Ю.И. Журавлёв, Ю.А. Флёров, М.Н. Вялый - Дискретный анализ. Основы высшей алгебры (1127101), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Для многочленов f степени меньше d имеем представление f = 0 · g + f ,deg f < deg g. Это база индукции. Теперь предположим, чтомы умеем делить с остатком на g многочлены степени меньше n. Рассмотрим многочлен степени n:f (x) = f0 + f1 x + · · · + fn xn , fn 6= 0.Многочлен f˜ = f − fn gd−1 xn−d g имеет степень, меньшую n,поэтому его можно разделить с остатком на g:f˜ = hg + r, deg r < deg g.Но тогдаf = f˜ + fn gd−1 xn−d g = (h + fn gd−1 xn−d )g + r.Значит, f также можно разделить на g с остатком.2.7.Евклидовы кольца103Замечание 2.26.
В определении деления с остатком мы нетребовали единственности неполного частного и остатка. Этотребование не нужно для доказательства основных свойствевклидовых колец. Отметим, однако, что для кольца многочленов, как и для кольца целых чисел, неполное частное иостаток определены однозначно.Действительно, пусть f = q1 g + r1 = q2 g + r2 . Тогда(q1 − q2 )g + (r2 − r1 ) = 0. Из этой формулы сразу получаем,что q1 = q2 , так как deg ri < deg g.
Но тогда и r1 = r2 .Далее мы рассматриваем только евклидовы кольца.Теорема 2.27. Евклидовы кольца — это кольца главных идеалов.Обратное, вообще говоря, неверно.Доказательство. Пусть I ⊂ R — идеал. Предположим, чтоэлемент a ∈ I имеет наименьшую норму среди всех ненулевыхэлементов идеала. Теперь возьмем любой другой элемент идеала b и разделим его на a с остатком: b = qa + r, N (r) < N (a).Но r = b − qa ∈ I, поэтому в силу минимальности нормы aполучаем, что r = 0, т. е.
b = qa. Таким образом, I = (a).Пусть a, b — два элемента (евклидова) кольца R. Наибольшим общим делителем a и b называют такой элемент d, чтоa = qd, b = rd, и для любого общего делителя d′ (a = q ′ d′ ,b = r′ d′ ) выполнено d = d′ d′′ для какого-то d′′ ∈ R. Наибольших общих делителей в смысле данного определения можетбыть много. Скажем, 5 и −5 являются наибольшими общимиделителями чисел 10 и 15 в кольце Z.Пусть d1 и d2 — два наибольших общих делителя.
Тогдапо определению d1 = d′ d2 = d′ d′′ d1 , т. е. d′ d′′ = 1. Мы видим, что наибольшие общие делители отличаются на множитель, для которого в кольце есть обратный. И наоборот, еслиd — наибольший общий делитель, а ε — обратимый элемент(делитель единицы), то εd — также наибольший общий делитель. Действительно, если a = qd, b = rd, то a = (qε−1 )(εd),b = (rε−1 )(εd); если d = d′ d′′ , то εd = (εd′ )d′′ .Итак, наибольшие общие делители отличаются множителями, которые являются делителями единицы.104Глава 2.КольцаДва элемента кольца называются ассоциированными, еслиони различаются делителями единицы: a ∼ b равносильноa = εb, ε — делитель единицы.
Ассоциированность является отношением эквивалентности. Несложная проверка этогоутверждения оставляется читателю в качестве упражнения.Мы будем обозначать наибольший общий делитель через(a, b) и понимать под этим традиционным обозначением любойиз наибольших общих делителей.Теорема 2.28. Наибольший общий делитель двух элементовевклидова кольца можно представить как линейную комбинацию элементов a, b с коэффициентами из кольца: (a, b) == r̃a + q̃b, r̃, q̃ ∈ R.Доказательство. Рассмотрим множество I, состоящее извсех элементов кольца вида ra + qb, r, q ∈ R.
Проверим, чтоэто множество — идеал:(r1 a + q1 b) − (r2 a + q2 b) = (r1 − r2 )a + (q1 − q2 )b ∈ I,r(r′ a + q ′ b) = (rr′ )a + (rq ′ )b ∈ I.Поскольку кольцо евклидово, то этот идеал — главный, т. е.I = (d).Докажем, что d — наибольший общий делитель a, b. Вопервых, поскольку a = ea + 0b ∈ I, b = 0a + eb ∈ I, получаемa = sd, b = td. Во-вторых, поскольку d ∈ I, его можно представить в виде d = r̃a + q̃b. Значит, если a = q ′ d′ , b = r′ d′ ,тоd = r̃q ′ d′ + q̃r′ d′ = (r̃q ′ + q̃r′ )d′ .Как уже было показано, любой другой наибольший общийделитель d˜ отличается от d на множитель ε, который являетсяделителем единицы. Поэтому d˜ = (εr̃)a + (εq̃)b.Замечание 2.29. Обозначение (a, b) двусмысленно: так обозначается не только наибольший общий делитель элементовa, b, но и идеал, порожденный элементами a, b (наименьшийидеал, содержащий эти элементы).
В случае евклидовых колецэта двусмысленность не существенна, поскольку идеал (a, b)является главным идеалом, порожденным наибольшим общимделителем (a, b).2.7.Евклидовы кольца105Элементы евклидова кольца R называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен единице.Частным случаем теоремы 2.28 является основная теорема теории делимости: если числа n и m взаимно просты,то можно подобрать два таких целых x и y, что xn + ym = 1.Ясно также, что из теоремы 2.28 следует, что для любых двухцелых n, m можно подобрать такие целые числа x, y, чтоxn + ym = (n, m).
