Ю.И. Журавлёв, Ю.А. Флёров, М.Н. Вялый - Дискретный анализ. Основы высшей алгебры (1127101), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Изоморфизмы и гомоморфизмыколецЭти операции вводятся по аналогии с группами. Теперьтребуется сохранение обеих операций. Если есть кольцо R соперациями +, · и кольцо R′ с операциями ⊕, ⊗, то гомоморфизмом называется отображение ϕ : R → R′ , сохраняющее обеоперации:ϕ(r1 + r2 ) = ϕ(r1 ) ⊕ ϕ(r2 ),ϕ(r1 · r2 ) = ϕ(r1 ) ⊗ ϕ(r2 ).Изоморфизм колец — это взаимно однозначный гомоморфизм. Так же, как и в случае групп, изоморфные кольца «одинаковы» с алгебраической точки зрения.Совершенно без изменений доказывается теорема о том,что гомоморфная область кольца есть кольцо.
По первой операции всё повторяется дословно, ассоциативность умноженияпроверяется так же, как и ассоциативность сложения. Проверка дистрибутивности осуществляется прямым вычислением:ϕ(a) ⊗ (ϕ(b) ⊕ ϕ(c)) = ϕ(a) ⊗ ϕ(b + c) == ϕ(a · (b + c)) = ϕ(a · b + a · c) = ϕ(a · b) ⊕ ϕ(a · c) == ϕ(a) ⊗ ϕ(b) ⊕ ϕ(a) ⊗ ϕ(c).2.4. ИдеалыГруппы можно факторизовать («делить») по нормальнымподгруппам. Аналогичное действие в случае колец основанона понятии идеала.Что такое идеал? Это подмножество кольца, которое посложению является коммутативной подгруппой.
Кроме того,идеал удовлетворяет очень сильному условию по умножению.2.4.Идеалы93Если использовать образы из физики, то идеал — это подмножество «с очень сильным потенциалом». Если взять произвольный элемент i, принадлежащий идеалу I, и умножить егона любой элемент кольца r ∈ R, то произведение также должно принадлежать идеалу: r · i ∈ I (свойство «втягивания»).В частности, идеал I является кольцом относительно техже операций, что и исходное кольцо R. Это пример подкольца,т.
е. такого подмножества кольца, которое является подгруппой по сложению и замкнуто относительно операции умножения.Умножение в кольце не обязательно коммутативно. Поэтому, как и в случае смежных классов по подгруппе, нужны дватехнических понятия: если умножение берется слева, то этолевый идеал, а если справа, то — правый. Если выполняются оба условия (как всегда будет в коммутативном случае),говорят о двустороннем идеале или просто идеале.Технически более удобно слегка иное определение идеала.При изучении теории групп была доказана простая теоремао том, что подмножество группы является подгруппой тогдаи только тогда, когда вместе с элементами a и b содержитэлемент ab−1 .
Поэтому вместо условия, что I — подгруппа,можно использовать условие a−b ∈ I (так представляется ab−1в аддитивной записи). Итак, подмножество I ∈ R называетсялевым идеалом, если выполняются два следующих условия:1) если a, b ∈ I, то a − b ∈ I;2) если a ∈ I, r ∈ R, то ra ∈ I.Аналогично определяются правые и двусторонние идеалы.Оказывается, что идеалы в теории колец и в дальнейшихтеориях играют первостепенную роль.
Для начала посмотримна примеры идеалов.Пример 2.13. Возьмем кольцо целых чисел Z. Выберем в немфиксированный элемент n, и рассмотрим все его кратные, т. е.множество nZ = {rn | r ∈ Z}. Это множество — идеал, чтолегко проверить из определения.Нетрудно также убедиться, что любой идеал в Z имеет видnZ. Действительно, пусть I ⊆ Z — идеал. Если I = {0}, тоI = 0Z. В противном случае I содержит положительные числа(так как идеал — подгруппа аддитивной группы Z).
Пусть n —94Глава 2.Кольцанаименьшее положительное число, принадлежащее I. Докажем, что I = nZ. В силу определения идеала I ⊇ nZ. С другойстороны, если a принадлежит идеалу I то остаток r от деленияa на n принадлежит I, так как r = a − qn. Но тогда, если a непринадлежит идеалу nZ, то r 6= 0 и r < n, что противоречитвыбору n.Это простое рассуждение будет обобщено ниже (см. теорему 2.27).Пример 2.14. То же самое можно сделать и с многочленами: зафиксировать какой-нибудь многочлен ϕ(x) и умножитьего на всевозможные многочлены. Получим идеал ϕ(x)R[x] == {ψ(x)ϕ(x) | ψ(x) ∈ R[x]}.Приведенные примеры легко обобщить. По элементу a ∈ Rкоммутативного кольца R можно построить множество(a) = {ra + na | r ∈ R, n ∈ Z},которое, как легко проверить, является идеалом.
Этот идеалназывается главным идеалом, порожденным элементом a. Если в кольце есть единица, то главный идеал можно записатьв таком же виде, как в предыдущих примерах:(a) = {ra | r ∈ R}.Главные идеалы можно определить иначе. Заметим, чтопересечение идеалов также идеал. Поэтому для любого подмножества S кольца R можно определить наименьший идеал,содержащий S, как пересечение всех идеалов, содержащих S.Этот идеал называется идеалом, порожденным множествомS (обозначается (S)). В общем случае главным идеалом, порожденным элементом a, можно назвать идеал, порожденныймножеством {a}.Кольца, в которых все идеалы, отличные от самого кольца, — главные, называются кольцами главных идеалов. Примеры колец главных идеалов, обобщающие кольцо целых чисел,приводятся ниже в разделе 2.7.Поскольку идеалы в теории колец играют роль, аналогичную роли нормальных подгрупп в теории групп, естественнопроверить справедливость следующего утверждения.2.5.Кольца классов вычетов95Утверждение 2.15.
