Ю.И. Журавлёв, Ю.А. Флёров, М.Н. Вялый - Дискретный анализ. Основы высшей алгебры (1127101), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Доказать утверждения:а) число p является простым;б) группа G разлагается в прямую сумму конечного числациклических подгрупп порядка p и имеет порядок pk , где k —число этих слагаемых;в) любая ненулевая подгруппа H группы G сама будет элементарной и является прямым слагаемым в некотором прямомразложении G = H + K группы G;г) число подгрупп порядка ps элементарной группы G порядка pk , k > s > 0, равно(pk − 1)(pk − p)(pk − p2 ) .
. . (pk − ps−1 ).(ps − 1)(ps − p)(ps − p2 ) . . . (ps − ps−1 )1.113. Доказать, что конечная абелева группа G порождается ее элементами максимального порядка.Глава 2КольцаПерейдем теперь к рассмотрению более сложной алгебры —алгебры с двумя операциями. Операции будем всегда обозначать как сложение и умножение, хотя к обычным сложению иумножению они могут не иметь никакого отношения.2.1. Определение кольца ипростейшие свойстваКольцо — это множество R с двумя бинарными операциямисложения + и умножения · такими, чтоR1: относительно сложения R — коммутативная группа (которая называется аддитивной группой кольца);R2: умножение ассоциативно;R3: a·(b+c) = a·b+a·c; (b+c)·a = b·a+c·a (дистрибутивностьумножения относительно сложения слева и справа).Если в кольце имеется единичный элемент для умножения,то кольцо называется кольцом с единицей.
Мы будем обозначать единицу через 1, несмотря на двусмысленность такогообозначения. Если умножение коммутативно, то такое кольцоназывается коммутативным кольцом.Замечание 2.1. В литературе встречается другое определение кольца, в котором опущена аксиома ассоциативности R2.86Глава 2.КольцаВ таких книгах кольца с ассоциативным умножением называются ассоциативными. Нам удобнее использовать более узкоепонятие кольца.Замечание 2.2. Когда рассматриваются кольца с единицей,почти всегда исключается вырожденный случай 0 = 1.
Далеевсегда предполагается, что в кольцах с единицей 0 6= 1.Обратного элемента по второй операции (умножению) вкольце может и не быть. Поэтому уравнение ax = b можетне иметь решений в кольце.Классический пример кольца — это множество целых чиселс операциями сложения и умножения.
Обозначается кольцоцелых чисел через Z. Обратного элемента по умножению нетдля всех целых чисел, за исключением ±1. Другой важныйпример кольца — кольцо многочленов — подробно рассматривается ниже (раздел 2.2).Из аксиом кольца следует довольно много тривиальныхследствий. Приведем здесь только самые необходимые, и будем вводить остальные по мере надобности.Утверждение 2.3. В любом кольце a(b − c) = ab − ac.Это утверждение означает, что дистрибутивность выполняется и для вычитания (сложения с противоположным, т. е.обратным относительно сложения).Доказательство. a(b − c) + ac = a(b − c + c) = ab.Конечно, выполняется также и равенство (b − c)a = ba − ca.Утверждение 2.4. В любом кольце a · 0 = 0.Доказательство.
a · 0 = a(b − b) = ab − ab = 0.Выполняется также и аналогичное равенство при умножении на 0 слева: 0 · a = 0.Для чисел и многочленов выполняется такое свойство: еслипроизведение двух элементов равно нулю, то хотя бы одинэлемент равен нулю. В общем случае это свойство может невыполняться.
Давайте рассмотрим некоторые примеры.Пример 2.5. Множество целых чисел с операциями сложения и умножения по модулю 4. Более точно, мы рассматриваем2.1.Определение кольца и простейшие свойства87операции на множестве вычетов по модулю 4, т. е. не различаем числа, разность которых делится на 4. Относительноэтих операций множество из четырех различных вычетов помодулю 4, т. е.
{0, 1, 2, 3}, образует кольцо. И в этом кольцепроизведение двух не равных нулю элементов может быть нулевым: 2 · 2 = 0.Пример 2.6. Прямым обобщением предыдущего примера является кольцо вычетов по модулю n, где n — натуральноечисло. Элементами этого кольца, которое мы будем обозначатьZn , являются числа 0, 1, . . . , n − 1. Сложение и умножение вэтом кольце определяются как сложение и умножение по модулю n. Аналогично предыдущему примеру можно заметить, чтоесли число n = ab — составное, то ab = 0 в Zn .
