Э.М. Галеев, В.М. Тихомиров - Оптимизация - теория, примеры, задачи (2000) (1125255), страница 5
Текст из файла (страница 5)
в=о 2) Выписать необхолимое условие экстремума 1 порялка — условие стационарносги функции Лагранжа: Л,(Е,Л) = О е=»,~ Л,1,(х) = О. в=о 3) Найти точки х, удовлетворяюшие условию стационарности (эти точки называются стационарными). При этом следует отдельно рассмотреть случаи: а) Ло = О, Ь) Ло = 1 (или любой положительной константе), с) Ль = — 1 (или любой отрицательной константе). В случае а) стационарные точки могут доставлять и минимум, и максимум в задаче. В случае Ь) стационарные точки могут доставлять минимум в задаче.
В случае с) стационарные точки могут доставлять максимум в задаче. 4) Найти решение среди стационарных точек или доказать, что его нет. При этом можно пытаться воспользоваться непосредственной проверкой или перейти к исследованию условий экстремума П порядка в каждой стационарной точке. Выписать матрицу вторых производных Л, (х,Л) и пространство .б = (Ь Е К" 1(1'(Е) Ь) = О а = ! ш) Проверить выполнение достаточных условий экстремума — положительную определенность матрицы вторых производных: (Л„(х, Л)га, Ь) > О Ч Ь Е Ь, Ь Ф О. Если это условие положительности выполняется, то точка х доставляет в случае Ь) локальный минимум в задаче (а Е 1оспппР); в случае с) локальный максимум в задаче (х Е 1осшах Р). 5) Если не выполняются достаточные условия экстремума, то надо проверить выполнение необходимого условия экстремума — неотрицательную определенность матрицы вторых производных: (Л„(х,Л)Ь,Ь) > О ч Ь Е Т.
Если это условие неотрицательности не выполняется, то точка х не доставляет в случае Ь) локальный минимум в задаче (Е Е !оспа!пР); в случае с) локальный максимум в задаче (х Е 1оспзахР). 26 Глава 1. Зкстремальиые задачи Теорема. Пусть х Е 1оспцп Р— точка локального мвнимума в задаче (Р), функции Д, а = О, 1,..., гп, двалсды непрерывно дифференцируемы в окрестности точки Я (условие гладкости), д!ш11п'(1,(х),...,1' (х) ) = и (условие ре!улярности). Тогда сушествует множитель Лагранжа Л = (1,Л„...,л,„) Е К'"ы таков, что длл функции Лагранжа задачи (Р) а Л(х, Л) = 1о(х) + 2 Л,1,(х) вынолняются условия стационарности: ~=! Л.(Е, Л) = О <=» 1о(х) + '> Лг1,.(й) О Ф=! и нготрицательностк (Л.а(х,Л)Ь,Ь) >О ЧЬ; (1,'(х),Ь) =О, !=1,...,ш.
Мы сформулировали необходимое условие минимума. Необходимое условие максимума формулируется аналогично, за исключением того, что множитель Лагранжа Л = (-!,Л„...,Л ) Е К ы и соответственно функция Лагранхга Л(х, Л) = — 1ь(х) + 2" Л;1г(х). !'= ! 2.2.4. Достаточное условие экстремума П порядка Сформулируем достаточное условие минимума П порядка в гладкой конечномерной залаче с ограничениями типа равенств. Теорема.
Пусть функции 1„а = О, 1,..., пз, дважды непрерывно дифференцируемы в окрестности точки У (условие гладкости), дпп Лп (1,'(Е), (х) ) = и (условие регулярности). Сувгествует множитель Лагранлса Л = (1, Л„..., Л ) Е К +' такой, что для функции Лагранжа задачи (Р) Л(х, Л) = 1о(х) + 2 Л;1г(х) вьи!олняютсл условия стационарности: г=! л.(х,Л) =о е 1о(а)+',~ Лг1,'(х) =О !=! и нолозкительности: (Л,а(х,л)Ь,Ь) > О ч Ь зь О: (1!.(х),Ь) = О, а =1,...,гп. Тогда х Е 1осго1п Р— точка локального минимума в задаче (Р).
Мы сформулировали достаточное условие минимума. Достаточное условие максимума формулируется аналогично, за исключением того, что множитель Лагранжа Л = (-1, Л„..., Л ) Е К~+~ и соответственно т функция Лагран!ка Л(х, Л) = — 1о(х) + 2', Лг1г(х), ' Во означает линейная оболочка . $2.
Коиечномерные гладкие задачи с равенствами 2.3. Правило решения Для решения гладкой конечномерной задачи с ограничениями типа равенств слслует. 1) Составить функцию Лагранжа Л(х,Л) = ) ЛгД(х). в=о 2) Выписать необхолимое условие экстремума 1 порялка — условие стационарносги функции Лагранжа: Л,(Е,Л) = О е=»,~ Л,1,(х) = О. в=о 3) Найти точки х, удовлетворяюшие условию стационарности (эти точки называются стационарными).
При этом следует отдельно рассмотреть случаи: а) Ло = О, Ь) Ло = 1 (или любой положительной константе), с) Ль = — 1 (или любой отрицательной константе). В случае а) стационарные точки могут доставлять и минимум, и максимум в задаче. В случае Ь) стационарные точки могут доставлять минимум в задаче. В случае с) стационарные точки могут доставлять максимум в задаче. 4) Найти решение среди стационарных точек или доказать, что его нет.
При этом можно пытаться воспользоваться непосредственной проверкой или перейти к исследованию условий экстремума П порядка в каждой стационарной точке. Выписать матрицу вторых производных Л, (х,Л) и пространство .б = (Ь Е К" 1(1'(Е) Ь) = О а = ! ш) Проверить выполнение достаточных условий экстремума — положительную определенность матрицы вторых производных: (Л„(х, Л)га, Ь) > О Ч Ь Е Ь, Ь Ф О. Если это условие положительности выполняется, то точка х доставляет в случае Ь) локальный минимум в задаче (а Е 1оспппР); в случае с) локальный максимум в задаче (х Е 1осшах Р). 5) Если не выполняются достаточные условия экстремума, то надо проверить выполнение необходимого условия экстремума — неотрицательную определенность матрицы вторых производных: (Л„(х,Л)Ь,Ь) > О ч Ь Е Т. Если это условие неотрицательности не выполняется, то точка х не доставляет в случае Ь) локальный минимум в задаче (Е Е !оспа!пР); в случае с) локальный максимум в задаче (х Е 1оспзахР).
30 Л(6а~)ао Л(Сгаг)гз~ Л Л р(л) Рис. 3. Рис. 2. Рис. 5. Рис. 4. Глава 1. Экстремальные задачи хз х; Соотношения х; — 6 + Л вЂ” = О ез 6 — х; = Л вЂ” „г = 1,2, имеют аг а; г очевидный геометрический смысл: вектор С вЂ” х пропорционален векторугралиенту функции ~~ в точке х, т.е.
лежит на нормали к эллипсу. Этот факт был впервые установлен Аполлонием. Выведем из полученных нами соотношений уравнение кривой, «разделяющей» те точки 6 из которых можно провести две нормали, от точек, из которых можно провести четыре нормали. Очевидно, что это разделение происходит для Л, удовлетворяющих соотношению (1), для которых 26 а, 2сгаз г г г г г г !з (Л) = — г — = О, Л б ( — а„— аг). (2) (аг + Л)з (аг + Л)з Обозначим аз+ Л = А(6а~)ч~, тогла из (2) агг+ Л = — А(сгаг)ч'.
а~ — аг Из последних двух соотношений найдем, что А = (6а!)г1з ! (Сгаг)гзз Подставляя аз + Л, агг + Л и А в (1), получаем уравнение разделяющей кривой: г г г г 6а~ 6аг гзз г1з Аг(ье а,)«1з + Аг(ь«)«гз 1 Е=> (ба~) + (ба,) = А (аг — аг)г )г1з ( )газ ~ г~ ((бар)~1з + (сгаг)г/з) (6 а!) + (чгаг) (а'1 аг) Это уравнение астроиды. Вне астроиды каждая точка имеет две нормали к эллипсу, внутри нее — четыре, на самой астроиде — три (за исключением вершин, где имеются две нормали (рнс. 4)).
