Главная » Просмотр файлов » Ю.И. Журавлёв, Ю.А. Флёров, М.Н. Вялый - Дискретный анализ. Основы высшей алгебры

Ю.И. Журавлёв, Ю.А. Флёров, М.Н. Вялый - Дискретный анализ. Основы высшей алгебры (1127101), страница 20

Файл №1127101 Ю.И. Журавлёв, Ю.А. Флёров, М.Н. Вялый - Дискретный анализ. Основы высшей алгебры (Ю.И. Журавлёв, Ю.А. Флёров, М.Н. Вялый - Дискретный анализ. Основы высшей алгебры) 20 страницаЮ.И. Журавлёв, Ю.А. Флёров, М.Н. Вялый - Дискретный анализ. Основы высшей алгебры (1127101) страница 202019-05-11СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 20)

Образует ли следующее множество функций кольцо относительно обычных операций сложения и умноженияфункций:а) множество функций действительного переменного на отрезке [a, b];б) множество функций действительного переменного, имеющих вторую производную на интервале (a, b);в) множество рациональных функций действительного переменного;г) множество непрерывных периодических функций действительного переменного;д) множество функций действительного переменного, обращающихся в 0 на некотором подмножестве D ⊆ R;е) множество функций, определенных на некотором множестве D и принимающих значение в некотором кольце K.2.10.115Задачи2.5. В множестве многочленов от переменного t с обычнымсложением в качестве умножения рассматривается операциясуперпозиции, заданная правилом (f ◦g)(t) = f (g(t)).

Являетсяли это множество кольцом относительно заданных операций?2.6. Образует ли кольцо множество всех подмножествнекоторого множества относительно симметрической разностии пересечения, рассматриваемых как сложение и умножениесоответственно?2.7. Является ли кольцом множество трехмерных векторов относительно операций векторного сложения и векторногоумножения?2.8. Доказать, что в кольце с единицей выполняются тождестваа) − ab = (−1)ab,б) (−1) · (−1) = 1.2.9.

Какие из колец в задачах 2.1 – 2.7 содержат делителинуля?2.10. Доказать, что если ak — делитель нуля, то и a — делитель нуля.2.11. Доказать, что все диагональные матрицы, т. е. матрицы видаa1 0 0 . . . 0 0 a2 0 . . . 0  0 0 a3 . . . 0  ,. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 . . . anпорядка n > 2 с действительными коэффициентами относительно обычных операций сложения и умножения матриц образуют коммутативное кольцо с делителями нуля.2.12. Доказать, что в кольце квадратных матриц порядка nс элементами из некоторого поля делителями нуля являютсявырожденные матрицы, и только они. (Матрица называетсявырожденной, если ее определитель равен 0).2.13. Найти все делители нуля кольца Z ⊕ Z (определениепрямой суммы колец см.

на с. 87).2.14. Доказать, что все обратимые элементы кольца с единицей образуют группу относительно умножения.116Глава 2.Кольца2.15. Найти обратимые элементы в кольцах с единицей иззадач 2.1 – 2.7.2.16. Доказать, что из равенства ax = ay для данного элемента a и любых элементов x и y кольца следует равенствоx = y тогда и только тогда, когда a не является делителемнуля.2.17. Показать, что матрицы порядка n > 2 с элементамииз некоторого поля, в которых все строки, начиная со второй,состоят из нулей, образуют кольцо относительно матричногосложения и умножения, в котором всякий элемент, отличныйот нуля, будет правым делителем нуля. Какие матрицы в этомкольце не будут левыми делителями нуля?2.18.

Элемент a кольца R называется нильпотентным, если am = 0 для некоторого натурального m. Для коммутативного кольца R доказать, что а) если a — нильпотентный, тодля любого r ∈ R элемент ra — также нильпотентный; б) еслиa, b — нильпотентные, то a + b — также нильпотентный.2.19. Найти все обратимые элементы, все делители нуля ивсе нильпотентные элементы в кольцах a) Zpn , где p — простое число; б) кольцо верхних треугольных матриц над полем;в) кольцо M2 [R] матриц второго порядка с действительнымиэлементами; г) кольцо всех функций, определенных на некотором множестве S и принимающих значения в поле K.2.20. Пусть R — конечное кольцо.

