Ю.И. Журавлёв, Ю.А. Флёров, М.Н. Вялый - Дискретный анализ. Основы высшей алгебры (1127101), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Доказать, чтоесли I1 и I2 — идеалы в A и I1 +I2 = A, то для любых элементовx1 , x2 ∈ A существует такой элемент x ∈ A, что x − x1 ∈ I1 ,x − x2 ∈ I2 .2.95*. В кольце выполнено тождество x3 = x. Доказать, чтотакое кольцо коммутативно.Глава 3Конечные поля или поля ГалуаВ этой главе мы рассмотрим конечные поля, т. е. поля, вкоторых есть лишь конечное число элементов. Они также называются полями Галуа, в честь Э. Галуа, который их первымизучил.Оказывается, все поля Галуа можно получить факторизацией по некоторому идеалу кольца целых чисел или кольцамногочленов.3.1.
Поле вычетов по модулюпростого числаСначала рассмотрим кольцо целых чисел. Возьмем произвольное простое число p и построим идеал (p) = {np | n ∈ Z},т. е. возьмем все кратные p.Кольцо Z/pZ вычетов по модулю этого идеала описано впримере 2.16. Напомним, что оно состоит из p элементов0̄ = 0 + pZ = {rp | r ∈ Z},1̄ = 1 + pZ = {1 + rp | r ∈ Z},...p − 1 = (p − 1) + pZ = {p − 1 + rp | r ∈ Z}.Поскольку Z — евклидово, а p — простое, по теореме 2.36 кольцо Z/pZ является полем.
Это поле вычетов по модулю p и естьпростейшее поле Галуа, которое мы далее будем обозначатьGF (p). Операции сложения и умножения в этом поле — это3.1.Поле вычетов по модулю простого числа129сложение и умножение целых чисел по модулю p. Скажем,чтобы найти x̄ + ȳ, необходимо вычислить z = (x + y) mod p,класс вычетов z̄ и будет результатом сложения x̄ и ȳ. Яснотакже, что можно брать и любые другие представители техже самых классов вычетов: результат сложения по модулю pне изменится.Поля GF (p) — это конечный аналог числовых полей, болееточно, — поля рациональных чисел. Чтобы увидеть это, введемпонятие характеристики поля.
Рассмотрим в некотором полеF множество кратных единицы:1 = 1,2 = 1 + 1,...k = 1 + 1 + · · · + 1,|{z}k раз...Если порядок 1 в аддитивной группе поля бесконечен, то характеристика поля F по определению равна 0. В этом случаевсе кратные единицы различны. В поле F выполнимы всеарифметические действия, поэтому из этих кратных единицымы можем построить произведения n·k −1 и противоположныек ним (обратные относительно сложения). Арифметическиеоперации с этими числами выполняются так же, как с обыкновенными дробями, это легко проверить, используя свойстваопераций сложения и умножения в поле.
Поэтому, добавляя кпостроенным выше элементам поля элемент 0, мы получаемв поле F подполе, которое изоморфно полю рациональныхчисел Q.Если порядок 1 в аддитивной группе поля конечен, то они есть по определению характеристика поля char F . Повторяяописанную выше процедуру добавления к кратным единицы«дробей», «противоположных чисел» и 0, мы получим подполеполя F , содержащее char F элементов.
Нетрудно видеть, чтооно изоморфно кольцу классов вычетов Z по модулю (char F ).Но (nm) ⊂ (n), поэтому чтобы кольцо классов вычетов помодулю p было полем, необходимо (и достаточно, как былопоказано выше), чтобы p было простым числом.130Глава 3.Конечные поля или поля ГалуаИтак, мы показали неформально справедливость следующих утверждений.Утверждение 3.1.
Если характеристика поля не равна нулю, то она — простое число.Утверждение 3.2. В каждом поле F есть либо подполе,изоморфное Q, либо подполе, изоморфное GF (p), p = char F .Читателю предлагается построить строгие доказательстваэтих утверждений, следуя намеченному выше плану.Замечание 3.3. Не нужно думать, что все поля положительной характеристики конечны. Вот простейший пример бесконечного поля положительной характеристики.
Пусть k —произвольное поле. Построим новое поле k(x) — поле рациональных функций над k. По определению, элементами этогополя, т. е. рациональными функциями, являются отношениямногочленов (т. е. дроби) r = p/q, где p, q ∈ k[x], причем q 6= 0.По определению, p1 /q1 = p2 /q2 , если p1 q2 = p2 q1 . Отсюда следует, что для любого d выполняется равенство (dp)/(dq) = p/q.Поэтому дроби можно приводить к общему знаменателю, чтодает возможность их складывать: p/q + u/v = (pv)/(qv) ++ (qu)/(qv) = (pv + qu)/qv. Умножение дробей определяетсяестественным образом: (p/q) · (u/v) = (pu)/(qv). Отметим, чтоk[x] ⊂ k(x) — каждый многочлен p отождествляется с дробьюp/1.
