Ю.И. Журавлёв, Ю.А. Флёров, М.Н. Вялый - Дискретный анализ. Основы высшей алгебры (1127101), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Пусть H — подгруппа индекса 2 в группе G, K —класс сопряженных в G элементов и K ⊂ H. Доказать, чтоK является либо классом сопряженных в H элементов, либообъединением двух классов сопряженных в H элементов, состоящих из одинакового числа элементов.1.79. Найти число перестановок симметрической группы Sn ,сопряженных с данной перестановкой σ.1.80*. Конечная группа G имеет порядок pn , где p — простоечисло. Доказать, что G имеет нетривиальный центр (содержащий более одного элемента).1.81*. Доказать, что любой нормальный делитель A знакопеременной группы An степени n > 5, содержащий хотя быодин тройной цикл, совпадает с An .1.82*.
а) Найти все классы сопряженных элементов группыикосаэдра;б) доказать, что группа икосаэдра является простой (т. е.не имеет нормальных делителей, отличных от самой группы иединичной подгруппы).1.13.Задачи791.83*. Доказать, что знакопеременная группа пятой степениявляется простой.1.84. Доказать, что факторгруппа симметрической группыSn по знакопеременной группе An изоморфна факторгруппеаддитивной группы целых чисел по подгруппе четных чисел.1.85.
Построить факторгруппуа) аддитивной группы целых чисел по подгруппе чисел,кратных данному натуральному числу d;б) аддитивной группы целых чисел, кратных 3, по подгруппе чисел, кратных 15;в) аддитивной группы целых чисел, кратных 4, по подгруппе чисел, кратных 24;г) мультипликативной группы действительных чисел, отличных от нуля, по подгруппе положительных чисел;д) аддитивной группы комплексных чисел по подгруппецелых гауссовых чисел;е) аддитивной группы векторов плоскости (выходящих изначала координат) по подгруппе векторов, лежащих на оси Ox;ж) мультипликативной группы комплексных чисел, отличных от нуля, по подгруппе действительных чисел.1.86. Пусть Gn — аддитивная группа векторов n-мерноголинейного пространства и Hk — подгруппа векторов k-мерного подпространства, 0 6 k 6 n.
Доказать, что факторгруппаGn /Hk изоморфна Gn−k .1.87. Пусть G — мультипликативная группа всех комплексных чисел, отличных от 0, и H — множество всех чисел из G,лежащих на действительной и мнимой осях.а) Доказать, что H — подгруппа группы G.б) Найти смежные классы группы G по подгруппе H.в) Доказать, что факторгруппа G/H изоморфна мультипликативной группе U всех комплексных чисел, равных помодулю 1.1.88*. ПустьG — мультипликативная группа комплексных чисел, отличныхот 0,H — множество чисел из G, лежащих на n лучах, выходящихиз 0 под равными углами, причем один из этих лучей совпадает с положительной действительной полуосью.K — аддитивная группа всех действительных чисел,80Глава 1.ГруппыZ — аддитивная группа целых чисел,D — мультипликативная группа положительных чисел,U — мультипликативная группа комплексных чисел, равныхпо модулю 1,Un — мультипликативная группа корней n-й степени из 1.Доказать, чтоа) K/Z ∼б) G/D ∼в) G/U ∼= U;= U;= D;∼∼г) U/Un = U ; д) G/Un = G; е) H < G и G/H ∼= U;ж) H/D ∼= Un ; з) H/Un ∼= D.1.89.