Оказывается,что если n — простое, то произведение ненулевых элементов вZn обязательно отлично от 0. Доказательство этого утверждения будет приведено ниже (см. раздел 2.7).Пример 2.7. Есть еще один важный пример — кольцо непрерывных функций на отрезке [0, 1] с обычными операциямипоточечного сложения и умножения функций: (f + g)(x) == f (x)+g(x), (f ·g)(x) = f (x)g(x). Нулем этого кольца являетсяфункция, тождественно равная нулю.
Рассмотрим две ненулевых функции f , g, графики которых изображены на рисунке.Очевидно, что произведение этих функций тождественно равно нулю.f (x )0g (x )1Пример 2.8. По двум кольцам R1 , R2 можно определить ихпрямую сумму R1 ⊕ R2 аналогично прямому произведениюгрупп, которое было определено в примере 1.35 и прямой сумме абелевых групп, которая была определена в разделе 1.12.88Глава 2.КольцаКольцо R1 ⊕ R2 состоит из всевозможных пар (r1 , r2 ), гдеr1 ∈ R1 , r2 ∈ R2 . Операции определяются так:(r1 , r2 ) + (r1′ , r2′ ) = (r1 + r1′ , r2 + r2′ ),(r1 , r2 ) · (r1′ , r2′ ) = (r1 · r1′ , r2 · r2′ )(для простоты обозначений мы используем одни и те же символы для операций в обоих кольцах).Проверка аксиом кольца для прямой суммы колец выполняется механически.
По сложению это группа, которая естьпрямое произведение аддитивных групп колец R1 и R2 . Ассоциативность умножения и дистрибутивность проверяютсяпокомпонентно.В прямой сумме колец несложно построить пару ненулевых элементов, произведение которых равно нулю. Используем утверждение 2.4:(a, 0) · (0, b) = (a · 0, 0 · b) = (0, 0).Ненулевые элементы кольца, произведение которых равнонулю, имеют специальное название — делители нуля. Технически бывает удобно различать левые и правые делители нуля.Элемент a ∈ R называется правым (левым) делителем нуля,если для некоторого b ∈ R выполняется ba = 0 (ab = 0).Наличие делителей нуля в кольцах является крайне неприятным эффектом.
Поэтому выделяется класс колец без делителей нуля. Коммутативные кольца без делителей нуля называются целостными кольцами (или областями целостности).Как правило, мы будем рассматривать целостные кольца, поскольку они дают важные для приложений примеры.2.2. Кольцо многочленовВозьмем какой-нибудь коммутативное кольцо R с единицей(например, целые, рациональные, действительные, комплексные числа и т. д.). Построим кольцо многочленов R[x] с коэффициентами из R (иногда говорят об алгебре многочленовнад R). Многочлен — это формальное выражениеA = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + ad xd ,ai ∈ R, ad 6= 0.(2.1)2.2.89Кольцо многочленовЧисло d называется степенью многочлена (2.1) и обозначаетсяdeg A. Есть еще один исключительный многочлен — 0.
Егонельзя представить в виде (2.1). Степень нулевого многочленаобычно полагают неопределенной, но часто ее можно считатьравной −∞.Что такое xk в формуле (2.1)? Это, конечно, просто переменная x, возведенная в некоторую степень. Но ничего об этойпеременной нам знать не нужно, она используется в записиисключительно для наглядности. Правильнее даже считать,что многочлен — это финитная последовательность элементовкольца R (последовательность коэффициентов):a0 , a1 , . . . , an , . . .Здесь слово «финитная» означает, что все элементы последовательности, начиная с некоторого места, равны 0.
(Еслиэтого не требовать, то мы получим другое интересное кольцо —кольцо степенных рядов, которое играет важную роль в комбинаторике под названием производящих функций.) Заметьте,что нуль включается в такое описание на общих основаниях.Сложение многочленов определяется формулой(a0 + a1 x + · · · + ad xd ) + (b0 + b1 x + · · · + bd xd ) == (a0 + b0 ) + (a1 + b1 )x + · · · + (ad + bd )xd(2.2)(если степени разные, к многочлену меньшей степени нужнодобавить слагаемые с нулевыми коэффициентами), а умножение — формулой(a0 + a1 x + · · · + ad xd )(b0 + b1 x + · · · + bk xk ) == a0 b0 + (a1 b0 + a0 b1 )x + · · · =d+kXi=0xiiXaj bi−j(2.3)j=0(в которой отсутствующие коэффициенты также полагаютсяравными нулю — в полном соответствии со второй интерпретацией многочленов).