Ясно, что эта конструкция действительно дает поле. Еслив качестве k взять конечное поле GF (q) характеристики p,то мы придем к бесконечному полю GF (q)(x), которое такжеимеет характеристику p.3.2. Автоморфизм ФробениусаКонечное поле имеет положительную характеристику, причем эта характеристика — простое число. Вычисления в полеположительной характеристики сильно упрощаются следующей леммой.Лемма 3.4. В поле характеристики p > 0 выполнено тождество(a + b)p = ap + bp .(3.1)3.2.Автоморфизм Фробениуса131Доказательство.
В любом коммутативном кольце вернаформула для бинома p p−1ppp(a + b) = a +a b + ···+abp−1 + bp .1p−1Чтобы доказать (3.1), достаточно проверить, что все kp ,k∈/ {0, p}, делятся на p. Запишем формулу для биномиальногокоэффициента: pp!p · (p − 1) · . . . · 1=.=kk!(p − k)!k!(p − k)!Так как p — простое число, а кольцо целых чисел — евклидово,числитель дроби делится на p, а знаменатель — нет. В самомделе, разлагая сомножители знаменателя в произведение простых, видим, что каждый простой делитель знаменателя непревосходит максимума из k и p − k, т. е. меньше p.Аналогичная формула для умножения (ab)p = ap bp вернадля любого поля по очевидным причинам. Поэтому отображение x 7→ xp является гомоморфизмом поля характеристики pв себя.
Ядро этого гомоморфизма нулевое, так как в поле естьтолько два идеала — идеал, состоящий из одного элемента 0,и само поле. Действительно, если I — идеал в поле, a ∈ I,a 6= 0, то и всякий другой ненулевой элемент поля x принадлежит идеалу I, поскольку является кратным a: x = (xa−1 )a.Раз ядро гомоморфизма нулевое, то отображение инъективно(по определению это означает, что образы всех элементов различны). Таким образом, приходим к интересному следствиюлеммы 3.4 для конечных полей.Следствие 3.5. Отображение конечного поля характеристики p, задаваемое формулой x 7→ xp , является автоморфизмомполя.Действительно, инъективное отображение конечного поляв себя является биективным (взаимно однозначным).Автоморфизм x 7→ xp называется автоморфизмом Фробениуса.132Глава 3.Конечные поля или поля Галуа3.3.
Неприводимые многочленыКак было показано выше, кольцо многочленов над полемF — евклидово. Простые элементы этого кольца называются неприводимыми многочленами (над F ). В этом разделемы рассмотрим неприводимые многочлены над полями комплексных, действительных и рациональных чисел, а также надполем вычетов GF (p).Начнем с того, что проверим справедливость известныхшкольных фактов о корнях многочленов для колец многочленов с коэффициентами в произвольном поле.Утверждение 3.6. Остаток от деления многочлена f намногочлен первой степени x − a равен f (a). В частности, fделится на (x − a) тогда и только тогда, когда a являетсякорнем f , т.
е. f (a) = 0.Доказательство. Разделим f с остатком на x − a, остатокдолжен иметь степень 0: f = q · (x − a) + b. Подставляя вместоx элемент a, получаем f (a) = b.То же самое утверждение можно сформулировать иначе.Рассмотрим гомоморфизмEva : F [x] → F,который определяется вычислением значения многочлена приx = a: Eva : f 7→ f (a).
У этого гомоморфизма есть ядро: темногочлены, для которых a является корнем. Тогда нашеутверждение в точности означает, что Ker Eva = (x−a) (идеал,порожденный x − a).Можно доказать это утверждение, не обращаясь к делению с остатком. Действительно, отображение f (x) 7→ f (x + a)также является гомоморфизмом колец. Более того, оно взаимно однозначно: обратное отображение задается формулойf (x) 7→ f (x−a). Значит, это автоморфизм кольца многочленов.Но тогда наше утверждение достаточно доказать при a = 0, ав этом случае оно очевидно.Полезным следствием утверждения 3.6 является следующая лемма.Лемма 3.7.
Многочлен степени d имеет не более d корней.3.3.Неприводимые многочлены133Достаточно вспомнить, что при умножении многочленовстепени складываются, и учесть, что многочлены x − a и x − bвзаимно просты при a 6= b. Отсюда получаем очень важноеутверждение:Лемма 3.8. Если два многочлена степени не выше d какфункции различны, то их значения совпадают не более чем вd точках.Можно применить предыдущую лемму к разности многочленов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