Доказать, чтоа) если R не содержит делителей нуля, то оно имеет единицу и все его ненулевые элементы обратимы;б) если R имеет единицу, то каждый его элемент, имеющийодносторонний обратный, обратим;в) если R имеет единицу, то всякий левый делитель нуляявляется правым делителем нуля;Верно ли утверждение в) для колец без единицы?2.21. Доказать, что в кольце с единицей и без делителейнуля каждый элемент, имеющий односторонний обратный, является обратимым.2.22. Пусть R — кольцо с единицей, x, y ∈ R. Доказать, чтоа) если произведения xy и yx обратимы, то элементы x и yтакже обратимы;б) если R без делителей нуля и произведение xy обратимо,то элементы x и y также обратимы;2.10.117Задачив) если R конечно и произведение xy обратимо, то элементыx и y также обратимы;г) без дополнительных предположений о кольце R из обратимости произведения xy не следует обратимость элементов xи y.2.23.

Пусть R — кольцо с единицей и S — его подкольцо.а) Верно ли, что 1 ∈ S?б) Может ли подкольцо S иметь единицу e, отличную от1 — единицы кольца R?2.24. Показать, что в кольце с единицей коммутативностьсложения вытекает из остальных аксиом кольца.2.25. Проверить, что равенства 0 · a = a · 0 = 0 можнодоказать, не используя коммутативности сложения. Доказать,что в кольце, содержащем хотя бы один элемент c, не являющийся делителем нуля, коммутативность сложения вытекаетиз остальных аксиом кольца.2.26. Привести примеры колец матриц, в которых естьнесколько правых или левых единиц.2.27. Доказать, что если все элементы коммутативногокольца R имеют общий делитель a, то это кольцо обладаетединицей.2.28. Указать коммутативное кольцо с единицей, содержащее элемент a 6= 0 с одним из следующих свойств:а) a2 = 0;б) для данного целого числа n > 1 выполнены условияan = 0, ak 6= 0, если 0 < k < n.2.29.

Пусть R — коммутативное кольцо с единицейи Rhxi —P∞kмножество всех формальных степенных рядовk=0 ak x ,ak ∈ R. Введем обычные операции сложения и умножениярядов:∞Xak xk +k=0∞Xk=0∞Xbk xk =k=0∞X(ak + bk )xk ,k=0∞∞ X Xak xk ·bk xk =(ck )xk ,k=0где ck =k=0Показать, что:а) Rhxi — коммутативное кольцо с единицей;kXj=0aj bk−j .118Глава 2.Кольцаб) Rhxi содержит подкольцо, изоморфное R;в) если R не имеет делителей нуля, то это верно и для Rhxi;P∞г) если R — поле, то k=0 ak xk тогда и только тогда будетобратимым элементом кольца Rhxi, когда a0 6= 0.√2.30.

Пусть R — множество всех чисел вида a + b −3,где a, b ∈ Z. Показать, что R — кольцо с единицей, в котором разложение на простые множители существует, но неоднозначно. В частности,показать,что в двух разложениях√√4 = 2 · 2 = (1 + −3) · (1 − −3) сомножителиявляются√простыми, причем 2 не ассоциировано с 1 ± −3.P2.31*. Доказать, что все конечные суммыak 2rk с целымикоэффициентами ak и неотрицательными двоично рациональными rk относительно обычных операций сложения и умножения чисел образуют коммутативное кольцо с единицей ибез делителей нуля, в котором не существует разложения напростые множители.2.32.

Доказать изоморфизмследующих колец: кольца ком√m+in Dплексных чисел вида, где D — фиксированное целое2число, свободное от квадратов (не делящееся на квадрат простого числа), n, m — целые числа одинаковой четности относительно обычныхсложения и умножения, и кольца операцийm n1, где D — то же самое число, n, m —матриц вида 2Dn mцелые числа одинаковой четности, относительно матричногосложения и умножения.2.33.

Доказать изоморфизмследующихколец: кольцо комzwплексных матриц видаотносительно матричного−w̄ z̄сложения и умножения и кольцо действительных матриц видаx −y ztyx −t z .−ztx y−t −z −y xотносительно матричного сложения и умножения.2.34. Пусть R — кольцо, состоящее из всех действительных функций f (x), определенных на всей числовой прямой,с обычными операциями сложения и умножения, и c — действительное число. Доказать, что:2.10.119Задачиа) отображение ϕ[f (x)] = f (c) есть гомоморфное отображение кольца R на поле R действительных чисел;б) ядро Ker ϕ гомоморфизма ϕ есть идеал в R;в) факторкольцо R/ Ker ϕ изоморфно полю действительных чисел R.2.35.

