri) ∈ I ′ .Следующий шаг: I ⊂ I ′ . Действительно, для элемента i ∈ Iимеем представление в виде 0 · a + i. Почему это включениестрогое? В I ′ есть элемент 1 · a + 0 = a ∈/ I (условие ā 6= 0̄означает просто-напросто, что a ∈/ I).
Следовательно, I ′ = R,т. е. любой элемент кольца, в том числе и b, представим в видеb = r · a + i. В некотором смысле мы нашли явное решениеуравнения (2.8): x̄ = r̄. Этим доказана достаточность.Доказательство необходимости несложно, но это рассуждение часто вызывает некоторое непонимание. Поэтому проведем его максимально подробно.
Пусть разрешимы любыеуравнения вида (2.8). Нужно доказать, что I — максимальныйидеал.Что означает разрешимость уравнения (2.8)? В точностиразрешимость сравнения ax ≡ b (mod I), которая равносильна по доказанному выше утверждению 2.17 условию ax−b ∈ I.Рассмотрим такой идеал I ′ , что I ⊂ I ′ . Выберем элемент aтакой, что a ∈ I ′ и a ∈/ I. Поскольку ax − b ∈ I ⊂ I ′ и a ∈ I ′ , то′ax ∈ I . Поэтому (идеал замкнут относительно вычитания) b ∈I ′ . Поскольку b — произвольный элемент кольца R, приходимк выводу, что I ′ = R.Эта изящная теорема, легко и просто доказываемая, позволила в свое время осуществить гигантский прорыв, посколькус ее помощью строится огромное количество объектов, в которых можно решать линейные уравнения.2.7.Евклидовы кольца1012.7.
Евклидовы кольцаДалее мы будем искать максимальные идеалы в специальных кольцах, которые называются евклидовыми.По определению, коммутативное кольцо R называется евклидовым, если для него выполнены следующие свойства.E1: Кольцо R — целостное (т. е. в нём нет делителей нуля: изab = 0 следует, что a = 0 или b = 0).E2: Для каждого ненулевого элемента кольца определеначисловая характеристика — норма, которая принимаетцелые неотрицательные значения. Т. е. норма — это такоеотображение N : R \ {0} → Z, что N (r) > 0.E3: Возможность деления с остатком означает, что для любых элементов a, b кольца, b 6= 0, существуют такие q, r,что a = qb + r и либо r = 0, либо N (r) < N (b). Элементr называется остатком от деления a на b.
Это основноесвойство нормы. Собственно, отсюда и возник термин«евклидово». Дело в том, что в дошедших до нас рукописях термин «деление с остатком» впервые появляетсяв сочинениях Евклида.E4: Норма произведения двух ненулевых сомножителей больше либо равна норме любого из сомножителей. Формально: для любых a, b ∈ R, a 6= 0, b 6= 0 выполнено N (ab) >> max(N (a), N (b)).Утверждение 2.23. Евклидово кольцо является кольцом сединицей.Доказательство. Выберем такой ненулевой элемент e′ евклидова кольца R, что N (e′ ) принимает минимально возможное положительное значение (здесь существенно, что значениянорм элементов целые неотрицательные, поэтому минимум достигается).
Разделим произвольный элемент a на e′ с остатком:a = qe′ + r. По свойству E3 верно одно из двух: либо N (r) << N (e′ ), либо r = 0. Первое невозможно в силу минимальностинормы e′ . Значит, a = qe′ . Итак, все элементы кольца кратныe′ (делятся без остатка). В частности, это верно и для самого102Глава 2.Кольцаe′ : e′ = ee′ . Но тогда для любого a ∈ R имеем ae′ = aee′ ,т. е. e′ (a − ae) = 0. Поскольку кольцо R целостное и e′ 6= 0,получаем a − ae = 0. Значит, e является единицей кольца R.
Рассмотрим два основных примера евклидовых колец.Пример 2.24. Кольцо Z целых чисел — евклидово. Норма —это модуль числа. Свойства 1, 4 очевидны. Возможность деления с остатком тоже проверяется без труда: для a, b ∈ Z,b > 0, обозначим q = max{s | a > sb}. Заметим, что qb + b > a.Поэтому если a 6= qb, то для r = a − qb выполнено r < b. Дляb < 0 полагаем q = max{s | −a > s(−b)}, свойства остаткапроверяются аналогично.Пример 2.25. Пусть F — некоторое поле.
Оказывается, чтокольцо многочленов F [x] над полем F — евклидово. Норма —это степень многочлена.По следствию 2.11 в кольце F [x] нет делителей 0, так каких нет в поле F (см. утверждение 2.21).По утверждению 2.10 степень произведения двух ненулевых многочленов равна сумме степеней сомножителей, отсюдаследует свойство 4 из определения евклидова кольца.Делить многочлены с остатком можно «в столбик», какучат в школе делить обычные целые числа. Формально возможность деления с остатком можно проверить по индукции.Пусть мы рассматриваем деление с остатком на многочленg(x) = g0 + g1 x + g2 x2 + · · · + gd xd , gd 6= 0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