Используя эти утверждения, можно определить порядок элемента в циклической группе Cn и описатьвсе порождающие элементы Cn .Утверждение 2.30. Пусть m — целое число. Тогда порядокm̄ в аддитивной группе Zn вычетов по модулю n равен d == n/(n, m).Доказательство. Во-первых, dm̄ = dm = n · (m/(n, m)) == 0̄. Во-вторых, если sm̄ = 0̄, s 6= 0, то sm = tn. Так как(n, m) = xn + ym, то s(n, m) = sxn + sym делится на n. Нотогда s(n, m) > n и s > d.Следствие 2.31. В аддитивной группе Zn порождающимиэлементами являются в точности те вычеты x, для которых (n, x) = 1.Вернемся к общей теории. Пусть есть три элемента a, b, cцелостного кольца с единицей и a = bc. Рассмотрим идеалы(a), (b), т. е.
все кратные a и все кратные b. Имеет местоУтверждение 2.32. (a) ⊆ (b).Доказательство. Возьмем какой-нибудь элемент из идеала(a). Он может быть представлен в виде ad = b(cd) ∈ (b).Если элемент b ассоциирован с a, т. е. b = a · ε, тоa = b · ε−1 . Следовательно, (a) ⊆ (b), (b) ⊆ (a) и поэтому(a) = (b). Другими словами, если два элемента различаютсяделителем единицы, то они порождают одинаковые идеалы.Элемент b называется собственным делителем ненулевогоэлемента a, если a = bc и c необратим.Утверждение 2.33.
Пусть b — собственный делитель a.Тогда a не является делителем b, т. е. b 6= ad.106Глава 2.Кольца(Значит, b ∈/ (a) и потому (a) ⊂ (b).)Доказательство. От противного. Пусть a = bc. Предположим, что b = ad. Тогда a = a(cd) и a(1 − cd) = 0. Так какмы рассматриваем кольца без делителей нуля, то по крайнеймере один из сомножителей в левой части равен 0. Посколькуa 6= 0, то 1 = cd. Элемент d — обратный к c, приходим кпротиворечию.Лемма 2.34. Если a 6= 0 разлагается в произведение собственных делителей bc, то N (b) < N (a).Доказательство.
Разделим b на a с остатком: b = qa + r.Поскольку b — собственный делитель, то r 6= 0, N (r) < N (a).Но a = bc. Поэтому b = qcb + r, т. е. r = b(1 − qc) 6= 0. Следовательно, N (a) > N (r) > N (b) (норма произведения не меньшенормы ненулевого сомножителя).Попутно, для завершения картины, выведем из этой леммы еще одну несложную теорему.
Элемент кольца называетсяпростым, если у него нет собственных делителей, а он сам неявляется делителем единицы.Теорема 2.35. Каждый элемент евклидова кольца разлагается в произведение простых элементов и делителя единицы.Доказательство. Индукция по величине нормы. В качествебазы индукции рассмотрим утверждение теоремы для элементов с минимальной нормой. Очевидно, что они простые: впротивном случае они имели бы собственные делители, и этиделители имели бы меньшую норму.Предположим, что утверждение теоремы верно для всехзначений нормы, меньших либо равных некоторому числу m.Возьмем следующее значение нормы m+ s, т.
е. наименьшее иззначений нормы, бо́льших m (существенное отличие от стандартной индукции здесь в том, что никто не утверждает, чтозначения норм идут подряд). Пусть N (a) = m + s. Если a —простой элемент, то утверждение выполняется. Если a — непростой, то он разлагается в произведение собственных делителей, норма которых меньше нормы a: a = bc, N (b) < N (a),N (c) < N (a).
Для b, c утверждение справедливо в силу предположения индукции, значит оно справедливо и для a.2.7.107Евклидовы кольцаМы уже доказали (утверждение 2.33) что непростой элемент не может породить максимальный идеал (равносильнаяформа: всякий главный максимальный идеал порождаетсяпростым элементом). Верно и обратное:Теорема 2.36. Простой элемент p порождает максимальный идеал (p).Доказательство. По теореме 2.22 идеал является максимальным тогда и только тогда, когда кольцо классов вычетов поэтому идеалу является полем, т. е. разрешимо уравнениеāx̄ = b̄, ā 6= 0̄. Докажем, что в кольце R/(p) такое уравнениеобязательно разрешимо.Рассмотрим наибольший общий делитель (a, p).
Так какp — простой, его делители — только единицы и он сам. Но a наp не делится (ā 6= 0̄, значит, a ∈/ (p)). Поэтому (a, p) — делительединицы. По теореме 2.28 единицу можно представить в виделинейной комбинации a и p:1 = ar + pq.Докажем, что rb — решение уравнения āx̄ = b̄. Так как b == 1 · b = (ar + pq)b = a(rb) + p(qb), тоa(rb) + p(qb) = b̄ ⇒ ārb + p̄qb = b̄ ⇒ ārb = b̄.Итак, мы доказали, что любое линейное уравнение разрешимо, значит, кольцо классов вычетов R/(p) — поле, а потомуидеал (p) — максимален.В евклидовых кольцах существует простой способ нахождения наибольшего общего делителя и решения уравнения xa+yb = (a, b), который называется расширенным алгоритмомЕвклида.Утверждение 2.37.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