Эти формулы можно получить, если потребовать коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности сложения и умножения многочленов. С левыми частяминаписанных выражений нужно действовать так, как учили в7-м классе: раскрыть скобки и привести подобные.90Глава 2.КольцаИтак, R[x] — это множество финитных последовательностей элементов R c операциями, задаваемыми формулами (2.2)и (2.3).Утверждение 2.9. R[x] является коммутативным кольцомс единицей.Доказательство. Из формул (2.2) и (2.3) очевидно, что 0 == (0, .
. . ) и 1 = (1, 0, . . . ) будут соответственно нулем и единицей в R[x].Из определения сложения (коэффициенты складываютсяпо отдельности при разных степенях) видно, что коммутативность и ассоциативность сложения следуют из коммутативности и ассоциативности сложения в R. Противоположныймногочлен (обратный относительно сложения) получается переменой знаков у всех коэффициентов. Поэтому по сложениюмногочлены образуют группу.Коммутативность умножения очевидна из симметрии формулы (2.3), которой определяется умножение.Дистрибутивность также легко проверяется по формуледля умножения: подставим в формулу вместо bj выражениеcj + dj и затем воспользуемся дистрибутивностью в кольце R,получим:iXaj bi−j =j=0iXaj (ci−j + di−j ) =j=0iXaj ci−j +j=0iXaj di−j .j=0Это и есть дистрибутивность.Проверим ассоциативность умножения многочленов непосредственным вычислением:X XXA(BC) =ai xibk cs xj =i=0=X Xi=0=arr+j=iX Xi=0jr+k=jar b kXk+s=jb k csk+s=jX i Xx =i=0Xr+k+s=iar bk cs xi =X X Xcs xi =ar bk xjcs xs =j+s=ijr+k=js= (AB)C.(2.4)2.2.Кольцо многочленов91Если вы внимательно посмотрите на эту выкладку, то поймете, что ассоциативность умножения многочленов следуетиз ассоциативности сложения натуральных чисел.
Заметьтетакже, что верхние индексы в этой выкладке не указывались.Они в ней не играют никакой роли — на самом деле мы проверили ассоциативность в более широком кольце степенныхрядов.Может показаться непонятным, зачем нужны такие сложные выкладки в этом доказательстве. Если смотреть на многочлен, как на функцию из R в R, задаваемую формулой (2.1),то свойства кольца, включая ассоциативность, очевидны.Но такое понимание многочленов будет для нас слишкомограничительным.
Возьмем, скажем, кольцо из двух элементов F = {0, 1} со сложением и умножением по модулю 2.Функции x 7→ x и x 7→ x2 в этом кольце совпадают. А многочлены x и x2 над этим кольцом различны по определению,данному выше (одному соответствует последовательность коэффициентов (0, 1, 0, . . . ), а другому — (0, 0, 1, 0, . . . )).Однако для целых, рациональных, действительных иликомплексных чисел определение многочленов как функций,задаваемых формулой (2.1), равносильно данному выше определению. Ниже мы обсудим этот вопрос подробнее (см. пример 3.21 из раздела 3.4).А пока рассмотрим простые алгебраические свойства колецмногочленов.Утверждение 2.10.
Если в R нет делителей нуля, то дляf, g 6= 0 выполнено deg(f g) = deg f + deg g.Доказательство: коэффициент при старшей степени произведения равен произведению коэффициентов при старшихстепенях сомножителей. Исключительный случай 0 покрывается той же формулой, если полагать степень 0 равной −∞.Следствие 2.11. Если в R нет делителей нуля, то и в R[x]нет делителей нуля.Используя формулу для степени произведения многочленов, можно найти и делители единицы в кольце многочленов,как еще называют обратимые элементы относительно умножения.92Глава 2.КольцаСледствие 2.12. Обратимые элементы в кольце многочленов R[x] над целостным кольцом R — это константы (многочлены степени 0), обратимые в кольце R.2.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