Ядро любого гомоморфизма колец является двусторонним идеалом.Доказательство. Пусть ϕ : R1 → R2 — гомоморфизм колец,I = Ker ϕ = {x | ϕ(x) = 0} — ядро этого гомоморфизма.Поскольку гомоморфизм колец является и гомоморфизмомих аддитивных групп, то I — подгруппа по сложению. Осталось проверить, что для любого r ∈ R1 и a ∈ I выполненоra ∈ I, ar ∈ I. Из свойств гомоморфизма следует, что ϕ(ra) == ϕ(r)ϕ(a) = ϕ(r) · 0 = 0. Аналогично ϕ(ar) = 0.2.5. Кольца классов вычетовТак же, как мы раскладывали группу на смежные классы по нормальной подгруппе, мы будем раскладывать кольцопо идеалам. Возьмем какой-нибудь элемент кольца r и рассмотрим суммы этого элемента со всеми элементами идеала.Получим, конечно, смежный класс по идеалу как аддитивнойподгруппе кольца. Но теория колец очень долго развиваласьсовершенно независимо от теории групп, поэтому в ней возникла своя терминология.
В данном случае смежные классыназываются классами вычетов по модулю идеала I, или, более кратко, классами вычетов по I. Поскольку по сложениюкольцо — группа, то для классов вычетов выполняются всетеоремы о смежных классах.Пример 2.16. Рассмотрим кольцо целых чисел и вычеты поидеалу nZ, описанному в примере 2.13. Получим такие множества:0 + nZ = {rn | r ∈ Z} = 0̄,1 + nZ = {1 + rn | r ∈ Z} = 1̄,...(n − 1) + nZ = {n − 1 + rn | r ∈ Z} = n − 1.Следующий шаг состоит в том, чтобы доказать, что совокупность классов вычетов снова образует кольцо. Это верно,если идеал — двусторонний. (Аналогично тому, как классысмежности по подгруппе образуют группу лишь в том случае,когда левые смежные классы совпадают с правыми).96Глава 2.КольцаОперации над классами вычетов определяются аналогичнооперациям над смежными классами. Однако из-за наличиядвух операций возникают некоторые тонкости.Докажем несколько простых соотношений.
(Предполагаемниже, что рассматриваются двусторонние идеалы, хотя частьутверждений верна и для односторонних идеалов.)Пусть у нас есть два элемента, которые принадлежат одному классу вычетов по модулю двустороннего идеала I. Этоозначает, что a = r + i1 , b = r + i2 , i1 , i2 ∈ I. Такие элементыназываются сравнимыми, отношение сравнимости обозначается a ≡ b (mod I) (иногда для краткости I не пишут), читается«a сравнимо с b по модулю идеала I».Непосредственно из определения следуетУтверждение 2.17. a ≡ b (mod I) равносильно a − b ∈ I.Доказательство. Предположим, что a = r + i1 , b = r + i2 .Тогда a − b = i1 − i2 ∈ I. И наоборот: если a − b = i ∈ I, тоa = b + i ∈ b + I, значит, a ≡ b.Из этого простого утверждения следует весьма полезныйвывод: сравнение по модулю идеала в большой степени похожена обычное равенство.Утверждение 2.18.
Если a1 ≡ a2 , b1 ≡ b2 , то a1 +b1 ≡ a2 +b2и a1 b 1 ≡ a2 b 2 .Доказательство. Разность двух элементов, принадлежащихидеалу, принадлежит идеалу; произведение элемента идеалана любой другой элемент принадлежит идеалу. Поэтому1) Пусть a1 −a2 ∈ I, b1 −b2 ∈ I, тогда (a1 +b1 )−(a2 +b2 ) ∈ I,т. е.
a1 + b1 ≡ a2 + b2 .2) a1 b1 − a2 b2 = a1 b1 − a1 b2 + a1 b2 − a2 b2 = a1 (b1 − b2 )++(a1 − a2 )b2 ∈ I (здесь использовано, что идеал — двусторонний).Теперь определим сумму и произведение классов вычетовr̄1 = r1 + I, r̄2 = r2 + I:r̄1 + r̄2 = r1 + r2 = r1 + r2 + I,r̄1 · r̄2 = r1 r2 = r1 r2 + I.(2.5)(2.6)2.5.Кольца классов вычетов97Нужно доказать корректность введенных операций, т. е.независимость результата операции от выбора представителякласса вычетов. Это немедленно следует из утверждения 2.18.Действительно, еслиr1 + I = r̄1 = r1′ + I,r2 + I = r̄2 = r2′ + I,то r1 ≡ r1′ , r2 ≡ r2′ , и по утверждению 2.18 получаемr1 + r2 ≡ r1′ + r2′ , r1 r2 ≡ r1′ r2′ .
Это и значит, что сумма ипроизведение представителей классов вычетов принадлежатодному и тому же классу вычетов, который не зависит отвыбора представителей. Поэтому результаты операций, определенных (2.5), (2.6), не зависят от выбора представителейклассов вычетов.Утверждение 2.19.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