Для мультипликативных групп невырожденных квадратных матриц порядка n доказать утверждения:а) факторгруппа группы действительных матриц по подгруппе матриц с определителем, равным 1, изоморфна мультипликативной группе действительных чисел, отличных от 0;б) факторгруппа группы действительных матриц по подгруппе матриц с определителем, равным ±1, изоморфна мультипликативной группе положительных чисел;в) факторгруппа группы действительных матриц по подгруппе матриц с положительными определителями являетсяциклической группой второго порядка;г) факторгруппа группы комплексных матриц по подгруппе матриц с определителями, по модулю равными 1, изоморфна мультипликативной группе положительных чисел;д) факторгруппа группы комплексных матриц по подгруппе матриц с положительными определителями изоморфнамультипликативной группе комплексных чисел, по модулюравных 1.1.90. Доказать, что в факторгруппе Q/Z (Q — аддитивнаягруппа рациональных чисел, Z — аддитивная группа целыхчисел):а) каждый элемент имеет конечный порядок;б) для каждого натурального n имеется в точности однаподгруппа порядка n.1.91.
Доказать, чтоа) симметрическая группа S3 имеет шесть внутренних автоморфизмов и ни одного внешнего, причем группа автоморфизмов изоморфна S3 ;1.13.Задачи81б) четверная группа V (задача 1.11) имеет один внутренний автоморфизм (тождественный) и пять внешних, причемгруппа автоморфизмов изоморфна S3 .1.92. Доказать, что для любой группы G множество всехвнутренних автоморфизмов является нормальной подгруппойв группе всех автоморфизмов группы G.1.93*. Существуют ли у S6 внешние автоморфизмы?1.94. Доказать, что группа внутренних автоморфизмовгруппы G изоморфна факторгруппе группы G по ее центру.1.95. Доказать, что группа всех автоморфизмов некоммутативной группы не может быть циклической.1.96. Доказать, что факторгруппа некоммутативной группы по ее центру (пример 1.18 на с.
25) не может быть циклической.1.97*. Доказать, что если порядок конечной группы G делится на простое число p, то G содержит элемент порядка p(теорема Коши).1.98*. Пусть p — простое число. Группа G называется p-группой, если порядки всех ее элементов конечны и равны некоторым степеням числа p. Доказать, что конечная группа Gтогда и только тогда будет p-группой, когда ее порядок равенстепени числа p.1.99. Доказать, что группа порядка p2 , где p — простое число, коммутативна.1.100. Найти число классов сопряженности и число элементов в каждом классе для некоммутативной группы порядкаp3 , где p — простое число.1.101.
Доказать, что:а) аддитивная группа векторов n-мерного линейного пространства есть прямая сумма n подгрупп векторов одномерных подпространств, натянутых на векторы любого базисапространства;б) аддитивная группа комплексных чисел есть прямая сумма подгрупп действительных и чисто мнимых чисел;в) мультипликативная группа действительных чисел естьпрямое произведение подгруппы положительных чисел и подгруппы чисел ±1;г) мультипликативная группа комплексных чисел есть прямое произведение подгрупп положительных чисел и чисел, по82Глава 1.Группымодулю равных единице.1.102. Доказать, что если G = A + B1 = A + B2 — прямыеразложения абелевой группы G и B1 ⊆ B2 , то B1 = B2 .1.103. Доказать, что прямое разложение G = H +K абелевойгруппы G существует тогда и только тогда, когда существуетгомоморфное отображение G на подгруппу H, сохраняющеена месте все элементы из H.1.104. Доказать, что если G = A + B — прямое разложениегруппы G, то факторгруппа G/A изоморфна B.1.105.
Пусть G = A1 + A2 + · · · + As разложение абелевойгруппы G в прямую сумму подгрупп и x = a1 + a2 + · · · + as ,ak ∈ Ak , k = 1, 2, . . . , s, — соответствующее разложение элемента x в сумму компонент. Доказать, что:а) группа G тогда и только тогда имеет конечный порядокn, когда каждая подгруппа Ak имеет конечный порядок nk ,k = 1, 2, . . . , s, причем n = n1 n2 . . . ns .б) элемент тогда и только тогда имеет конечный порядок p,когда каждая его компонента ak имеет конечный порядок pk ,k = 1, 2, .