Алгебра кватернионов H — это множествоH = {a0 + a1 i + a2 j + a3 k | ai ∈ R}с операциями покомпонентного сложения(a0 + a1 i + a2 j + a3 k) + (b0 + b1 i + b2 j + b3 k)и умножения, которое определяется таблицей умножения«мнимых единиц»ijki−1−kjjk−1−ik−ji−1и условием дистрибутивности.а) Сопряженным кватерниону h = a0 + a1 i + a2 j + a3 kназывается кватернион h̄ = a0 −a1 i−a2 j −a3 k. Проверить, чтоhh̄ — действительное число (кватернион вида a + 0i + 0j + 0k).Это число называется квадратом нормы кватерниона.б) Проверить, что кватернионы образуют тело.в) Проверить, что любой кватернион нормы 1 можно записать в виде h = cos(θ/2) + sin(θ/2)v, где «мнимая часть»кватерниона v является единичным вектором в трехмерномевклидовом пространстве с ортонормированным базисом i, j,k.

Кватерниону h сопоставим вращение трехмерного пространства вокруг оси, задаваемой вектором v, на угол θ.Доказать, что построенное соответствие является гомоморфизмом: произведению кватернионов соответствует композиция соответствующих им вращений.a + bi c + di2.36. Доказать, что алгебра матриц вида−c + di a − bi√с действительными a, b, c, d и i = −1 изоморфна алгебрекватернионов H.120Глава 2.Кольца2.37.

Доказать, что алгебра действительных матриц видаabcd −b a −d c  −c da −b−d −c baизоморфна алгебре кватернионов H.2.38. Пусть (n) — идеал, порожденный целым числом n > 1в кольце многочленов с целыми коэффициентами Z[x]. Доказать, что факторкольцо Z[x]/(n) изоморфно кольцу Zn [x]многочленов над кольцом Zn вычетов по модулю n.2.39. Пусть R и S — кольца с единицей, ϕ : R → S — гомоморфизм.а) Верно ли, что образ единицы кольца R является единицей кольца S?б) Верно ли утверждение а), если гомоморфизм ϕ сюръективен?2.40. Гомоморфизм ϕ : R → S колец R и S с единицами 1 иe называется унитарным, если ϕ(1) = e. Найтиа) все унитарные гомоморфизмы кольца Z и кольца многочленов Z[x] в произвольное кольцо R с единицей;б) все гомоморфизмы кольца Z и кольца многочленов Z[x]в произвольное кольцо R.2.41. Пусть K — поле и f пробегает множество всех многочленов степени 2 из K[x].

Разбить на классы попарно изоморфных колец совокупность колец K[x]/(f ), если а) K = C;б) K = R; в) K = Q; г) K — конечное поле.2.42. Найти с точностью до изоморфизма: а) все кольцас единицей, б) все кольца, у которых аддитивная группа —циклическая порядка n.2.43. Доказать, что любое гомоморфное отображение поляP в кольцо R является или изоморфным отображением нанекоторое поле, входящее в R как подкольцо (так называемоевложение P в R), или отображением всех элементов из P внуль из R.2.44.

Пусть Z — кольцо целых чисел и R — любое кольцо сединицей e. Доказать, что отображение ϕ : n 7→ ne есть гомоморфное отображение Z в R. Найти образ ϕ(Z) кольца Z приэтом гомоморфизме.2.10.Задачи1212.45. Будут ли следующие множества подгруппами аддитивной группы, подкольцами или идеалами указанных нижеколец:а) множество nZ чисел, кратных числу n > 1, в кольце Zцелых чисел;б) множество Z целых чисел в кольце Z[x] многочленов сцелыми коэффициентами;в) множество nZ[x] многочленов, коэффициенты которыхкратны числу n > 1, в кольце Z[x] многочленов с целымикоэффициентами;г) множество N натуральных чисел в кольце Z целых чисел;д) множество Z целых чисел в кольце Z[i] целых гауссовыхчисел, т. е. чисел вида m + ni с целыми m, n ∈ Z;е) множество E чисел a + ai в кольце Z[i] целых гауссовыхчисел;ж) множество C чисел вида x(1 + i) в кольце Z[i] целыхгауссовых чисел, где x пробегает всё кольцо Z[i];з) множество Z[x] многочленов с целыми коэффициентамив кольце Q[x] многочленов над полем Q рациональных чисел;и) множество I многочленов, не содержащих членов с xkдля всех k < n, где n > 1, в кольце Z[x] многочленов с целымикоэффициентами;к) множество I многочленов с четными свободными членами в кольце Z[x] многочленов с целыми коэффициентами;л) множество I многочленов с четными старшими коэффициентами в кольце Z[x] многочленов с целыми коэффициентами.2.46.

Характеристики

Тип файла
PDF-файл
Размер
1,2 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6401
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее