Э.М. Галеев, В.М. Тихомиров - Оптимизация - теория, примеры, задачи (2000) (1125255), страница 9
Текст из файла (страница 9)
1); (!!) (ш) при х, +хг — 2 < О. В случае (!) нет критических точек, так как из уравнений системы следует, что Х1+ х, = — 2 — противоречие с условием х, + хг — 2 > О. В случае (гй) также нет критических точек, так как из уравнений системы следует, что х + х = 2 — противоречие с условием х1+ Хг — 2 < О. г= В случае (й) система из трех уравнений с тремя неизвестными и ее ЕДИНСТВЕННОЕ РЕШЕНИЕ Х1 —— Х, —— 1, О = — 1. ТаКИМ О6РаЗОМ, даь = 3. при х, =х2=1 у(х„х ) = х', + х,х, +*',+ 3)Х1+ хг — 2! — """. Решение.
Функция З(Х1, хг) является выпуклой функцией как сумма 2 2 ып кла двух выпуклых функций. Функция о(х„хг) = х, + х,хг+ хг выпукла, так как по критерию Сильвестра матрица вторых производных дй(х) 2 1 не зависит от х и положительно определена. Очевидно, что функция )2(х„хг) = )Х1+ хг — 2), валяющаяся модулем линейной функции также является выпуклой функцией. Необходимое и достаточное условие экстремума в выпуклой задаче без ограничений: 0 Е дз (х) = дд(х) + Зд)2(х). Для лифференцируемой функции ее субдифференциач совпадает с производной: дд(х) = (2Х1+ хг,х1+ 2хг). найдем д)2(х), по определению субдифференциала а = (а1, аг) б д)2(х) ч=» (х — х, а) < )2(х) — 6(х) о'х Е Вг ч=» а,х, + агхг — а1А — агхг < )Х1 + хг — 2! — )х1 + хг — 2! 4=» а1(х) + хг) + (аг — а1)хг < )Х1 Е хг — 2! — )х1 + хг — 2) + а121 + агхг Отсюда вытекает, что )а,! < 1 и а1 = аг, т.е.
а = а,о , о ,о, о < 1. Поэтом 50 Глава !. Экстремальные задачи 51 4.б. Задачи, упражнений В задачах 4.1-4.4 выяснить, при каких значениях параметра функ- ции являются выпуклыми: 85. Элементы функционального анализа ф 5. Элементы Функционального анализа 5.1. Нормированные и банаховы пространства 4 11. у(х, х„) = 2 ', !х !. »=! 4,12. У(хн...,х„) = »пах !хд!. » = ! ... л 4 .13. у(з , , х„) = »пах а, . »щ,...м 4.14. у(хн.,.,х„) = гпах (О,(а,х)1 (а Е а ).
,1.15. у. Х й, у(х) = цхц (Х вЂ” нормированное пРостРанство). 4.1б. Доказать, что любая выпуклая функция, конечная на всей прямой, 4.17. 4. 18 4.19 4.20 4. 21 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5. 4.6. 4.7. 4.8. 4.9. 4.10. ,У(х) = ах»+Ьх+с. У(х) = ае *+ Ье*+ с. у(хн х») = (!х !'+ !х»!г) " (р > О). у(хн х») = а~ ~х, + 2а~»х~х» + аюх». » » В задачах 4.5-4.б выяснить, являются ли выпуклыми функции; у(х) =х!пх+(! — х)!п(! — х). у(х) = щш (х!+х» !х$+к» у(х) = 2/х — 1!+ !х/; 'ду(х) =? В задачах 4.8-4.15 вычислить субдифференциал»я выпуклых функций в точке х = О: У(х) = щах(х, О).
у(х) = гпах(е*, 1 — х). ь ц» у(х„...,х„) = !х!; = (2 х ) »=! непрерывна. Доказать, что не существует выпуклой ограниченной функции, определенной на всей прямой и отличной от константы. Решить выпуклые задачи 4.18-4.21: у(хна») = х1 — х~х» + х» »+ 3!х~ — х» — 2! — гп!п. У(хо х») = х» + х» + 4 щах (хи х») — пнп.
у(хох») = х» + х»»+ 2а!х~ + х» — 1! — пнп (о > О). 5.1.1. Определение пространств Линейное пространство Х называется нормированным, если на Х определен функционал Ц Ц: х — а, называемый нормой и удовлетворяющий условиям: а) ЦхЦ>0 1хбХиЦхЦ=Оеьх=О; Ь) ЦохЦ=!о! ЦхЦ уоба, ~1хЕХ; с) Ц +»Ц<Цх Ц+Цх»Ц ух„х,ЕХ. Линейное нормированное пространство иногда будем называть лля краткости нормированным пространством.
Иногда, чтобы подчеркнуть, что норма задана именно на Х, мы пишем ЦхЦх. Две нормы на Х ЦхЦ, и ЦхЦ» называются эквивалентными, если существуют положительные константы С~ и С» такие, что С1 Цх!Ц < ЦхЦ» < С»ЦхЦь Всякое нормированное пространство становится метрическим, если в нем ввести расстояние д(хна») = Цх, — х»Ц. В метрическом пространстве естественным образом вводятся понятия открытых и замкнутых множеств, сходимость. Последовательность точек (х„)~, метрического пространства называется фундаментальной, если она удовлетворяет критерию Коши, т.
е. если для любого е > О существует Ф, такое, что д(хьохм) < к для всех п„п» > М,. Метрическое пространство называется «алнмм, если любая фундаментальная последовательность сходится. Полное относительно введенного расстояния метрическое пространство называется ба«аховым пространством. Отметим, что всякое конечномерное нормированное пространство является банаховым. Бесконечномерное нормированное пространство не обязано быть банаховым.
5.1.2. Произведеиие пространств Пусть Х и У вЂ” линейные нормированные пространства. Декартово произвеление Х х у можно превратить в линейное нормированное пространство, введя норму Ц(х,у)Цх„т = щах (ЦхЦх, ЦРЦт). Легко проверить, что все аксиомы нормы выполняются. Отметим очевидное угвержление: декартова «раиэведвние ба«аховых нрастранств ба«ахово. Е 5. Элементы функционального анализа 53 52 Глава !. Экстремальные задачи 5Л.З. Прнмерм банаховых пространств 1.
Конечномерное пространство К", состоящее из векторов х = и т !/2 (х!,...,х„) с нормой ИхИ = ]х] = (2 х ) . Эту норму иногда называют з=! евклидовой нормой, а расстояние, вводимое с помощью этой нормы, называют евклидавым расстоянием. 2. Пространство С([!о, !,!): = С([!о, !!], К) непрерывных на отрезке [!о, !! ! Функций х( ) с нормой Их()Ис!!ц з,>> =. Их(.)Ио = !пах ]х(1)!. зе>зе,з~! Обобщением этого пространства является пространство С(К, К") непрерывных вектор-функций х(.): гг К", заданных на компакте Х с нормой Их( ) Ио = гпах ]х(1) !. тек 3. Пространство С'([!о, 1! !): = С'([1о, !!], К) непрерывно дифференцируемых на отрезке [1о, !!! функций х( ) с нормой Их()Ис'бзедд> Их(')И! = гпах 1Их(')Ис<>ц ь>> Их(')Исбзе,! >>)' 4.
Пространство !з, состоящее нз последовательностей х = (х„)„, (иногда пишем, х = (х!,..., х„,... )), для которых ~, х„( оо, с нормой, 1 и=! у се .! !/2 задаваемой формулой ИхИ!,: = [ 2; хи/1 и=! 5.1.4. Сопряженное простРанство, опеРатоР Совокупность Х' всех линейных непрерывных функционалов на нормированном пространстве Х образует сапрлзкеинае к Х пространство. Оно является банаховым пространством относительно нормы Их'Их ' = гпах (х' х) >>ц>з<! где (х',х) означает действие функционала х' на элемент х. Пусть Х и У вЂ” нормированные пространства.
Через Х(Х, У) обозначим пространство линейных непрерывных операторов из Х в К, Пусть й Е Ь(Х,У). Тогда можно определить сопрязкепиый оператор Л': У' — Х' такой, что (й'у', х) =- (у', Лх) У х Е Х. для линейного непрерывного функционала на произведении пространств имеет место следующая очевидная Лемма. Всякий функционал Л Е (Х х г )' однозначна представляется в виде (Л, (х, у)) = (х*, х) + (у*, у), гдв х' б Х', у' 6 У'. 5 2 Определения производных Для вещественных Функций одного вещественного переменного два определения — существование конечного предела ,~(х + й) — 2'(х) д-о Л и возможность аснмптотического разложения при Ь вЂ” 0 у(*+ Л) = у(Е) + у'(й)Л+ о(Л) (2) — приводят к одному и тому же понятию дифференцируемости.
Но уже лля функций двух и большего числа переменных существует несколько различных подходов к понятию дифференцируемосги (гладкости). Определение (!) ведет к понятиям производной по направлению, вариации по Лагранжу и производной Гата. Определение (2) ведет к понятиям производной Фреше и строгой днфференцируемостн. Пусть далее в этом пункте Х, У, Я вЂ” линейные нормированные пространства. Как правило (если это не оговорено иначе), у; Х вЂ” У— отображение пространства Х или некоторой окрестности точки х Е Х в пространство г". 5.2.1.
Производная по направлевню Будем говорить, что отображение у имеет в точке х производную по направлению Ь, если существует ~(х + ЛЬ) — ~(х) !нп =: б,у(е,л). з-+о Л 5.2 2. Вариация по Лагранжу Если отображение / имеет в точке х произволную по всем направлениям и б у(х,й) = — б у(х, -Л) =: бу(х,й) >/ Ь Е Х, то говорят, что 'пображенне / имеет в точке х вариацию па Лагранзку. Прн этом отображение Ь вЂ” бу(х, Ь) называют вариацией по Паграпзку.
Таким образом, вариация по Лагранжу /(*+ лл) — у(е) б/(х,й) = !нп з-о Л Но вполне содержателем пример, когда Х = П, у = П"'. Элемент из Г.(Х у> определлетсв в этом случае матрипея размера и х и!. 5 5. Элементы функционального анализа 54 Глава 1. Экстремальные задачи 5.2.3.
Производнях Гата Если оператор вариации по Лагранжу 6У(х, ): Х вЂ” У линеен и непрерывен по Л (6У(х, ) б Е(Х, У)), то говорят, что У дифферепцирувмо по Гапчо в точке х, а оператор 6У(х, ) называется производной Гата отобразкепия У в точке х и обозначается Уо(й). Таким образом, если У дифференцируемо по Гата в точке й, то для любого фиксированного Л имеет место разложение у(й+ ЛЛ) = у(х) + Луо(й)[Ь]+ г(Л, Л), где Цг(Л,Л)Ц~ — — о(]Л]) при Л О.
5.2.4. Производная Фреше Отображение У называют диффереицируемым по Фрвше в точке к и пишут у б Р(б), если существуют линейный непрерывный оператор У'(х): Х ч У и отображение г, Х У такие, что у(й+ Ь) = у(й) + у'(й)[Ь]+ г(Л). (1) где Цт(Л)Цг = о(ЦЛЦк) прн ЦЬЦл — О. Оператор У'(х) называется производной Фрешв. Это разложение можно кратко записать так: у(х + Л) = у(х) + у'(х)[Л] + о(Ь), понимая о(Л) как элемент пространства У, для которого Цо(Ь)Ц = о(ЦЬЦ) при ЦЬ)] — О. Через у'(х)[Ь] обозначено значение отображения У'(х) на элементе Л. Если в каждой точке х открытого множества ГГ отображение У б Р(х) и отображение х У'(х) непрерывны, то пишем у б С'(ГГ). Ясно, что из дифференцируемости по Фреше отображения у в точке х следует дифференцируемость различаются.
На языке в-6 определение дифференцируемости по Фреше отображения У в точке х формулируется так: существует оператор у'(х) б Е(Х,у) такой, что для любого е > О найдется 6 > О, при котором для любого ЦЛЦ < 6 выполняется неравенство ])у(й+ Л) — у(й) — у'(й)[Л]]]„< еЦЛЦ,. Из (!) следует, что производная Фреше определена однозначно, ибо равенство Л~Л вЂ” ЛзЛ = о(Л) для линейных непрерывных операторов Л, н Лз возможно лишь при Л~ = Лз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
