Ю.И. Журавлёв, Ю.А. Флёров, М.Н. Вялый - Дискретный анализ. Основы высшей алгебры (1127101), страница 21
Текст из файла (страница 21)
При каких n все необратимые элементы кольца Znобразуют идеал?2.47. Доказать, что пересечение любого множества идеаловкоммутативного кольца R является идеалом.2.48. Доказать, что множество IS непрерывных функций,обращающихся в 0 на фиксированном подмножестве S ⊆ [a, b],является идеалом в кольце функций, непрерывных на [a, b].Верно ли, что всякий идеал этого кольца имеет вид IS длянекоторого S?2.49. Доказать, что в кольце Mn (Z) матриц порядка n надкольцом Z подкольцо Mn (2Z) является двусторонним идеалом.122Глава 2.Кольца2.50. Доказать, что любой ненулевой идеал в кольце Mn (Z)матриц порядка n над кольцом Z совпадает с Mn (kZ) длянекоторого k ∈ N.2.51. Доказать, что в кольце Mn (R) матриц порядка n сэлементами из произвольного кольца R идеалами являются вточности множества матриц, элементы которых принадлежатфиксированному идеалу кольца R.2.52.
Доказать, что в кольце матриц над полем всякий двусторонний идеал либо нулевой, либо совпадает со всемкольцом.2.53. Найти все идеалы кольца верхних треугольных матриц порядка 2 с целыми элементами.2.54. Пусть I и J — множества матриц вида0 g h0 l 2m0 0 2k и 0 0 2n 0 0 00 0 0с целыми g, h, k, . . . . Доказать, что I является двустороннимидеалом в кольце R верхних треугольных матриц над Z, J естьидеал кольца I, но J не является идеалом кольца R.2.55. Пусть R — коммутативное кольцо с единицей.
Доказать, что:а) обратимый элемент (т. е. делитель единицы) не можетбыть делителем нуля;б) обратимый элемент имеет единственный обратный элемент;в) если λ, µ обратимы, то a делится на b тогда и толькотогда, когда aλ делится на bµ;г) главный идеал (a), порожденный элементом a из R тогдаи только тогда отличен от R, когда a необратим.2.56. Пусть R — коммутативное кольцо с единицей и безделителей нуля. Доказать, что элементы a и b тогда и толькотогда ассоциированы, когда каждый из них делится на другой.2.57.
Доказать, что идеал (M ), порожденный непустыммножеством M ⊆ R состоит из всех конечных сумм вида:Pа)r a , r ∈ R, ak ∈ M , если R имеет единицу;P k k kPб)rk ak +nk ak , rk ∈ R, ak ∈ M , nk ∈ Z, если R неимеет единицы.2.10.Задачи1232.58. Суммой идеалов I1 , I2 , . . . , Ik коммутативного кольцаR называется множество I всех элементов x из R, представимых в виде x = x1 + x2 + · · ·+ xk , xj ∈ Ij , j = 1, 2, .
. . , k. ПишутI = I1 + I2 + · · · + Ik . Если для любого x из I указанное представление единственно, то сумма I называется прямой суммойидеалов Ij . В этом случае пишут I = I1 ⊕I2 ⊕. . .⊕Ik . Доказать,что:а) сумма любого конечного числа идеалов есть идеал;б) сумма двух идеалов тогда и только тогда будет прямойсуммой, когда пересечение идеалов содержит только нуль.2.59. Доказать, что если I = I1 ⊕I2 — прямая сумма идеаловI1 , I2 , то произведение любого элемента из I1 на любой элементиз I2 равно нулю.2.60. Пусть R = I1 ⊕I2 — разложение коммутативного кольца R с единицей e в прямую сумму ненулевых идеалов I1 , I2 .Доказать, что если e = e1 + e2 , e1 ∈ I1 , e2 ∈ I2 , то e1 , e2 будутединицами соответственно в I1 , I2 , но не в R.2.61.
Какие из колец в задачах 2.1 – 2.7 являются полями?2.62. Доказать, что конечное коммутативное кольцо без делителей нуля, содержащее более одного элемента, являетсяполем.2.63. Квадратная матрица называется скалярной, если ееэлементы на главной диагонали равны между собой, а внеглавной диагонали — равны нулю. Показать, что скалярныематрицы порядка n с действительными элементами относительно матричных сложения и умножения образуют поле, изоморфное полю действительных чисел. a b2.64. Показать, что матрицы вида, где a и b —−b aдействительные числа, образуют поле, изоморфное полю комплексных чисел.√√√2.65. Доказать,что числа вида Q[ 3 2] = {a + b 3 2 + c 3 4 |a, b, c ∈ Q} образуют поле, причем каждый элемент этого поляпредставляется в указанномоднозначно. Найти элемент,√ виде √обратный числу x = 1 − 3 2 + 2 3 4 (берется действительноезначение корня).√√√2.66.
Доказать, что числа вида Q[ 3 5] = {a + b 3 5 + c 3 25 |a, b, c ∈ Q} образуют поле, причем каждый элемент этого поляпредставляется в указанном виде однозначно. Найти элемент,124Глава 2.Кольца√√обратный числу x = 2 + 3 3 5 − 2 3 25 (берется действительноезначение корня).2.67. Пусть α — корень многочлена f (x) степени n > 1 срациональными коэффициентами, неприводимого над полемQ рациональных чисел. Доказать, что множество Q(α) чиселвидаa0 + a1 α + · · · + an−1 αn−1 ,a0 , . . .