Докажем, что касательная к астроиде перпендикулярна к эллипсу в точке ее пересечения с эллипсом (рис. 5). Обозначим точку на астроиде через 6 а точку пересечения касательной с эллипсом через *. Для доказательства утверждения достаточно показать, что нормаль к астроиде в точке С перпендикулярна вектору х — С перпендикулярному к эллипсу. Нормалью к астроиде (ба,) ~ + (~газ) ! = (а! — аг) ~ в точке ~ является вектор пропорциональный градиенту функции р(6,сг) = (6 а,)г!' + (6аг)г1з, т.
е. вектор и = (6 '1заг1з, 6 ьоа,!'). Выше мы доказали, что перпенликуляром к эллипсу является вектор х — 6 где х ба; находится из уравнений: х; = — '„з = 1 2. Отсюда х. — с аз+ Л ! ба! Л6 г — — 6 = —, г = 1,2. Поэтому аг+Л аг+Л в 2. Конечномерные гладкие задачи с равенствами ф 1х — 6 соз «з = (и, х — с) = ( '~' '~'Л6 Гц' Л6 М )'~' Л(6а )'~' аз+ Л агг+Л аг+Л аг+Л Подставляя значение аз + Л, выраженное через А и (ба!)ч~, получим Следовательно, сову = О, т. е, вектора и и х — ~ перпендикулярны.
зг Глава 1. Экстремальные задачи 2.6. Задачи 2.1. хг+хг ехгг; Зх, +4зг — — 1. 2 2.2. е*'*' — ехгг; х~ + хг — — 1. 2 3. х~ + хг -з ехгг; 5х~ +4х~хг+хгг — — 1. 2 24. х, +1гх~хг+гхг ехгг; 4х, +хг — — 25. 2 5. х~+.Ог+ хз ехгг; к~ + хг + хз = 1. г г г 2.6. х~ + 2хг + Зхз — ~ ехгг; т', + хг + хг = 1. 27. х, +х, +х, ехгг; к~+хг+хз =1, х~+хг — хз =!/г.
2 2 2 2.8. 2х< — бх~ — бхг — Зхз — ~ ехгг; х! — хг+хз — — О, 2 5х~ +хг — 2хз = 1. 2.9. х~ +хг+хз - ехгг; х~+хг — хз = 1, х, +хг+хг = 1 2.10. х~хг + хгхз ехзг; х, + хг =- 2, хг + хз = 2. г 2 11 х~хгхз з ехгг; х~ +хг+ хз —— 1, х~ + хг+ хз — — О. 2 2 2 2.12. хг+хгг+хзг ехгг; хг+(хг — 3) +(хз — 4) = 1. 2 13. х~хгхз ехгг; ха +из+ хз = 1. г з 2.14. х,хгхз — ехгг; х, +хг+хз — — !.
2 3 2 2 2 2.15. Найти минимум линейной функции у(х) = (а,х), а,х б К", на единичном шаре (х,х) = 1. 2.1б. Найти расстояние от точки У Е К" до гиперплоскости (о,х) = 6, аЕК",ЬЕК. 2.17. Найти расстояние от точки У Е К" до прямой х = а!+ Ь, а, Ь б К". 2.18. Найти максимальную плошадь прямоугольника со сторонами, па- 2 раллельными осям координат, вписанного в эллипс — + — = 1. г а2 а2 2.19. Найти максимальный объем прямоугольного параллелепипеда со сторонами, параллельными осям координат, вписанного в эллипх2 х2 х2 3 2 3 соил — + — + — = 1.
а2 а2 а2 2 3 2.20. Решить задачу Аполлония для параболы. 2.21. Решить задачу Аполлония для гиперболы. 4 3. Коиечиомериые гладкие мдачи с равенствами и неравенствами 33 5 3. Конечномерные гладкие задачи с равенствами н неравенствами В этом параграфе даются необходимые и достаточные условия экстремума в гладкой конечномерной задаче с ограничениями типа равенств и неравенств.
3.1. Постановка задачи Пусть у,; К" — ~ К, 3 = О, 1,..., т, — функции и переменных, отображающие пространство К" в К. Считаем, что все функции Гг обладают определенной гладкостью. Гладкой конечномерной экстремальной задачей с ограничениями тина равенств и неравенств называется следующая задача в К": УО(х)- шзп; Л(х)(0, 3=1,..., ', Гз(х) =О, 3'=т'+1,...,т. В задачах, где имеются ограничения типа неравенств, важно, рассматриваемая задача на минимум или максимум.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