. . , s, причем p равно наименьшему общему кратномучисел p1 , p2 , . . . , ps .в) группа G тогда и только тогда является конечной циклической, когда все прямые слагаемые Ak — конечные циклические группы, причем их порядки попарно взаимно просты.1.106. Разложить в прямую сумму примарных компонентциклическую группу порядка: а) 6; б) 12; в) 60; г) 900.1.107*. Доказать неразложимость в прямую сумму двух ненулевых подгрупп:а) аддитивной группы целых чисел;б) аддитивной группы рациональных чисел;в) циклической группы порядка pn , p — простое.1.108*. Пусть G — ненулевая конечная абелева группа (с аддитивной записью операции).
Доказать утверждения:а) если порядки всех элементов из G делят произведениеpq взаимно простых чисел p и q, то G разлагается в прямуюсумму подгрупп A и B, где порядки всех элементов из A делятp, а из B — делят q, причем одна из подгрупп A или B можетоказаться нулевой;б) для группы G имеет место разложение G = A1 +A2 +. . .++ As в прямую сумму ненулевых подгрупп, порядок элемен-1.13.83Задачитов Ai — степень простого числа pi , причем все pi различны:pi 6= pj при i 6= j;в) группа Ak , относящаяся к простому числу pk , состоит извсех элементов группы G, порядки которых равны степенямчисла pk , что однозначно определяет разложение из пункта б).1.109. Найти все (с точностью до изоморфизма) абелевыгруппы следующих порядков:а) 3; 6) 4; в) 6; г) 8; д) 9; е) 12; ж) 16; з) 24; и) 30; к) 36;л) 48; м) 60; н) 63; о) 72; п) 100.1.110*.
Разложить в прямую сумму примарных циклическихи бесконечных циклических подгрупп факторгруппу Z3 /H,где x1 , x2 , x3 — порождающие Z3 , а порождающие H заданысоотношениями y1 = 7x1 + 2x2 + 3x3 , y1 = 4x1 + 5x2 + 3x3 ,y2 = 21x1 + 8x2 + 9x3 , б)y2 = 5x1 + 6x2 + 5x3 ,а)y3 = 5x1 − 4x2 + 3x3 ,y3 = 8x1 + 7x2 + 9x3 , y1 = 5x1 + 5x2 + 2x3 , y1 = 6x1 + 5x2 + 7x3 ,y2 = 11x1 + 8x2 + 5x3 , г)y2 = 8x1 + 7x2 + 11x3 ,в)y3 = 17x1 + 5x2 + 8x3 ,y3 = 6x1 + 5x2 + 11x3 , y1 = 4x1 + 5x2 + x3 , y1 = 2x1 + 6x2 − 2x3 ,y2 = 8x1 + 9x2 + x3 ,y2 = 2x1 + 8x2 − 4x3 ,д)е)y3 = 4x1 + 6x2 + 2x3 ,y3 = 4x1 + 12x2 + 4x3 , y1 = 6x1 + 5x2 + 4x3 , y1 = 1x1 + 2x2 + 3x3 ,y2 = 7x1 + 6x2 + 9x3 , з)y2 = 2x1 ,ж)y3 = 5x1 + 4x2 − 4x3 ,y3 = 3x1 , y1 = 4x1 + 7x2 + 3x3 , y1 = 2x1 + 3x2 + 4x3 ,y2 = 2x1 + 3x2 + 2x3 ,и)y3 = 6x1 + 10x2 + 5x3 ,y2 = 5x1 + 5x2 + 6x3 ,к)y3 = 2x1 + 6x2 + 9x3 .1.111. Доказать, что является циклической конечная абелева группа G, порядок которой равен:а) произведению двух различных простых чисел p и q;б) произведению различных простых чисел p1 , p2 , .
. . , ps ;в) найти все подгруппы абелевой группы G, порядок которой удовлетворяет условию пункта б), и найти число этих84Глава 1.Группыподгрупп;г) доказать, что для любого делителя k порядка n конечнойабелевой группы G существуют подгруппа и факторгруппагруппы G, имеющие порядок k.1.112. Пусть G — ненулевая конечная абелева группа, всененулевые элементы которой имеют один и тот же порядок p(элементарная группа).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