, an−1 ∈ Q,образует поле, причем каждый элемент этого поля представляется в указанном виде однозначно. Говорят, что это поле получено присоединением числа α к полю рациональных чисел.2.68. В поле, полученном присоединением к полю рациональных чисел корня α многочлена f (x) = x3 + 4x2 + 2x − 6найти число, обратное числу β = 3 − α + α2.a b2.69. Доказать, что поле матриц вида, с рацио2b a√нальными a и b изоморфно полю Q[ 2].2.70.
Какие из следующих множеств матриц образуют полеотносительно обычных матричных операций:x yа)| x, y ∈ Q , где n ∈ Z фиксировано;ny xx yб)| x, y ∈ R , где n ∈ Z фиксировано;ny xx yв)| x, y ∈ Zp , где p = 2, 3, 5, 7?ny x2.71. Доказать, что при любом изоморфизме числовых полей подполе рациональных чисел отображается тождественно.В частности, поле рациональных чисел допускает лишь тождественное изоморфное отображение в себя.2.72. Доказать, что поле R не имеет автоморфизмов, отличных от тождественного.2.73. Найти все автоморфизмы поля C, при которых каждое действительное число переходитв себя.√2.74.
Имеет ли поле Q[ 2] нетождественные автоморфизмы?√√2.75. При каких m, n ∈ Z \ {0} поля Q[ m] и Q[ n] изоморфны?2.10.Задачи1252.76. Доказать, что для любого автоморфизма ϕ поля Kмножество элементов, неподвижных относительно ϕ, являетсяподполем.2.77. Существует ли поле, строго содержащее поле комплексных чисел?2.78. Найти наибольший общий делитель чисел an − 1 иma − 1.2.79. Найти наибольший общий делитель многочленовf (x) = x3 + x2 + 1, g(x) = x2 + x + 1 а) над полем вычетовпо модулю 3; б) над полем рациональных чисел.2.80. Найти наибольший общий делитель многочленовf (x) = 5x3 + x2 + 5x + 1, g(x) = 5x2 + 6x + 1 а) над полемвычетов по модулю 5 (при этом каждый коэффициент a надо понимать как кратное ae единицы e указанного поля илизаменить коэффициенты их наименьшими неотрицательнымивычетами по модулю 5); б) над полем рациональных чисел.2.81.
Найти наибольший общий делитель многочленовf (x) = x4 + 1, g(x) = x3 + x + 1 над полем вычетов по модулюа) 3; б) 5.2.82. Доказать, что1 1 1ϕ(n) = n 1 −1−... 1 −,p1p2pkгде ϕ(n) — функция Эйлера (число обратимых элементов кольца Zn ), а p1 , p2 , . . . , pk — все различные простые делителичисла n.2.83. Найти все такие целые n, для которых группа обратимых элементов кольца Z/(2n ) является циклической.2.84*.
Доказать, что группа обратимых элементов кольцаZ/(pn ) является циклической для любого простого p > 3.2.85. Доказать, чтоа) кольцо целых гауссовых чисел Z[i] = {m + in | m, n ∈ Z}евклидово;√√б) кольцо комплексных чисел вида Z[i 3] = {m + in 3 |m, n ∈ Z} не является евклидовым;в) кольцо комплексных чисел видаn m + in√3o| m, n ∈ Z; m − n четно2является евклидовым.126Глава 2.Кольца2.86.
Пусть Z[i] — кольцо целых гауссовых чисел, I — множество всех чисел m + ni с четными m и n.а) Показать, что I — идеал в Z[i];б) найти смежные классы Z[i] по I;в) в факторкольце Z[i]/I найти делители нуля и показатьэтим, что Z[i]/I не является полем.2.87. Доказать, что факторкольцо Z[i]/(3) кольца целыхгауссовых чисел Z[i] по главному идеалу (3) = 3Z[i] есть полеиз девяти элементов.2.88. Доказать, что факторкольцо Z[i]/(n) кольца целыхгауссовых чисел Z[i] по главному идеалу (n) = nZ[i] тогда итолько тогда будет полем, когда n — простое число, не равноесумме двух квадратов целых чисел.2.89.
Доказать, что кольцо Z[x] не является кольцом главных идеалов.2.90. Пусть K[x, y] — кольцо многочленов от двух переменных x, y над полем K, I — множество всех многочленов этогокольца без свободного члена. Доказать, что:а) I является идеалом, но не является главным идеалом;б) факторкольцо K[x, y]/I изоморфно полю K.2.91. Эндоморфизмом группы называется гомоморфизмэтой группы в себя. На множестве эндоморфизмов коммутативной группы G определим операцию умножения как композицию эндоморфизмов, а операцию сложения — по правилу(ϕ + ψ)(a) = ϕ(a) + ψ(a).Доказать, что множество эндоморфизмов коммутативнойгруппы с определенными выше операциями сложения и умножения образует кольцо.2.92.
Доказать, чтоа) кольцо эндоморфизмов циклической группы порядка nизоморфно кольцу Zn ;б) группа автоморфизмов циклической группы порядка nизоморфна группе обратимых элементов кольца Zn .2.93. Доказать, что всякое кольцо с единицей изоморфновкладывается в кольцо эндоморфизмов своей аддитивнойгруппы. (Изоморфное вложение — гомоморфизм с нулевымядром.)2.10.Задачи1272.94. (Еще одна версия китайской теоремы об остатках).Пусть A — коммутативное кольцо с единицей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
